Unity中Shader观察空间推导

2023-12-23 18:21:49

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前言

在上一篇文章中，我们推演了矩阵几何计算。

在这篇文章中，我们来推导一下 观察空间（摄像机空间）。

一、本地空间怎么转化到观察空间

可以根据上篇文章的推导得出：

  • 在两个不同角度坐标系下的坐标信息转化可以由如下公式算出。

Pview = [Wview] * Pworld

[Wview] = [Vworld]-1 = [Vworld]T

Pview = [Vworld]T * Pworld

  • Pview顶点在观察空间下的坐标
  • Pworld顶点在世界空间下的坐标
  • Wview世界空间的基向量 在 观察空间下的矩阵
  • Vworld观察空间的基向量 在 世界空间下的矩阵

二、怎么得到观察空间的基向量

  • 我们的观察空间使用的是右手坐标系
    在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

1、Z轴向量

  • Z轴正方向是从 模型顶点 指向 摄像机 方向
  • Z = ViewPos - ViewTarget
    请添加图片描述
    现在只知道 Z轴，还需要求 X Y轴。

2、假设 观察空间的 Y假设 = (0,1,0)

  • X = Y 与 Z 的叉积
  • Y = X 与 Z 的叉积

在这里插入图片描述

3、X = Y 与 Z 的叉积

请添加图片描述

4、Y = X 与 Z 的叉积

请添加图片描述
最后，得到的就是 视图空间坐标轴方向上的向量，归一化后即可作为基向量使用

三、求 [Vworld]T

1、求Vworld

  • 把基向量一列一列的写来排列得到 Vworld

V ? w o r l d X x ? V ? w o r l d Y x ? V ? w o r l d Z x ? V ? w o r l d X y ? V ? w o r l d Y y ? V ? w o r l d Z y ? V ? w o r l d X z ? V ? w o r l d Y z ? V ? w o r l d Z z ? \begin{matrix} V~worldXx~&V~worldYx~&V~worldZx~\\ V~worldXy~&V~worldYy~&V~worldZy~\\ V~worldXz~&V~worldYz~&V~worldZz~\\ \end{matrix} V?worldXx?V?worldXy?V?worldXz??V?worldYx?V?worldYy?V?worldYz??V?worldZx?V?worldZy?V?worldZz??

2、求[Vworld]T

这里原本是求逆矩阵，但是基向量矩阵是正交矩阵,所以逆矩阵 = 转置矩阵

V ? w o r l d X x ? V ? w o r l d X y ? V ? w o r l d X z ? V ? w o r l d Y x ? V ? w o r l d Y y ? V ? w o r l d Y z ? V ? w o r l d Z x ? V ? w o r l d Z y ? V ? w o r l d Z z ? \begin{matrix} V~worldXx~&V~worldXy~&V~worldXz~\\ V~worldYx~&V~worldYy~&V~worldYz~\\ V~worldZx~&V~worldZy~&V~worldZz~\\ \end{matrix} V?worldXx?V?worldYx?V?worldZx??V?worldXy?V?worldYy?V?worldZy??V?worldXz?V?worldYz?V?worldZz??

四、求出最后在Unity中使用的公式

  • Pview = [Vworld]T * Pworld

1、偏移坐标轴

在之前的步骤中，我们只完成坐标系的旋转转化。
但是，我们的 观察空间 和 世界空间 的原点不在同一地方。
所以，需要进行平移变换

在这里插入图片描述

2、把 平移的坐标 构建成之前文章中使用的 平移矩阵

1 0 0 ? T ? x ? 0 1 0 ? T ? y ? 0 0 1 ? T ? z ? 0 0 0 1 \begin{matrix} 1&0&0&-T~x~\\ 0&1&0&-T~y~\\ 0&0&1&-T~z~\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix} 1000?0100?0010??T?x??T?y??T?z?1?

  • 则我们的公式会变成如下样子：
    在这里插入图片描述

3、化简我们的矩阵

在这里插入图片描述

  • 这两个矩阵相乘，最后的一列的结果，可以化简为：

? ( V ? w o r l d X ? d o t T ) ? ( V ? w o r l d Y ? d o t T ) ? ( V ? w o r l d Z ? d o t T ) 1 \begin{matrix} -(V~worldX~ dot T) \\ -(V~worldY~ dot T) \\ -(V~worldZ~ dot T) \\ 1\\ \end{matrix} ?(V?worldX?dotT)?(V?worldY?dotT)?(V?worldZ?dotT)1?

  • 最后，公式化简为：
    在这里插入图片描述

文章来源:https://blog.csdn.net/qq_51603875/article/details/135166792
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