各种不定积分的技巧
前言
积分对于理工科的人来说,可谓一种基本技能。
在物理学上,积分是求解函数面积、体积、质心、转动惯量等物理量的基本工具。
在数学上,积分概念的引入,催生了诸如微分方程、无穷级数、微分几何、复变函数等数学分支,丰富了数学的内涵,推动了数学的发展。
在实际应用中,定积分可以计算具体的值,具有实际价值。而不定积分则可以用来寻找原函数,为求解定积分提供了便利。两者在物理学、工程学、经济学等领域中都有着广泛的应用。
本文就来探讨一些计算不定积分的技巧。
基础积分公式
这里先给出一些比较基础的积分公式。有了这些积分公式,这些公式是基础中的基础。文末有一张比较全的基本积分表。
∫ k d x = k x + C \int kdx=kx+C ∫kdx=kx+C
∫ x a d x = 1 a + 1 x a + 1 + C , a ≠ ? 1 \int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C ,a\ne-1 ∫xadx=a+11?xa+1+C,a=?1
∫ 1 x d x = l n ∣ x ∣ + C \int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C ∫x1?dx=ln∣x∣+C
∫ e x d x = e x + C \int e^xdx=e^x+C ∫exdx=ex+C
∫ c o s x d x = s i n x + C \int cosxdx=sinx+C ∫cosxdx=sinx+C
∫ s i n x d x = ? c o s x + C \int sinxdx=-cosx+C ∫sinxdx=?cosx+C
∫ s e c 2 x d x = t a n x + C ( s e c x = 1 c o s x ) \int sec^2xdx=tanx+C(secx=\frac{1}{cosx}) ∫sec2xdx=tanx+C(secx=cosx1?)
∫
c
s
c
2
d
x
=
?
c
o
t
x
+
C
(
c
s
c
x
=
1
s
i
n
x
)
\int csc^2dx=-cotx+C(cscx=\frac{1}{sinx})
∫csc2dx=?cotx+C(cscx=sinx1?)
各种不定积分的技巧
凑微分法
公式
∫
f
′
(
x
)
d
x
=
∫
d
f
(
x
)
=
f
(
x
)
+
C
\int f'(x)dx=\int df(x)=f(x)+C
∫f′(x)dx=∫df(x)=f(x)+C
想办法把要积分的项转化为某个函数的导数的形式,然后利用基本积分公式求解。
例子
1. ∫ 1 ( x ? 1 ) 2 d x \int \frac{1}{(x-1)^2}dx ∫(x?1)21?dx
= ∫ ( x ? 1 ) ? 2 d ( x ? 1 ) =\int (x-1)^{-2}d(x-1) =∫(x?1)?2d(x?1)
= ? 1 x ? 1 + C =-\frac{1}{x-1}+C =?x?11?+C
2. ∫ x e x 2 d x \int xe^{x^2}dx ∫xex2dx
= 1 2 ∫ e x 2 d x 2 =\frac{1}{2}\int e^{x^2}dx^2 =21?∫ex2dx2
= 1 2 e x 2 + C =\frac{1}{2}e^{x^2}+C =21?ex2+C
3. ∫ 1 e x + 1 d x \int \frac{1}{e^x+1}dx ∫ex+11?dx
= ∫ 1 ? e x e x + 1 d x = ∫ d x ? ∫ e x e x + 1 d x = x ? ∫ 1 e x + 1 d ( e x + 1 ) = x ? l n ( e x + 1 ) + C =\int 1-\frac{e^x}{e^x+1}dx=\int dx-\int \frac{e^x}{e^x+1}dx=x-\int \frac{1}{e^x+1}d(e^x+1)=x-ln(e^x+1)+C =∫1?ex+1ex?dx=∫dx?∫ex+1ex?dx=x?∫ex+11?d(ex+1)=x?ln(ex+1)+C
4. ∫ t a n x d x \int tanxdx ∫tanxdx
= ∫ s i n x c o s x d x = ∫ 1 c o s x d ( ? c o s x ) = ? ∫ 1 c o s x d ( c o s x ) = ? l n ∣ c o s x ∣ + C =\int \frac{sinx}{cosx}dx=\int \frac{1}{cosx}d(-cosx)=-\int \frac{1}{cosx}d(cosx)=-ln|cosx|+C =∫cosxsinx?dx=∫cosx1?d(?cosx)=?∫cosx1?d(cosx)=?ln∣cosx∣+C
分部积分法
公式
∫
u
d
v
=
u
v
?
