二分算法

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二分

数的三次方根

算法模板

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二分

给定一个按照升序排列的长度为?n?的整数数组，以及?q?个查询。

对于每个查询，返回一个元素?k?的起始位置和终止位置（位置从?00?开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回?-1 -1。

输入格式：

????????第一行包含整数?n?和?q，表示数组长度和询问个数。

????????第二行包含?n?个整数（均在?1～10000 范围内），表示完整数组。

????????接下来?q?行，每行包含一个整数?k，表示一个询问元素。

输出格式：

????????共?q?行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

????????如果数组中不存在该元素，则返回?-1 -1。

数据范围：

????????1≤n≤100000
????????1≤q≤10000
????????1≤k≤100001

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

在一个范围内,查找一个数字,要求找到这个元素的起始位置和结束位置,请注意这个范围内的数字都是单调递增的,即具有单调性质.

一个题目,如果一个区间具有单调性质,那么一定可以二分,但是如果说这道题目没有单调性质,而是具有某种区间性质的话,我们同样可以使用二分.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ——yxc

二分的题目,往往会出现最大值最小值,或者单调性质,这道题目显然不例外,要我们离线查找,所以我们完全可以使用二分算法来处理这道题目.

所谓的二分算法,就是我们知道当前的候选区间中,一定存在我们要找到的答案,而且我们发现这个区间拥有单调性质此类的性质,那么我们可以不停地缩减候选区间的范围,达到排除无用答案的效果.

代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int q[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);

    while (m -- )
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);

        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }

        if (q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else
        {
            cout << l << ' ';

            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }

            cout << l << endl;
        }
    }

    return 0;
}

数的三次方根

给定一个浮点数?n，求它的三次方根。

输入格式：共一行，包含一个浮点数?n。

输出格式：

????????共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

????????注意，结果保留?66?位小数。

数据范围：?10000≤n≤10000

输入样例： 1000.00

输出样例：10.000000

代码如下：?

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    double x;
    cin >> x;

    double l = -100, r = 100;
    while (r - l > 1e-8)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (mid * mid * mid >= x) r = mid;
        else l = mid;
    }

    printf("%.6lf\n", l);
    return 0;
}

算法模板

整数二分模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

浮点数二分模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}