各种不定积分的技巧

2023-12-15 22:33:55

前言

积分对于理工科的人来说,可谓一种基本技能。

在物理学上,积分是求解函数面积、体积、质心、转动惯量等物理量的基本工具。

在数学上,积分概念的引入,催生了诸如微分方程、无穷级数、微分几何、复变函数等数学分支,丰富了数学的内涵,推动了数学的发展。

在实际应用中,定积分可以计算具体的值,具有实际价值。而不定积分则可以用来寻找原函数,为求解定积分提供了便利。两者在物理学、工程学、经济学等领域中都有着广泛的应用。

本文就来探讨一些计算不定积分的技巧。

基础积分公式

这里先给出一些比较基础的积分公式。有了这些积分公式,这些公式是基础中的基础。文末有一张比较全的基本积分表。

∫ k d x = k x + C \int kdx=kx+C kdx=kx+C

∫ x a d x = 1 a + 1 x a + 1 + C , a ≠ ? 1 \int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C ,a\ne-1 xadx=a+11?xa+1+C,a=?1

∫ 1 x d x = l n ∣ x ∣ + C \int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C x1?dx=lnx+C

∫ e x d x = e x + C \int e^xdx=e^x+C exdx=ex+C

∫ c o s x d x = s i n x + C \int cosxdx=sinx+C cosxdx=sinx+C

∫ s i n x d x = ? c o s x + C \int sinxdx=-cosx+C sinxdx=?cosx+C

∫ s e c 2 x d x = t a n x + C ( s e c x = 1 c o s x ) \int sec^2xdx=tanx+C(secx=\frac{1}{cosx}) sec2xdx=tanx+C(secx=cosx1?)

∫ c s c 2 d x = ? c o t x + C ( c s c x = 1 s i n x ) \int csc^2dx=-cotx+C(cscx=\frac{1}{sinx}) csc2dx=?cotx+C(cscx=sinx1?)
不定积分

各种不定积分的技巧

凑微分法

公式

∫ f ′ ( x ) d x = ∫ d f ( x ) = f ( x ) + C \int f'(x)dx=\int df(x)=f(x)+C f(x)dx=df(x)=f(x)+C
想办法把要积分的项转化为某个函数的导数的形式,然后利用基本积分公式求解。

例子

1. ∫ 1 ( x ? 1 ) 2 d x \int \frac{1}{(x-1)^2}dx (x?1)21?dx

= ∫ ( x ? 1 ) ? 2 d ( x ? 1 ) =\int (x-1)^{-2}d(x-1) =(x?1)?2d(x?1)

= ? 1 x ? 1 + C =-\frac{1}{x-1}+C =?x?11?+C

2. ∫ x e x 2 d x \int xe^{x^2}dx xex2dx

= 1 2 ∫ e x 2 d x 2 =\frac{1}{2}\int e^{x^2}dx^2 =21?ex2dx2

= 1 2 e x 2 + C =\frac{1}{2}e^{x^2}+C =21?ex2+C

3. ∫ 1 e x + 1 d x \int \frac{1}{e^x+1}dx ex+11?dx

= ∫ 1 ? e x e x + 1 d x = ∫ d x ? ∫ e x e x + 1 d x = x ? ∫ 1 e x + 1 d ( e x + 1 ) = x ? l n ( e x + 1 ) + C =\int 1-\frac{e^x}{e^x+1}dx=\int dx-\int \frac{e^x}{e^x+1}dx=x-\int \frac{1}{e^x+1}d(e^x+1)=x-ln(e^x+1)+C =1?ex+1ex?dx=dx?ex+1ex?dx=x?ex+11?d(ex+1)=x?ln(ex+1)+C

4. ∫ t a n x d x \int tanxdx tanxdx

= ∫ s i n x c o s x d x = ∫ 1 c o s x d ( ? c o s x ) = ? ∫ 1 c o s x d ( c o s x ) = ? l n ∣ c o s x ∣ + C =\int \frac{sinx}{cosx}dx=\int \frac{1}{cosx}d(-cosx)=-\int \frac{1}{cosx}d(cosx)=-ln|cosx|+C =cosxsinx?dx=cosx1?d(?cosx)=?cosx1?d(cosx)=?lncosx+C