v
d
u
\int udv=uv-vdu
∫udv=uv?vdu
按照“反对幂指三”的原则,选取顺序靠后函数的和
d
x
dx
dx凑成
d
v
dv
dv
“反对幂指三”即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数。
公式推导
( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' (uv)′=u′v+uv′
∫ ( u v ) ′ d x = ∫ u ′ v d x + ∫ u v ′ d x \int (uv)'dx=\int u'vdx+\int uv'dx ∫(uv)′dx=∫u′vdx+∫uv′dx
∫ d ( u v ) = ∫ v d u + ∫ u d v \int d(uv)=\int vdu+\int udv ∫d(uv)=∫vdu+∫udv
u v = ∫ v d u + ∫ u d v uv=\int vdu+\int udv uv=∫vdu+∫udv
∫ u d v = u v ? v d u \int udv=uv-vdu ∫udv=uv?vdu
例子
1. ∫ l n x d x \int lnxdx ∫lnxdx
= x l n x ? ∫ x d ( l n x ) = x l n x ? ∫ x ? 1 x d x = x l n ? x + C =xlnx-\int xd(lnx)=xlnx-\int x*\frac{1}{x}dx=xln-x+C =xlnx?∫xd(lnx)=xlnx?∫x?x1?dx=xln?x+C
2. ∫ x l n x d x \int xlnxdx ∫xlnxdx
= 1 2 ∫ l n x d x 2 = 1 2 x 2 l n x ? 1 2 ∫ x 2 d ( l n x ) = 1 2 x 2 l n x ? 1 2 ∫ x d x = 1 2 x 2 l n x ? 1 4 x 2 + C =\frac{1}{2}\int lnxdx^2=\frac{1}{2}x^2lnx-\frac{1}{2}\int x^2d(lnx)=\frac{1} {2}x^2lnx-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{1}{2}x^2lnx-\frac{1}{4}x^2+C =21?∫lnxdx2=21?x2lnx?21?∫x2d(lnx)=21?x2lnx?21?∫xdx=21?x2lnx?41?x2+C
3. ∫ x e x d x \int xe^xdx ∫xexdx
= ∫ x d e x = x e x ? ∫ e x d x = x e x ? e x + C =\int xde^x=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C =∫xdex=xex?∫exdx=xex?ex+C
4. ∫ e x s i n x d x \int e^xsinxdx ∫exsinxdx
= ∫ s i n x d e x = e x s i n x ? ∫ e x d s i n x = e x s i n x ? ∫ e x c o s x d x = e x s i n x ? ∫ c o s x d e x = e x s i n x ? e x c o s x + ∫ e x d c o s x = e x s i n x ? e x c o s x ? ∫ e x s i n x d x =\int sinxde^x=e^xsinx-\int e^xdsinx=e^xsinx-\int e^xcosxdx=e^xsinx-\int cosxde^x=e^xsinx-e^xcosx+\int e^xdcosx=e^xsinx-e^xcosx-\int e^xsinxdx =∫sinxdex=exsinx?∫exdsinx=exsinx?∫excosxdx=exsinx?∫cosxdex=exsinx?excosx+∫exdcosx=exsinx?excosx?∫exsinxdx
2 ∫ e x s i n x d x = e x s i n x ? e x c o s x 2\int e^xsinxdx=e^xsinx-e^xcosx 2∫exsinxdx=exsinx?excosx
∫ e x s i n x d x = 1 2 e x ( s i n x ? c o s x ) \int e^xsinxdx=\frac{1}{2}e^x(sinx-cosx) ∫exsinxdx=21?ex(sinx?cosx)
换元法
普通换元
∫ s i n x x d x \int \frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx ∫x?sinx??dx
令 t = x t=\sqrt{x} t=x?,那么 x = t 2 x=t^2 x=t2, d x = 2 t d t dx=2tdt dx=2tdt
原式 = ∫ s i n t t 2 t d t = 2 ∫ s i n t d t = ? 2 c o s t + C = ? 2 c o s x + C =\int \frac{sint}{t}2tdt=2\int sintdt=-2cost+C=-2cos\sqrt{x}+C =∫tsint?2tdt=2∫sintdt=?2cost+C=?2cosx?+C
三角换元
公式
三角函数换元主要利用下面两个公式进行换元:
s
i
n
2
x
+
c
o
s
2
x
=
1
sin^2x+cos^2x=1
sin2x+cos2x=1
1
+
t
a
n
2
x
=
s
e
c
2
x
1+tan^2x=sec^2x
1+tan2x=sec2x
例子
1. ∫ 1 a 2 ? x 2 d x \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx ∫a2?x2?1?dx
令 x = a s i n t x=asint x=asint,则 t = a r c s i n ( x a ) t=arcsin(\frac{x}{a}) t=arcsin(ax?), d x = a c o s t d t dx=acostdt dx=acostdt
原式 = ∫ a c o s t a 2 ? a 2 s i n 2 t d t = ∫ a c o s t a 2 c o s 2 t ∫ d t = t + C = a r c s i n ( x a ) + C =\int \frac{acost}{\sqrt{a^2-a^2sin^2t}}dt=\int \frac{acost}{\sqrt{a^2cos^2t}}\int dt=t+C=arcsin(\frac{x}{a})+C =∫a2?a2sin2t?acost?dt=∫a2cos2t?acost?∫dt=t+C=arcsin(ax?)+C
