代码随想录算法训练营 | day51 动态规划 309.最佳买卖股票时机含冷冻期,714.买卖股票的最佳时机含手续费

2023-12-15 18:00:26

刷题

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

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题目:给定一个整数数组,其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下,你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票):

  • 你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

  • 卖出股票后,你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:

  • 输入: [1,2,3,0,2]

  • 输出: 3

  • 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

思路及实现

动规五部曲,分析如下:

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i] [j],第i天状态为j,所剩的最多现金为dp[i] [j]。

其实本题很多同学搞的比较懵,是因为出现冷冻期之后,状态其实是比较复杂度,例如今天买入股票、今天卖出股票、今天是冷冻期,都是不能操作股票的。

具体可以区分出如下四个状态:

  • 状态一:持有股票状态(今天买入股票,或者是之前就买入了股票然后没有操作,一直持有)

  • 不持有股票状态,这里就有两种卖出股票状态

    • 状态二:保持卖出股票的状态(两天前就卖出了股票,度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态,一直没操作)

    • 状态三:今天卖出股票

  • 状态四:今天为冷冻期状态,但冷冻期状态不可持续,只有一天!

j的状态为:

  • 0:状态一

  • 1:状态二

  • 2:状态三

  • 3:状态四

很多题解为什么讲的比较模糊,是因为把这四个状态合并成三个状态了,其实就是把状态二和状态四合并在一起了。

从代码上来看确实可以合并,但从逻辑上分析合并之后就很难理解了,所以我下面的讲解是按照这四个状态来的,把每一个状态分析清楚。

本题为什么要单独列出「今天卖出股票」 一个状态呢?

因为本题我们有冷冻期,而冷冻期的前一天,只能是 「今天卖出股票」状态,如果是 「不持有股票状态」那么就很模糊,因为不一定是 卖出股票的操作。

如果没有按照 代码随想录 顺序去刷的录友,可能看这里的讲解 会有点困惑,建议把代码随想录本篇之前股票内容的讲解都看一下,领会一下每天 状态的设置。

注意这里的每一个状态,例如状态一,是持有股票股票状态并不是说今天一定就买入股票,而是说保持买入股票的状态即:可能是前几天买入的,之后一直没操作,所以保持买入股票的状态

2.确定递推公式

达到买入股票状态(状态一)即:dp[i] [0],有两个具体操作:

  • 操作一:前一天就是持有股票状态(状态一),dp[i] [0] = dp[i - 1] [0]

  • 操作二:今天买入了,有两种情况

    • 前一天是冷冻期(状态四),dp[i - 1] [3] - prices[i]

    • 前一天是保持卖出股票的状态(状态二),dp[i - 1] [1] - prices[i]

那么dp[i] [0] = max(dp[i - 1] [0], dp[i - 1] [3] - prices[i], dp[i - 1] [1] - prices[i]);

达到保持卖出股票状态(状态二)即:dp[i] [1],有两个具体操作:

  • 操作一:前一天就是状态二

  • 操作二:前一天是冷冻期(状态四)

dp[i] [1] = max(dp[i - 1] [1], dp[i - 1] [3]);

达到今天就卖出股票状态(状态三),即:dp[i] [2] ,只有一个操作:

昨天一定是持有股票状态(状态一),今天卖出

即:dp[i] [2] = dp[i - 1] [0] + prices[i];

达到冷冻期状态(状态四),即:dp[i] [3],只有一个操作:

昨天卖出了股票(状态三)

dp[i] [3] = dp[i - 1] [2];

综上分析,递推代码如下:

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];

3.dp数组如何初始化

这里主要讨论一下第0天如何初始化。

如果是持有股票状态(状态一)那么:dp[0] [0] = -prices[0],一定是当天买入股票。

保持卖出股票状态(状态二),这里其实从 「状态二」的定义来说 ,很难明确应该初始多少,这种情况我们就看递推公式需要我们给他初始成什么数值。

如果i为1,第1天买入股票,那么递归公式中需要计算 dp[i - 1] [1] - prices[i] ,即 dp[0] [1] - prices[1],那么大家感受一下 dp[0] [1] (即第0天的状态二)应该初始成多少,只能初始为0。想一想如果初始为其他数值,是我们第1天买入股票后 手里还剩的现金数量是不是就不对了。

今天卖出了股票(状态三),同上分析,dp[0] [2]初始化为0,dp[0] [3]也初始为0。

4.确定遍历顺序

从递归公式上可以看出,dp[i] 依赖于 dp[i-1],所以是从前向后遍历。

5.举例推导dp数组

以 [1,2,3,0,2] 为例,dp数组如下:

最后结果是取 状态二,状态三,和状态四的最大值,不少同学会把状态四忘了,状态四是冷冻期,最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。