分部积分法

公式

∫ u d v = u v ? v d u \int udv=uv-vdu udv=uv?vdu
按照“反对幂指三”的原则,选取顺序靠后函数的和 d x dx dx凑成 d v dv dv

“反对幂指三”即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数。

公式推导

( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' (uv)=uv+uv

∫ ( u v ) ′ d x = ∫ u ′ v d x + ∫ u v ′ d x \int (uv)'dx=\int u'vdx+\int uv'dx (uv)dx=uvdx+uvdx

∫ d ( u v ) = ∫ v d u + ∫ u d v \int d(uv)=\int vdu+\int udv d(uv)=vdu+udv

u v = ∫ v d u + ∫ u d v uv=\int vdu+\int udv uv=vdu+udv

∫ u d v = u v ? v d u \int udv=uv-vdu udv=uv?vdu

例子

1. ∫ l n x d x \int lnxdx lnxdx

= x l n x ? ∫ x d ( l n x ) = x l n x ? ∫ x ? 1 x d x = x l n ? x + C =xlnx-\int xd(lnx)=xlnx-\int x*\frac{1}{x}dx=xln-x+C =xlnx?xd(lnx)=xlnx?x?x1?dx=xln?x+C

2. ∫ x l n x d x \int xlnxdx xlnxdx

= 1 2 ∫ l n x d x 2 = 1 2 x 2 l n x ? 1 2 ∫ x 2 d ( l n x ) = 1 2 x 2 l n x ? 1 2 ∫ x d x = 1 2 x 2 l n x ? 1 4 x 2 + C =\frac{1}{2}\int lnxdx^2=\frac{1}{2}x^2lnx-\frac{1}{2}\int x^2d(lnx)=\frac{1} {2}x^2lnx-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{1}{2}x^2lnx-\frac{1}{4}x^2+C =21?lnxdx2=21?x2lnx?21?x2d(lnx)=21?x2lnx?21?xdx=21?x2lnx?41?x2+C

3. ∫ x e x d x \int xe^xdx xexdx

= ∫ x d e x = x e x ? ∫ e x d x = x e x ? e x + C =\int xde^x=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C =xdex=xex?exdx=xex?ex+C

4. ∫ e x s i n x d x \int e^xsinxdx exsinxdx

= ∫ s i n x d e x = e x s i n x ? ∫ e x d s i n x = e x s i n x ? ∫ e x c o s x d x = e x s i n x ? ∫ c o s x d e x = e x s i n x ? e x c o s x + ∫ e x d c o s x = e x s i n x ? e x c o s x ? ∫ e x s i n x d x =\int sinxde^x=e^xsinx-\int e^xdsinx=e^xsinx-\int e^xcosxdx=e^xsinx-\int cosxde^x=e^xsinx-e^xcosx+\int e^xdcosx=e^xsinx-e^xcosx-\int e^xsinxdx =sinxdex=exsinx?exdsinx=exsinx?excosxdx=exsinx?cosxdex=exsinx?excosx+exdcosx=exsinx?excosx?exsinxdx

2 ∫ e x s i n x d x = e x s i n x ? e x c o s x 2\int e^xsinxdx=e^xsinx-e^xcosx 2exsinxdx=exsinx?excosx

∫ e x s i n x d x = 1 2 e x ( s i n x ? c o s x ) \int e^xsinxdx=\frac{1}{2}e^x(sinx-cosx) exsinxdx=21?ex(sinx?cosx)

换元法

普通换元

∫ s i n x x d x \int \frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx x ?sinx ??dx

t = x t=\sqrt{x} t=x ?,那么 x = t 2 x=t^2 x=t2 d x = 2 t d t dx=2tdt dx=2tdt

原式 = ∫ s i n t t 2 t d t = 2 ∫ s i n t d t = ? 2 c o s t + C = ? 2 c o s x + C =\int \frac{sint}{t}2tdt=2\int sintdt=-2cost+C=-2cos\sqrt{x}+C =tsint?2tdt=2sintdt=?2cost+C=?2cosx ?+C

