正交基概念
求正交向量组中的系数
考虑
n
n
n 个任意两个向量之间相互正交的
n
n
n 维向量
a
?
\vec a
a,则其构成一个
n
n
n 维的欧几里得空间
R
n
R^n
Rn,为其中的每一个向量赋予一个常数系数
c
c
c,则空间中的任意向量
v
v
v 可以表示为这组基的线性组合
v
?
=
c
1
a
?
1
+
c
2
a
?
2
+
?
+
c
n
a
?
n
\vec{v} = c_1 \vec a_1 + c_2\vec a_2 + \dots +c_n\vec a_n
v=c1?a1?+c2?a2?+?+cn?an?
由于 a 1 , . . . a n a_1,...a_n a1?,...an? 两两正交,则 ? i , j ∈ { 1 , . . . n } \forall i,j \in \{1, ... n\} ?i,j∈{1,...n},有
{
a
i
?
a
j
T
=
1
?
(
i
=
j
)
a
i
?
a
j
T
=
0
?
(
i
≠
j
)
\begin{cases} a_i \cdot a_j^T = 1\ (i=j)\\ a_i \cdot a_j^T = 0\ (i\neq j)\\ \end{cases}
{ai??ajT?=1?(i=j)ai??ajT?=0?(i=j)?
如果此时我们想求任意一个系数
c
i
c_i
ci?, 则可以直接把向量
v
v
v 与目标的分量
c
i
a
i
c_ia_i
ci?ai? 求内积
v
?
T
c
i
a
i
=
(
c
1
a
1
,
c
2
a
2
,
.
.
.
,
c
n
a
n
)
T
?
c
i
a
i
=
c
i
a
i
T
a
x
=
c
i
\vec v^T c_ia_i = (c_1a_1, c_2a_2, ... ,c_na_n)^T \cdot c_i a_i= c_i a_i^Ta_x = c_i
vTci?ai?=(c1?a1?,c2?a2?,...,cn?an?)T?ci?ai?=ci?aiT?ax?=ci?
三角函数的正交性
周期为
T
T
T 的函数的正交,可以表示为
1
T
∫
0
T
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
0
\frac 1T\int^T_0f(x) g(x) dx = 0
T1?∫0T?f(x)g(x)dx=0
对于三角函数
利用积化和差公式,可以证明下列积分等式成立
∫
?
π
π
cos
?
n
x
d
x
=
0
\int ^{\pi}_{-\pi} \cos nxdx = 0
∫?ππ?cosnxdx=0
∫
?
π
π
sin
?
n
x
d
x
=
0
\int ^{\pi}_{-\pi} \sin nxdx = 0
∫?ππ?sinnxdx=0
∫ ? π π sin ? k x cos ? n x d x = 0 ( a ) \int ^{\pi}_{-\pi} \sin kx \cos nxdx = 0 (a) ∫?ππ?sinkxcosnxdx=0(a)
∫
?
π
π
cos
?
k
x
cos
?
n
x
d
x
=
0
(
n
≠
k
)
(
b
)
\int ^{\pi}_{-\pi} \cos kx \cos nxdx = 0 (n \neq k)(b)
∫?ππ?coskxcosnxdx=0(n=k)(b)
∫
?
π
π
sin
?
k
x
sin
?
n
x
d
x
=
0
(
n
≠
k
)
(
c
)
\int ^{\pi}_{-\pi} \sin kx \sin nxdx = 0 (n \neq k)(c)
∫?ππ?sinkxsinnxdx=0(n=k)(c)
特别的,对于等式(a),(b),?,当
n
=
k
n = k
n=k 时,有
∫
?
π
π
sin
?
k
x
cos
?
k
x
d
x
=
1
2
∫
?
π
π
sin
?
2
k
x
d
x
=
1
\int ^{\pi}_{-\pi} \sin kx \cos kxdx = \frac 12 \int ^{\pi}_{-\pi}\sin 2kx dx = 1
∫?ππ?sinkxcoskxdx=21?∫?ππ?sin2kxdx=1
∫ ? π π cos ? k x cos ? k x d x = 1 2 ∫ ? π π cos ? 2 k x d x = 1 \int ^{\pi}_{-\pi} \cos kx \cos kxdx = \frac 12 \int ^{\pi}_{-\pi}\cos 2kx dx = 1 ∫?ππ?coskxcoskxdx=21?∫?ππ?cos2kxdx=1
$$
\int ^{\pi}{-\pi} \sin kx \sin kxdx = \frac 12 \int ^{\pi}{-\pi}\sin 2kx dx = 1
$$
因此我们可以将 { 1 , sin ? ω x , cos ? ω x , sin ? 2 ω x , cos ? 2 ω x , … sin ? n ω x , cos ? n ω x } \{1, \sin \omega x, \cos \omega x, \sin 2\omega x, \cos 2\omega x,\dots \sin n\omega x, \cos n\omega x\} {1,sinωx,cosωx,sin2ωx,cos2ωx,…sinnωx,cosnωx} 视作一组正交基
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