注:此处默认 a > 0 a>0 a>0,且不妨令 ? π 2 < t < π 2 -\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2} ?2π?<t<2π?,于是有 a 2 c o s 2 t = ∣ a c o s t ∣ = a c o s t \sqrt{a^2cos^2t}=|acost|=acost a2cos2t?=∣acost∣=acost
2. ∫ 1 a 2 + x 2 d x \int \frac{1}{a^2+x^2}dx ∫a2+x21?dx
令 x = a t a n t x=atant x=atant,则 t = a r c t a n ( x a ) t=arctan(\frac{x}{a}) t=arctan(ax?), d x = a s e c 2 t d t dx=asec^2tdt dx=asec2tdt
原式 = ∫ a s e c 2 t a 2 + a 2 t a n 2 t d t = 1 a ∫ d t = 1 a a r c t a n ( x a ) + C =\int \frac{asec^2t}{a^2+a^2tan^2t}dt=\frac{1}{a}\int dt=\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})+C =∫a2+a2tan2tasec2t?dt=a1?∫dt=a1?arctan(ax?)+C
二次分式的处理
1. ∫ 1 x 2 + x + 1 d x \int \frac{1}{x^2+x+1}dx ∫x2+x+11?dx
= ∫ 1 ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 d x = 2 3 3 a r c t a n ( 2 3 3 ( x + 1 2 ) ) + C =\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx=\frac{2\sqrt{3}}{3}arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}(x+\frac{1}{2}))+C =∫(x+21?)2+43?1?dx=323??arctan(323??(x+21?))+C
2. ∫ x + 1 x 2 + x + 1 d x \int \frac{x+1}{x^2+x+1}dx ∫x2+x+1x+1?dx
= ∫ x + 1 2 ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 d x + ∫ 1 2 ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 d x =\int \frac{x+\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx+\int \frac{\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx =∫(x+21?)2+43?x+21??dx+∫(x+21?)2+43?21??dx
= 1 2 ∫ 1 ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 d [ ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 ] + 1 2 ∫ 1 ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 d x =\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}d[(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}]+\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx =21?∫(x+21?)2+43?1?d[(x+21?)2+43?]+21?∫(x+21?)2+43?1?dx
= 1 2 l n [ ( x + 1 2 ) 2 + 3 4 ] + 3 3 a r c t a n ( 2 3 3 ( x + 1 2 ) ) + C =\frac{1}{2}ln[(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}]+\frac{\sqrt{3}}{3}arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}(x+\frac{1}{2}))+C =21?ln[(x+21?)2+43?]+33??arctan(323??(x+21?))+C
= 1 2 l n ( x 2 + x + 1 ) + 3 3 a r c t a n ( 2 3 3 ( x + 1 2 ) ) + C =\frac{1}{2}ln(x^2+x+1)+\frac{\sqrt{3}}{3}arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}(x+\frac{1}{2}))+C =21?ln(x2+x+1)+33??arctan(323??(x+21?))+C
有理函数积分
公式
形如 f ( x ) = a 0 x m + a 1 x m ? 1 + ? + a m ? 1 x + a m x n + b 1 x n ? 1 + ? + b n ? 1 x + b n f(x)=\frac{a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots+a_{m-1}x+a_m}{x^n+b_1x^{n-1}+\cdots+b_{n-1}x+b_n} f(x)=xn+b1?xn?1+?+bn?1?x+bn?a0?xm+a1?xm?1+?+am?1?x+am??的函数被称为有理函数。
只考虑
m
<
n
m<n
m<n的情况。对分母做因式分解,一定可以分解成多个一次多项式和多个二次多项式的乘积。假设分母因式后的结果为
(
x
+
A
1
)
p
1
(
x
+
A
2
)
p
2
?