三角换元

公式

三角函数换元主要利用下面两个公式进行换元:
s i n 2 x + c o s 2 x = 1 sin^2x+cos^2x=1 sin2x+cos2x=1
1 + t a n 2 x = s e c 2 x 1+tan^2x=sec^2x 1+tan2x=sec2x

例子

1. ∫ 1 a 2 ? x 2 d x \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx a2?x2 ?1?dx

x = a s i n t x=asint x=asint,则 t = a r c s i n ( x a ) t=arcsin(\frac{x}{a}) t=arcsin(ax?) d x = a c o s t d t dx=acostdt dx=acostdt

原式 = ∫ a c o s t a 2 ? a 2 s i n 2 t d t = ∫ a c o s t a 2 c o s 2 t ∫ d t = t + C = a r c s i n ( x a ) + C =\int \frac{acost}{\sqrt{a^2-a^2sin^2t}}dt=\int \frac{acost}{\sqrt{a^2cos^2t}}\int dt=t+C=arcsin(\frac{x}{a})+C =a2?a2sin2t ?acost?dt=a2cos2t ?acost?dt=t+C=arcsin(ax?)+C

注:此处默认 a > 0 a>0 a>0,且不妨令 ? π 2 < t < π 2 -\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2} ?2π?<t<2π?,于是有 a 2 c o s 2 t = ∣ a c o s t ∣ = a c o s t \sqrt{a^2cos^2t}=|acost|=acost a2cos2t ?=acost=acost

2. ∫ 1 a 2 + x 2 d x \int \frac{1}{a^2+x^2}dx a2+x21?dx

x = a t a n t x=atant x=atant,则 t = a r c t a n ( x a ) t=arctan(\frac{x}{a}) t=arctan(ax?) d x = a s e c 2 t d t dx=asec^2tdt dx=asec2tdt

原式 = ∫ a s e c 2 t a 2 + a 2 t a n 2 t d t = 1 a ∫ d t = 1 a a r c t a n ( x a ) + C =\int \frac{asec^2t}{a^2+a^2tan^2t}dt=\frac{1}{a}\int dt=\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})+C =a2+a2tan2tasec2t?dt=a1?dt=a1?arctan(ax?)+C

二次分式的处理

1. ∫ 1 x 2 + x + 1 d x \int \frac{1}{x^2+x+1}dx x2+x+11?dx

= ∫ 1 ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 d x = 2 3 3 a r c t a n ( 2 3 3 ( x + 1 2 ) ) + C =\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx=\frac{2\sqrt{3}}{3}arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}(x+\frac{1}{2}))+C =(x+21?)2+43?1?dx=323 ??arctan(323 ??(x+21?))+C

2. ∫ x + 1 x 2 + x + 1 d x \int \frac{x+1}{x^2+x+1}dx x2+x+1x+1?dx

= ∫ x + 1 2 ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 d x + ∫ 1 2 ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 d x =\int \frac{x+\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx+\int \frac{\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx =(x+21?)2+43?x+21??dx+(x+21?)2+43?21??dx

= 1 2 ∫ 1 ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 d [ ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 ] + 1 2 ∫ 1 ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 d x =\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}d[(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}]+\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx =21?(x+21?)2+43?1?d[(x+21?)2+43?]+21?(x+21?)2+43?1?dx

= 1 2 l n [ ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 ] + 3 3 a r c t a n ( 2 3 3 ( x + 1 2 ) ) + C =\frac{1}{2}ln[(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}]+\frac{\sqrt{3}}{3}arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}(x+\frac{1}{2}))+C =21?ln[(x+21?)2+43?]+33 ??arctan(323 ??(x+21?))+C

= 1 2 l n ( x 2 + x + 1 ) + 3 3 a r c t a n ( 2 3 3 ( x + 1 2 ) ) + C =\frac{1}{2}ln(x^2+x+1)+\frac{\sqrt{3}}{3}arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}(x+\frac{1}{2}))+C =21?ln(x2+x+1)+33 ??arctan(323 ??(x+21?))+C

