正交基概念

2023-12-13 19:19:14

求正交向量组中的系数

考虑 n n n 个任意两个向量之间相互正交的 n n n 维向量 a ? \vec a a ,则其构成一个 n n n 维的欧几里得空间 R n R^n Rn,为其中的每一个向量赋予一个常数系数 c c c,则空间中的任意向量 v v v 可以表示为这组基的线性组合
v ? = c 1 a ? 1 + c 2 a ? 2 + ? + c n a ? n \vec{v} = c_1 \vec a_1 + c_2\vec a_2 + \dots +c_n\vec a_n v =c1?a 1?+c2?a 2?+?+cn?a n?

由于 a 1 , . . . a n a_1,...a_n a1?,...an? 两两正交,则 ? i , j ∈ { 1 , . . . n } \forall i,j \in \{1, ... n\} ?i,j{1,...n},有

{ a i ? a j T = 1 ? ( i = j ) a i ? a j T = 0 ? ( i ≠ j ) \begin{cases} a_i \cdot a_j^T = 1\ (i=j)\\ a_i \cdot a_j^T = 0\ (i\neq j)\\ \end{cases} {ai??ajT?=1?(i=j)ai??ajT?=0?(i=j)?
如果此时我们想求任意一个系数 c i c_i ci?, 则可以直接把向量 v v v 与目标的分量 c i a i c_ia_i ci?ai? 求内积
v ? T c i a i = ( c 1 a 1 , c 2 a 2 , . . . , c n a n ) T ? c i a i = c i a i T a x = c i \vec v^T c_ia_i = (c_1a_1, c_2a_2, ... ,c_na_n)^T \cdot c_i a_i= c_i a_i^Ta_x = c_i v Tci?ai?=(c1?a1?,c2?a2?,...,cn?an?)T?ci?ai?=ci?aiT?ax?=ci?

三角函数的正交性

周期为 T T T 的函数的正交,可以表示为
1 T ∫ 0 T f ( x ) g ( x ) d x = 0 \frac 1T\int^T_0f(x) g(x) dx = 0 T1?0T?f(x)g(x)dx=0
对于三角函数

利用积化和差公式,可以证明下列积分等式成立

∫ ? π π cos ? n x d x = 0 \int ^{\pi}_{-\pi} \cos nxdx = 0 ?ππ?cosnxdx=0
∫ ? π π sin ? n x d x = 0 \int ^{\pi}_{-\pi} \sin nxdx = 0 ?ππ?sinnxdx=0

∫ ? π π sin ? k x cos ? n x d x = 0 ( a ) \int ^{\pi}_{-\pi} \sin kx \cos nxdx = 0 (a) ?ππ?sinkxcosnxdx=0(a)

∫ ? π π cos ? k x cos ? n x d x = 0 ( n ≠ k ) ( b ) \int ^{\pi}_{-\pi} \cos kx \cos nxdx = 0 (n \neq k)(b) ?ππ?coskxcosnxdx=0(n=k)(b)
∫ ? π π sin ? k x sin ? n x d x = 0 ( n ≠ k ) ( c ) \int ^{\pi}_{-\pi} \sin kx \sin nxdx = 0 (n \neq k)(c) ?ππ?sinkxsinnxdx=0(n=k)(c)

特别的,对于等式(a),(b),?,当 n = k n = k n=k 时,有
∫ ? π π sin ? k x cos ? k x d x = 1 2 ∫ ? π π sin ? 2 k x d x = 1 \int ^{\pi}_{-\pi} \sin kx \cos kxdx = \frac 12 \int ^{\pi}_{-\pi}\sin 2kx dx = 1 ?ππ?sinkxcoskxdx=21??ππ?sin2kxdx=1

∫ ? π π cos ? k x cos ? k x d x = 1 2 ∫ ? π π cos ? 2 k x d x = 1 \int ^{\pi}_{-\pi} \cos kx \cos kxdx = \frac 12 \int ^{\pi}_{-\pi}\cos 2kx dx = 1 ?ππ?coskxcoskxdx=21??ππ?cos2kxdx=1

$$
\int ^{\pi}{-\pi} \sin kx \sin kxdx = \frac 12 \int ^{\pi}{-\pi}\sin 2kx dx = 1

$$

因此我们可以将 { 1 , sin ? ω x , cos ? ω x , sin ? 2 ω x , cos ? 2 ω x , … sin ? n ω x , cos ? n ω x } \{1, \sin \omega x, \cos \omega x, \sin 2\omega x, \cos 2\omega x,\dots \sin n\omega x, \cos n\omega x\} {1,sinωx,cosωx,sin2ωx,cos2ωx,sinx,cosx} 视作一组正交基

文章来源:https://blog.csdn.net/qq_44458671/article/details/134972322
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