(
x
+
A
M
)
p
M
(
x
2
+
B
1
x
+
C
1
)
q
1
(
x
2
+
B
2
x
+
C
2
)
q
2
?
(
x
2
+
B
N
x
+
C
N
)
q
N
(x+A_1)^{p_1}(x+A_2)^{p_2}\cdots(x+A_M)^{p_M}(x^2+B_1x+C_1)^{q_1}(x^2+B_2x+C_2)^{q_2}\cdots(x^2+B_Nx+C_N)^{q_N}
(x+A1?)p1?(x+A2?)p2??(x+AM?)pM?(x2+B1?x+C1?)q1?(x2+B2?x+C2?)q2??(x2+BN?x+CN?)qN?
那么
f
(
x
)
f(x)
f(x)就可以分解成若干项简单真分式的和
f
(
x
)
=
r
11
x
+
A
1
+
r
12
(
x
+
A
1
)
2
+
?
+
r
1
p
1
(
x
+
A
1
)
p
1
+
r
21
x
+
A
2
+
r
22
(
x
+
A
2
)
2
+
?
+
r
2
p
2
(
x
+
A
2
)
p
2
+
?
+
r
M
1
x
+
A
M
+
r
M
2
(
x
+
A
M
)
2
+
?
+
r
M
p
M
(
x
+
A
M
)
p
M
+
c
11
x
+
d
11
x
2
+
B
1
x
+
C
1
+
c
12
x
+
d
12
(
x
2
+
B
1
x
+
C
1
)
2
+
?
+
c
1
q
1
x
+
d
1
q
1
(
x
2
+
B
1
x
+
C
1
)
q
1
+
c
21
x
+
d
21
x
2
+
B
2
x
+
C
2
+
c
22
x
+
d
22
(
x
2
+
B
2
x
+
C
2
)
2
+
?
+
c
2
q
2
x
+
d
2
q
2
(
x
2
+
B
2
x
+
C
2
)
q
2
+
?
+
c
N
1
x
+
d
N
1
x
2
+
B
N
x
+
C
N
+
c
N
2
x
+
d
N
2
(
x
2
+
B
N
x
+
C
N
)
2
+
?
+
c
N
q
N
x
+
d
N
q
N
(
x
2
+
B
N
x
+
C
N
)
q
N
\begin{aligned} f(x)=&\frac{r_{11}}{x+A_1}+\frac{r_{12}}{(x+A_1)^2}+\cdots+\frac{r_{1p_1}}{(x+A_1)^{p_1}}+\\ &\frac{r_{21}}{x+A_2}+\frac{r_{22}}{(x+A_2)^2}+\cdots+\frac{r_{2p_2}}{(x+A_2)^{p_2}}+\cdots+\\ &\frac{r_{M1}}{x+A_M}+\frac{r_{M2}}{(x+A_M)^2}+\cdots+\frac{r_{Mp_M}}{(x+A_M)^{p_M}}+\\ &\frac{c_{11}x+d_{11}}{x^2+B_1x+C_1}+\frac{c_{12}x+d_{12}}{(x^2+B_1x+C_1)^2}+\cdots+\frac{c_{1q_1}x+d_{1q_1}}{(x^2+B_1x+C_1)^{q_1}}+\\ &\frac{c_{21}x+d_{21}}{x^2+B_2x+C_2}+\frac{c_{22}x+d_{22}}{(x^2+B_2x+C_2)^2}+\cdots+\frac{c_{2q_2}x+d_{2q_2}}{(x^2+B_2x+C_2)^{q_2}}+\cdots+\\ &\frac{c_{N1}x+d_{N1}}{x^2+B_Nx+C_N}+\frac{c_{N2}x+d_{N2}}{(x^2+B_Nx+C_N)^2}+\cdots+\frac{c_{Nq_N}x+d_{Nq_N}}{(x^2+B_Nx+C_N)^{q_N}} \end{aligned}
f(x)=?x+A1?r11??+(x+A1?)2r12??+?+(x+A1?)p1?r1p1???+x+A2?r21??+(x+A2?)2r22??+?+(x+A2?)p2?r2p2???+?+x+AM?rM1??+(x+AM?)2rM2??+?+(x+AM?)pM?rMpM???+x2+B1?x+C1?c11?x+d11??+(x2+B1?x+C1?)2c12?x+d12??+?+(x2+B1?x+C1?)q1?c1q1??x+d1q1???+x2+B2?x+C2?c21?x+d21??+(x2+B2?x+C2?)2c22?x+d22??+?+(x2+B2?x+C2?)q2?c2q2??x+d2q2???+?+x2+BN?x+CN?cN1?x+dN1??+(x2+BN?x+CN?)2cN2?x+dN2??+?+(x2+BN?x+CN?)qN?cNqN??x+dNqN????