有理函数积分

公式

形如 f ( x ) = a 0 x m + a 1 x m ? 1 + ? + a m ? 1 x + a m x n + b 1 x n ? 1 + ? + b n ? 1 x + b n f(x)=\frac{a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots+a_{m-1}x+a_m}{x^n+b_1x^{n-1}+\cdots+b_{n-1}x+b_n} f(x)=xn+b1?xn?1+?+bn?1?x+bn?a0?xm+a1?xm?1+?+am?1?x+am??的函数被称为有理函数。

只考虑 m < n m<n m<n的情况。对分母做因式分解,一定可以分解成多个一次多项式和多个二次多项式的乘积。假设分母因式后的结果为
( x + A 1 ) p 1 ( x + A 2 ) p 2 ? ( x + A M ) p M ( x 2 + B 1 x + C 1 ) q 1 ( x 2 + B 2 x + C 2 ) q 2 ? ( x 2 + B N x + C N ) q N (x+A_1)^{p_1}(x+A_2)^{p_2}\cdots(x+A_M)^{p_M}(x^2+B_1x+C_1)^{q_1}(x^2+B_2x+C_2)^{q_2}\cdots(x^2+B_Nx+C_N)^{q_N} (x+A1?)p1?(x+A2?)p2??(x+AM?)pM?(x2+B1?x+C1?)q1?(x2+B2?x+C2?)q2??(x2+BN?x+CN?)qN?
那么 f ( x ) f(x) f(x)就可以分解成若干项简单真分式的和
f ( x ) = r 11 x + A 1 + r 12 ( x + A 1 ) 2 + ? + r 1 p 1 ( x + A 1 ) p 1 + r 21 x + A 2 + r 22 ( x + A 2 ) 2 + ? + r 2 p 2 ( x + A 2 ) p 2 + ? + r M 1 x + A M + r M 2 ( x + A M ) 2 + ? + r M p M ( x + A M ) p M + c 11 x + d 11 x 2 + B 1 x + C 1 + c 12 x + d 12 ( x 2 + B 1 x + C 1 ) 2 + ? + c 1 q 1 x + d 1 q 1 ( x 2 + B 1 x + C 1 ) q 1 + c 21 x + d 21 x 2 + B 2 x + C 2 + c 22 x + d 22 ( x 2 + B 2 x + C 2 ) 2 + ? + c 2 q 2 x + d 2 q 2 ( x 2 + B 2 x + C 2 ) q 2 + ? + c N 1 x + d N 1 x 2 + B N x + C N + c N 2 x + d N 2 ( x 2 + B N x + C N ) 2 + ? + c N q N x + d N q N ( x 2 + B N x + C N ) q N \begin{aligned} f(x)=&\frac{r_{11}}{x+A_1}+\frac{r_{12}}{(x+A_1)^2}+\cdots+\frac{r_{1p_1}}{(x+A_1)^{p_1}}+\\ &\frac{r_{21}}{x+A_2}+\frac{r_{22}}{(x+A_2)^2}+\cdots+\frac{r_{2p_2}}{(x+A_2)^{p_2}}+\cdots+\\ &\frac{r_{M1}}{x+A_M}+\frac{r_{M2}}{(x+A_M)^2}+\cdots+\frac{r_{Mp_M}}{(x+A_M)^{p_M}}+\\ &\frac{c_{11}x+d_{11}}{x^2+B_1x+C_1}+\frac{c_{12}x+d_{12}}{(x^2+B_1x+C_1)^2}+\cdots+\frac{c_{1q_1}x+d_{1q_1}}{(x^2+B_1x+C_1)^{q_1}}+\\ &\frac{c_{21}x+d_{21}}{x^2+B_2x+C_2}+\frac{c_{22}x+d_{22}}{(x^2+B_2x+C_2)^2}+\cdots+\frac{c_{2q_2}x+d_{2q_2}}{(x^2+B_2x+C_2)^{q_2}}+\cdots+\\ &\frac{c_{N1}x+d_{N1}}{x^2+B_Nx+C_N}+\frac{c_{N2}x+d_{N2}}{(x^2+B_Nx+C_N)^2}+\cdots+\frac{c_{Nq_N}x+d_{Nq_N}}{(x^2+B_Nx+C_N)^{q_N}} \end{aligned} f(x)=?x+A1?r11??+(x+A1?)2r12??+?+(x+A1?)p1?r1p1???+x+A2?r21??+(x+A2?)2r22??+?+(x+A2?)p2?r2p2???+?+x+AM?rM1??+(x+AM?)2rM2??+?+(x+AM?)pM?rMpM???+x2+B1?x+C1?c11?x+d11??+(x2+B1?x+C1?)2c12?x+d12??+?+(x2+B1?x+C1?)q1?c1q1??x+d1q1???+x2+B2?x+C2?c21?x+d21??+(x2+B2?x+C2?)2c22?x+d22??+?+(x2+B2?x+C2?)q2?c2q2??x+d2q2???+?+x2+BN?x+CN?cN1?x+dN1??+(x2+BN?x+CN?)2cN2?x+dN2??+?+(x2+BN?x+CN?)qN?cNqN??x+dNqN????

