降维的技术

?? 有时候机器学习所使用的特征太多了，几百上千个，这个时候计算量很大，可能需要减少对一些特征进行降维。当然，对特征进行降维不意味着对特征进行筛选，我曾经以为，所谓的降维，就是选择一些更加重要的特征，但实际上并不是，这个降维其实就是对原本的矩阵进行变换，然后让原矩阵变小了，特征还是那些特征，只是它们融合到了新矩阵，这种融合的手段，实际上改变了原来特征的性质，所以一定要小心使用。

??? 降维有好几种方法，其中常见的降维手段有主成分分析(PCA)，线性判别分析(LDA)，局部线性嵌入(LLE)。文章末尾会讲几个其他的手段当作科普。

1.奇异值分解

学过线性代数的同学都应该理解特征值和特征向量的关系。特征向量其实就是坐标系的一个维度，特征向量组成的矩阵就是对应的坐标系。为什么叫他们坐标系呢，因为空间中的任意一点，都可以用基坐标系线性组合。

坐标系就是这么一个东西，以二维空间为例，它的坐标系是:j,k不为0

a = [0, j]

b = [k, 0]

那么这个二维坐标的任意一点就可以用下面这个式子表示，k和l为任意常数

k*a+l*b

没问题吧.

那么，我们任意矩阵A可以表示为

其中Q是A的左特征矩阵，Q-1是它的右特征矩阵，Segama是对角矩阵，对角线上的值是右特征矩阵对应的特征值开方。

计算过程我就不多说了，很简单

(1).求得特征矩阵和特征值得到Q

(2).求的特征矩阵和特征向量值得到QT

(3).等于对应的特征值开方，然后形成对角矩阵

有些矩阵没办法求特征矩阵和特征向量，所以我们一般是采用协方差矩阵

2.PCA降维

　　PCA降维使用的一般是奇异值分解，最后得到特征矩阵和特征值。特征向量组成特征矩阵的时候，需要按照特征值的大小进行排列，特征值的大小就代表了特征的贡献率，因此我们一般选择前面几个特征值对应的特征向量组成特征矩阵Ｗ，降维之后的特征矩阵为ＷＴ＊Ｘ

　　PCA降维的方法是让数据投影到低维度上，让数据尽可能的分来。

? PCA也有核技巧，先让数据进行一次非线性映射，也就是通过核函数计算一次，得到新的矩阵，然后来求特征值和特征向量。

3.LDA线性判别分析

这个方法其实和PCA的思想差不多，也是在降维的时候，使得组间差异最大，组间差异最小，不同的是，它是一种和有监督的学习，而不是PCA那种无监督的计算。LDA降维之后的特征维度必然减少，而PCA可以不减少维度。LDA可以用作二分类。它的计算过程其实和PCA差不多。

4.LLE局部线性嵌入

LLE降维是保持局部线性关系的一种降维方式。

一般要选取k个临近值，然后求每个样本的k个临近样本，这k个样本可以线性组合大致可以表示这个样本，然后要求系数组合等于1,那么就有了约束条件。最后求解这个条件就行了。

简单来讲，就是降维要求保持数据的原本相对关系，这种要求是尽量，而不是绝对。

它的优点在于

(1).可以学习任意维度的局部线性的地位流形。

(2).算法可归结为稀疏矩阵特征分解，计算复杂度相对较小

缺点在于

(1).算法学习的流形只能是不闭合的，且样本是稠密均匀。

(2).对K值的选择很敏感。

5.其他降维技术

(1).随机投影，顾名思义，就是把高维数据随机投影到一个低纬度，这种方法居然是科学的，因为有研究指出，降维的质量取决于实例的数量和目标维度，和初始维度无关。

(2).多维缩放：尽量保持样本之间的距离

(3).Isomap:将实例与周围最近的邻居连接创建一个图，保持实例之间的测地距离

(4)t分布随机临近嵌入：降维的同时使得相似的实例靠近，不一样的实例尽可能分开