分解成简单真分式之后,积分就都比较好求了。
例子
1. ∫ 1 ( x ? 1 ) ( x ? 2 ) d x \int \frac{1}{(x-1)(x-2)}dx ∫(x?1)(x?2)1?dx
根据公式,设 1 ( x ? 1 ) ( x ? 2 ) = a x ? 1 + b x ? 2 \frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2} (x?1)(x?2)1?=x?1a?+x?2b?
两边同乘 ( x ? 1 ) ( x ? 2 ) (x-1)(x-2) (x?1)(x?2),得到 1 = a ( x ? 2 ) + b ( x ? 1 ) = ( a + b ) x ? 2 a ? b 1=a(x-2)+b(x-1)=(a+b)x-2a-b 1=a(x?2)+b(x?1)=(a+b)x?2a?b
于是有 { a + b = 0 ? 2 a ? b = 1 \begin{cases} a+b=0\\ -2a-b=1 \end{cases} {a+b=0?2a?b=1?
解得
{
a
=
?
1
b
=
1
\begin{cases} a=-1\\ b=1 \end{cases}
{a=?1b=1?
于是,原式 = ? ∫ 1 x ? 1 d x + ∫ 1 x ? 2 d x = ? l n ∣ x ? 1 ∣ + l n ∣ x ? 2 ∣ + C = l n ∣ x ? 2 x ? 1 ∣ + C =-\int \frac{1}{x-1}dx+\int \frac{1}{x-2}dx=-ln|x-1|+ln|x-2|+C=ln|\frac{x-2}{x-1}|+C =?∫x?11?dx+∫x?21?dx=?ln∣x?1∣+ln∣x?2∣+C=ln∣x?1x?2?∣+C
2. ∫ x 2 + x + 7 ( x ? 1 ) 2 ( x 2 + x + 1 ) d x \int \frac{x^2+x+7}{(x-1)^2(x^2+x+1)}dx ∫(x?1)2(x2+x+1)x2+x+7?dx
根据公式,设 x 2 + x + 7 ( x ? 1 ) 2 ( x 2 + x + 1 ) = a x ? 1 + b ( x ? 1 ) 2 + c x + d x 2 + x + 1 \frac{x^2+x+7}{(x-1)^2(x^2+x+1)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1)^2}+\frac{cx+d}{x^2+x+1} (x?1)2(x2+x+1)x2+x+7?=x?1a?+(x?1)2b?+x2+x+1cx+d?
经计算,得出
{
a
=
?
2
b
=
3
c
=
2
d
=
2
\begin{cases} a=-2\\ b=3\\ c=2\\ d=2 \end{cases}
?
?
??a=?2b=3c=2d=2?