分解成简单真分式之后,积分就都比较好求了。

例子

1. ∫ 1 ( x ? 1 ) ( x ? 2 ) d x \int \frac{1}{(x-1)(x-2)}dx (x?1)(x?2)1?dx

根据公式,设 1 ( x ? 1 ) ( x ? 2 ) = a x ? 1 + b x ? 2 \frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2} (x?1)(x?2)1?=x?1a?+x?2b?

两边同乘 ( x ? 1 ) ( x ? 2 ) (x-1)(x-2) (x?1)(x?2),得到 1 = a ( x ? 2 ) + b ( x ? 1 ) = ( a + b ) x ? 2 a ? b 1=a(x-2)+b(x-1)=(a+b)x-2a-b 1=a(x?2)+b(x?1)=(a+b)x?2a?b

于是有 { a + b = 0 ? 2 a ? b = 1 \begin{cases} a+b=0\\ -2a-b=1 \end{cases} {a+b=0?2a?b=1?

解得
{ a = ? 1 b = 1 \begin{cases} a=-1\\ b=1 \end{cases} {a=?1b=1?

于是,原式 = ? ∫ 1 x ? 1 d x + ∫ 1 x ? 2 d x = ? l n ∣ x ? 1 ∣ + l n ∣ x ? 2 ∣ + C = l n ∣ x ? 2 x ? 1 ∣ + C =-\int \frac{1}{x-1}dx+\int \frac{1}{x-2}dx=-ln|x-1|+ln|x-2|+C=ln|\frac{x-2}{x-1}|+C =?x?11?dx+x?21?dx=?lnx?1∣+lnx?2∣+C=lnx?1x?2?+C

2. ∫ x 2 + x + 7 ( x ? 1 ) 2 ( x 2 + x + 1 ) d x \int \frac{x^2+x+7}{(x-1)^2(x^2+x+1)}dx (x?1)2(x2+x+1)x2+x+7?dx

根据公式,设 x 2 + x + 7 ( x ? 1 ) 2 ( x 2 + x + 1 ) = a x ? 1 + b ( x ? 1 ) 2 + c x + d x 2 + x + 1 \frac{x^2+x+7}{(x-1)^2(x^2+x+1)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1)^2}+\frac{cx+d}{x^2+x+1} (x?1)2(x2+x+1)x2+x+7?=x?1a?+(x?1)2b?+x2+x+1cx+d?

经计算,得出
{ a = ? 2 b = 3 c = 2 d = 2 \begin{cases} a=-2\\ b=3\\ c=2\\ d=2 \end{cases} ? ? ??a=?2b=3c=2d=2?

于是,原式 = ? 2 ∫ 1 x ? 1 d x + 3 ∫ 1 ( x ? 1 ) 2 d x + 2 ∫ x + 1 x 2 + x + 1 d x =-2\int \frac{1}{x-1}dx+3\int \frac{1}{(x-1)^2}dx+2\int \frac{x+1}{x^2+x+1}dx =?2x?11?dx+3(x?1)21?dx+2x2+x+1x+1?dx

= ? 2 l n ∣ x ? 1 ∣ ? 3 x ? 1 + l n ( x 2 + x + 1 ) + 2 3 3 a r c t a n ( 2 3 3 ( x + 1 2 ) ) + C =-2ln|x-1|-\frac{3}{x-1}+ln(x^2+x+1)+\frac{2\sqrt{3}}{3}arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}(x+\frac{1}{2}))+C =?2lnx?1∣?x?13?+ln(x2+x+1)+323 ??arctan(323 ??(x+21?))+C