代码如下:

class Solution {
 ? ?public int maxProfit(int[] prices) {
 ? ? ? ?if (prices == null || prices.length < 2) {
 ? ? ? ? ? ?return 0;
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?int[][] dp = new int[prices.length][2];
?
 ? ? ? ?// bad case
 ? ? ? ?dp[0][0] = 0;
 ? ? ? ?dp[0][1] = -prices[0];
 ? ? ? ?dp[1][0] = Math.max(dp[0][0], dp[0][1] + prices[1]);
 ? ? ? ?dp[1][1] = Math.max(dp[0][1], -prices[1]);
?
 ? ? ? ?for (int i = 2; i < prices.length; i++) {
 ? ? ? ? ? ?// dp公式
 ? ? ? ? ? ?dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
 ? ? ? ? ? ?dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i]);
 ? ? ?  }
?
 ? ? ? ?return dp[prices.length - 1][0];
 ?  }
}

714.买卖股票的最佳时机含手续费

题目链接 | 文章讲解 | 视频讲解

题目:给定一个整数数组 prices,其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ;非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易,但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票,在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意:这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程,每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:

  • 输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2

  • 输出: 8

解释: 能够达到的最大利润:

  • 在此处买入 prices[0] = 1

  • 在此处卖出 prices[3] = 8

  • 在此处买入 prices[4] = 4

  • 在此处卖出 prices[5] = 9

  • 总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

注意:

  • 0 < prices.length <= 50000.

  • 0 < prices[i] < 50000.

  • 0 <= fee < 50000.

思路及实现

相对于动态规划:122.买卖股票的最佳时机II?,本题只需要在计算卖出操作的时候减去手续费就可以了,代码几乎是一样的。

唯一差别在于递推公式部分,所以本篇也就不按照动规五部曲详细讲解了,主要讲解一下递推公式部分。

这里重申一下dp数组的含义:

dp[i] [0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i] [1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dpi, 那么可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就持有股票,那么就保持现状,所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即:dp[i - 1] [0]

  • 第i天买入股票,所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即:dp[i - 1] [1] - prices[i]

所以:dp[i] [0] = max(dp[i - 1] [0], dp[i - 1] [1] - prices[i]);

在来看看如果第i天不持有股票即dp[i] [1]的情况, 依然可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就不持有股票,那么就保持现状,所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即:dp[i - 1] [1]

  • 第i天卖出股票,所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金,注意这里需要有手续费了即:dp[i - 1] [0] + prices[i] - fee

所以:dp[i] [1] = max(dp[i - 1] [1], dp[i - 1] [0] + prices[i] - fee);

本题和动态规划:122.买卖股票的最佳时机II的区别就是这里需要多一个减去手续费的操作

以上分析完毕,代码如下:

/**
 * 卖出时支付手续费
 * @param prices
 * @param fee
 * @return
 */
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
 ? ?int len = prices.length;
 ? ?// 0 : 持股(买入)
 ? ?// 1 : 不持股(售出)
 ? ?// dp 定义第i天持股/不持股 所得最多现金
 ? ?int[][] dp = new int[len][2];
 ? ?dp[0][0] = -prices[0];
 ? ?for (int i = 1; i < len; i++) {
 ? ? ? ?dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
 ? ? ? ?dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i] - fee, dp[i - 1][1]);
 ?  }
 ? ?return Math.max(dp[len - 1][0], dp[len - 1][1]);
}
?
/**
 * 买入时支付手续费
 * @param prices
 * @param fee
 * @return
 */
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
 ? ?int len = prices.length;
 ? ?// 0 : 持股(买入)
 ? ?// 1 : 不持股(售出)
 ? ?// dp 定义第i天持股/不持股 所得最多现金
 ? ?int[][] dp = new int[len][2];
 ? ?// 考虑买入的时候就支付手续费
 ? ?dp[0][0] = -prices[0] - fee;
 ? ?for (int i = 1; i < len; i++) {
 ? ? ? ?dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i] - fee);
 ? ? ? ?dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
 ?  }
 ? ?return Math.max(dp[len - 1][0], dp[len - 1][1]);
}
?
// 一维数组优化
class Solution {
 ? ?public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
 ? ?int[] dp = new int[2];
 ? ?dp[0] = -prices[0];
 ? ?dp[1] = 0;
 ? ?for (int i = 1; i <= prices.length; i++) {
 ? ? ?dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] - prices[i - 1]);
 ? ? ?dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1] - fee);
 ?  }
 ? ?return dp[1];
 ?  }
}
```Java
//使用 2*2 array
class Solution {
 ? ?public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
 ? ? ? ?int dp[][] = new int[2][2];
 ? ? ? ?int len = prices.length;
 ? ? ? ?//[i][0] = holding the stock
 ? ? ? ?//[i][1] = not holding the stock
 ? ? ? ?dp[0][0] = -prices[0];
?
 ? ? ? ?for(int i = 1; i < len; i++){
 ? ? ? ? ? ?dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);
 ? ? ? ? ? ?dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][1], dp[(i - 1) % 2][0] + prices[i] - fee);
 ? ? ?  }
?
 ? ? ? ?return dp[(len - 1) % 2][1];
 ?  }
}

文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_45011378/article/details/135020089
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