于是,原式 = ? 2 ∫ 1 x ? 1 d x + 3 ∫ 1 ( x ? 1 ) 2 d x + 2 ∫ x + 1 x 2 + x + 1 d x =-2\int \frac{1}{x-1}dx+3\int \frac{1}{(x-1)^2}dx+2\int \frac{x+1}{x^2+x+1}dx =?2∫x?11?dx+3∫(x?1)21?dx+2∫x2+x+1x+1?dx
= ? 2 l n ∣ x ? 1 ∣ ? 3 x ? 1 + l n ( x 2 + x + 1 ) + 2 3 3 a r c t a n ( 2 3 3 ( x + 1 2 ) ) + C =-2ln|x-1|-\frac{3}{x-1}+ln(x^2+x+1)+\frac{2\sqrt{3}}{3}arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}(x+\frac{1}{2}))+C =?2ln∣x?1∣?x?13?+ln(x2+x+1)+323??arctan(323??(x+21?))+C
基本积分表
最后,给大家送上一张基本积分表。有了这张积分表,本来一些很繁琐的运算就可以变成直接套公式了。
1. ∫ k d x = k x + C \int kdx=kx+C ∫kdx=kx+C( k k k是常数)
2. ∫ x a d x = 1 a + 1 x a + 1 + C , a ≠ ? 1 \int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C ,a\ne-1 ∫xadx=a+11?xa+1+C,a=?1
3. ∫ 1 x d x = l n ∣ x ∣ + C \int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C ∫x1?dx=ln∣x∣+C
4. ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t a n x + C \int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C ∫1+x21?dx=arctanx+C
5. ∫ 1 1 ? x 2 d x = a r c s i n x + C \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C ∫1?x2?1?dx=arcsinx+C
6. ∫ c o s x d x = s i n x + C \int cosxdx=sinx+C ∫cosxdx=sinx+C
7. ∫ s i n x d x = ? c o s x + C \int sinxdx=-cosx+C ∫sinxdx=?cosx+C
8. ∫ s e c 2 x d x = t a n x + C ( s e c x = 1 c o s x ) \int sec^2xdx=tanx+C(secx=\frac{1}{cosx}) ∫sec2xdx=tanx+C(secx=cosx1?)
9. ∫ c s c 2 d x = ? c o t x + C ( c s c x = 1 s i n x ) \int csc^2dx=-cotx+C(cscx=\frac{1}{sinx}) ∫csc2dx=?cotx+C(cscx=sinx1?)
10. ∫ s e c x t a n x d x = s e c x + C \int secxtanxdx=secx+C ∫secxtanxdx=secx+C
11. ∫ c s c x c o t x d x = ? c s c x + C \int cscxcotxdx=-cscx+C ∫cscxcotxdx=?cscx+C
12. ∫ e x d x = e x + C \int e^xdx=e^x+C ∫exdx=ex+C
13. ∫ a x d x = a x l n a + C \int a^xdx=\frac{a^x}{lna}+C ∫axdx=lnaax?+C, a > 0 a>0 a>0且 a ≠ 1 a\ne1 a=1
14. ∫ s h x d x = c h x + C \int shxdx=chx+C ∫shxdx=chx+C
15. ∫ c h x d x = s h x + C \int chxdx=shx+C ∫chxdx=shx+C
16. 1 a 2 + x 2 d x = a r c t a n x a + C \frac{1}{a^2+x^2}dx=arctan\frac{x}{a}+C a2+x21?dx=arctanax?+C
17. ∫ 1 x 2 ? a 2 d x = 1 2 a l n ∣ x ? a x + a ∣ + C \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C ∫x2?a21?dx=2a1?ln∣x+ax?a?∣+C
18. ∫ 1 a 2 ? x 2 d x = a r c s i n x a + C \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C ∫a2?x2?1?dx=arcsinax?+C
19. ∫ 1 a 2 + x 2 d x = l n ( x + a 2 + x 2 ) + C \int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C ∫a2+x2?1?dx=ln(x+a2+x2?)+C
20. ∫ 1 x 2 ? a 2 d x = l n ( x + x 2 ? a 2 ) + C \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C ∫x2?a2?1?dx=ln(x+x2?a2?)+C
21. ∫ t a n x d x = ? l n ∣ c o s x ∣ + C \int tanxdx=-ln|cosx|+C ∫tanxdx=?ln∣cosx∣+C
22. ∫ c o t x d x = l n ∣ s i n x ∣ + C \int cotxdx=ln|sinx|+C ∫cotxdx=ln∣sinx∣+C
23. ∫ s e c x d x = l n ∣ s e c x + t a n x ∣ + C \int secxdx=ln|secx+tanx|+C ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C
24. ∫ c s c x d x = l n ∣ c s c x ? c o t x ∣ + C \int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C ∫cscxdx=ln∣cscx?cotx∣+C
总结
本文总结了几种比较常见的不定积分技巧和一些经典积分例题。暂时没有涉及定积分以及二重积分的内容(主要是因为不定积分比较简单)。
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