基本积分表

最后,给大家送上一张基本积分表。有了这张积分表,本来一些很繁琐的运算就可以变成直接套公式了。

1. ∫ k d x = k x + C \int kdx=kx+C kdx=kx+C k k k是常数)

2. ∫ x a d x = 1 a + 1 x a + 1 + C , a ≠ ? 1 \int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C ,a\ne-1 xadx=a+11?xa+1+C,a=?1

3. ∫ 1 x d x = l n ∣ x ∣ + C \int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C x1?dx=lnx+C

4. ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t a n x + C \int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C 1+x21?dx=arctanx+C

5. ∫ 1 1 ? x 2 d x = a r c s i n x + C \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C 1?x2 ?1?dx=arcsinx+C

6. ∫ c o s x d x = s i n x + C \int cosxdx=sinx+C cosxdx=sinx+C

7. ∫ s i n x d x = ? c o s x + C \int sinxdx=-cosx+C sinxdx=?cosx+C

8. ∫ s e c 2 x d x = t a n x + C ( s e c x = 1 c o s x ) \int sec^2xdx=tanx+C(secx=\frac{1}{cosx}) sec2xdx=tanx+C(secx=cosx1?)

9. ∫ c s c 2 d x = ? c o t x + C ( c s c x = 1 s i n x ) \int csc^2dx=-cotx+C(cscx=\frac{1}{sinx}) csc2dx=?cotx+C(cscx=sinx1?)

10. ∫ s e c x t a n x d x = s e c x + C \int secxtanxdx=secx+C secxtanxdx=secx+C

11. ∫ c s c x c o t x d x = ? c s c x + C \int cscxcotxdx=-cscx+C cscxcotxdx=?cscx+C

12. ∫ e x d x = e x + C \int e^xdx=e^x+C exdx=ex+C

13. ∫ a x d x = a x l n a + C \int a^xdx=\frac{a^x}{lna}+C axdx=lnaax?+C a > 0 a>0 a>0 a ≠ 1 a\ne1 a=1

14. ∫ s h x d x = c h x + C \int shxdx=chx+C shxdx=chx+C

15. ∫ c h x d x = s h x + C \int chxdx=shx+C chxdx=shx+C

16. 1 a 2 + x 2 d x = a r c t a n x a + C \frac{1}{a^2+x^2}dx=arctan\frac{x}{a}+C a2+x21?dx=arctanax?+C

17. ∫ 1 x 2 ? a 2 d x = 1 2 a l n ∣ x ? a x + a ∣ + C \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C x2?a21?dx=2a1?lnx+ax?a?+C

18. ∫ 1 a 2 ? x 2 d x = a r c s i n x a + C \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C a2?x2 ?1?dx=arcsinax?+C

19. ∫ 1 a 2 + x 2 d x = l n ( x + a 2 + x 2 ) + C \int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C a2+x2 ?1?dx=ln(x+a2+x2 ?)+C

20. ∫ 1 x 2 ? a 2 d x = l n ( x + x 2 ? a 2 ) + C \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C x2?a2 ?1?dx=ln(x+x2?a2 ?)+C

21. ∫ t a n x d x = ? l n ∣ c o s x ∣ + C \int tanxdx=-ln|cosx|+C tanxdx=?lncosx+C

22. ∫ c o t x d x = l n ∣ s i n x ∣ + C \int cotxdx=ln|sinx|+C cotxdx=lnsinx+C

23. ∫ s e c x d x = l n ∣ s e c x + t a n x ∣ + C \int secxdx=ln|secx+tanx|+C secxdx=lnsecx+tanx+C

24. ∫ c s c x d x = l n ∣ c s c x ? c o t x ∣ + C \int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C cscxdx=lncscx?cotx+C

总结

本文总结了几种比较常见的不定积分技巧和一些经典积分例题。暂时没有涉及定积分以及二重积分的内容(主要是因为不定积分比较简单)。

文章来源:https://blog.csdn.net/liuzibujian/article/details/135016559
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