Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

2023-12-13 18:49:32

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法的思想是广度优先搜索(BFS) 贪心策略。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法,节点边是不各自不同的权重,但都必须是正数
如果是负数,则需要 Bellman-Ford 算法
如果想求任意两点之间的距离,就需要用 Floyd 算法

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求节点0 -> 4 的最短路径

  • 每次从未标记的节点中选择距离出发点最近的节点,标记,收录到最优路径集合中
  • 计算刚加入节点A的邻近节点B的距离(不包括标记的节点),若(节点A的距离 + 节点A到节点B的边长)< 节点B的距离,就更新节点B的距离和前序节点

初始状态

节点012345678备注
最优节点每一步,找出未标记的节点中,最短的距离,标记为最优节点
出发节点当前节点,到每个节点的距离,刚开始,所有的节点都认为是 ∞ 无穷大
前序点为了记录最短路径,需要记录每个节点的前序节点

从0出发

节点012345678
最优节点??
0 出发0
前序点

首先,节点0的距离是0,所有节点中距离最短的是它自己,0为最优路径中的节点

更新0邻近节点1、7

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从0点出发,到 相邻的节点 1、7
0->1 = 4 , 节点 1 此时为 ∞,因此 节点 1 的 距离 标为?4,前序节点为?0
0->7 = 8 , 节点 7 此时为 ∞,因此 节点 7 的 距离 标为?8,前序节点为?0

从未标记最优节点(1~8)中,找距离出发点最小的节点 =>?1

节点012345678
最优节点???
0 出发048
前序点00

更新1邻近节点2、7

上一次的最优节点是?1

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从0点出发,到 节点?1?相邻的节点 2、7
0->1->2 = 4 + 8 = 12 , 节点 2 此时为 ∞,因此 节点 2 的 距离 标为?12,前序节点为?1
0->1->7 = 4 + 11 = 15 , 节点 7 已有值 8,8<15,因此 节点7 的 距离、前序节点保持不变
从未标记最优节点(2~8)中,找距离出发点最小的节点 =>?7

节点012345678
最优节点????
0 出发04128
前序点010

更新7邻近节点 8、6

上一次的最优节点是?7

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从0点出发,到 节点?7?相邻的节点 8、6
0->7->8 = 8 + 7 = 15 , 节点 8 此时为 ∞,因此 节点 8 的 距离 标为?15,前序节点为?7
0->7->6 = 8 + 1 = 9 , 节点 6 此时为 ∞,因此 节点 6 的 距离 标为?9,前序节点为?7
从未标记最优节点(2~6、8)中,找距离出发点最小的节点 =>?6

节点012345678
最优节点?????
0 出发04129815
前序点01707

更新6邻近节点 8、5

上一次的最优节点是?6

image

从0点出发,到 节点?6?相邻的节点 8、5
0->7->6->8 = 8 + 1 + 6 = 15 , 节点 8 已有值 15,15=15,因此 节点 8 的 距离、前序节点保持不变
0->7->6->5 = 8 + 1 + 2 = 11 , 节点 5 此时为 ∞,因此 节点 5 的 距离 标为?11,前序节点为?6
从未标记最优节点(2~5、8)中,找距离出发点最小的节点 =>?5

节点012345678
最优节点??????
0 出发0412119815
前序点016707

更新5邻近节点 2、3、4

上一次的最优节点是?5

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从0点出发,到 节点?5?相邻的节点 2、3、4
0->7->6->5->2 = 8 + 1 + 2 + 4 = 15 , 节点 2 已有值 12,12<15,因此 节点2 的 距离、前序节点保持不变
0->7->6->5->3 = 8 + 1 + 2 + 14 = 25 , 节点 3 此时为 ∞,因此 节点 3 的 距离 标为?25,前序节点为?5
0->7->6->5->4 = 8 + 1 + 2 + 10 = 21 , 节点 4 此时为 ∞,因此 节点 4 的 距离 标为?21,前序节点为?5
从未标记最优节点(2、3、4、8)中,找距离出发点最小的节点 =>?2

节点012345678
最优节点???????
0 出发04122521119815
前序点01556707

更新2邻近节点 3、8

上一次的最优节点是?2

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从0点出发,到 节点?2?相邻的节点 3、5、8,节点5已标记,所以不处理节点5
0->1->2->3 = 4 + 8 + 7 = 19 , 节点 3 已有值 25,25>19,因此 节点 3 的 距离 标为?19,前序节点为?2
0->1->2->8 = 4 + 8 + 2 = 14 , 节点 8 已有值 15,15>14,因此 节点 8 的 距离 标为?14,前序节点为?2
从未标记最优节点(3、4、8)中,找距离出发点最小的节点 =>?8

节点012345678
最优节点????????
0 出发04121921119814
前序点01256702

更新8邻近节点

上一次的最优节点是?8

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8的邻近节点,2、7、6 都已被标记为最优节点,所以不需要处理
从未标记最优节点(3、4)中,找距离出发点最小的节点 =>?3

节点012345678
最优节点?????????
0 出发04121921119814
前序点01256702

更新3邻近节点

上一次的最优节点是?3

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最优节点3的邻近节点:2、5、4中 2、5都已被标记为最优节点,处理 4
0->1->2->3->4 = 19 + 9 = 28 , 节点 4 已有值 21,21<28,因此 节点 4 的 距离 、前序节点保持不变
从未标记最优节点(4)中,找距离出发点最小的节点 => 4

节点012345678
最优节点??????????
0 出发04121921119814
前序点01256702

已时已全部结束

最短距离

从出发点0 到节点 4 的最短距离 = 21

最短路径

反向追溯
4 的前序节点 5,5的前面是 6 ... =>?4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 0
因此?0 -> 7 -> 6 -> 5 -> 4?是最短路径

文章来源:https://blog.csdn.net/xdpcxq/article/details/134850665
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