代码随想录算法训练营 | day52 动态规划 300.最长递增子序列，674.最长连续递增子序列，718.最长重复子数组

刷题

300.最长递增子序列

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题目：给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]

• 输出：4

• 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

• 输入：nums = [0,1,0,3,2,3]

• 输出：4

示例 3：

• 输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]

• 输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500

• -10^4 <= nums[i] <= 104

思路及实现

子序列问题是动态规划解决的经典问题，当前下标i的递增子序列长度，其实和i之前的下表j的子序列长度有关系，那又是什么样的关系呢。

接下来，我们依然用动规五部曲来详细分析一波：

1.dp[i]的定义

本题中，正确定义dp数组的含义十分重要。

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为我们在 做 递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。

2.状态转移方程

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。

3.dp[i]的初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

4.确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。

遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
 ? ?for (int j = 0; j < i; j++) {
 ? ? ? ?if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
 ?  }
 ? ?if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}

5.举例推导dp数组

输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：

如果代码写出来，但一直AC不了，那么就把dp数组打印出来，看看对不对！

以上五部分析完毕，代码如下：

class Solution {
 ? ?public int lengthOfLIS(int[] nums) {
 ? ? ? ?int[] dp = new int[nums.length];
 ? ? ? ?int res = 0;
 ? ? ? ?Arrays.fill(dp, 1);
 ? ? ? ?for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
 ? ? ? ? ? ?for (int j = 0; j < i; j++) {
 ? ? ? ? ? ? ? ?if (nums[i] > nums[j]) {
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
 ? ? ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ? ? ? ?res = Math.max(res, dp[i]);
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?return res;
 ?  }
}

674.最长连续递增子序列

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题目：给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [1,3,5,4,7]

• 输出：3

• 解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

示例 2：

• 输入：nums = [2,2,2,2,2]

• 输出：1

• 解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。

提示：

• 0 <= nums.length <= 10^4

• -10^9 <= nums[i] <= 10^9

思路及实现

动规五部曲分析如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。

注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。

2.确定递推公式

如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。

即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;

注意这里就体现出和动态规划：300.最长递增子序列 的区别！

因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。

既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。

这里大家要好好体会一下！

3.dp数组如何初始化

以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。

所以dp[i]应该初始1;

4.确定遍历顺序

从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

本文在确定递推公式的时候也说明了为什么本题只需要一层for循环，代码如下：

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
 ? ?if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
 ? ? ? ?dp[i] = dp[i - 1] + 1;
 ?  }
}

5.举例推导dp数组

已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：

注意这里要取dp[i]里的最大值，所以dp[2]才是结果！

以上分析完毕，代码如下：

public static int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
 ? ? ? ?int[] dp = new int[nums.length];
 ? ? ? ?for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
 ? ? ? ? ? ?dp[i] = 1;
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?int res = 1;
    //可以注意到，這邊的 i 是從 0 開始，所以會出現和卡哥的C++ code有差異的地方，在一些地方會看到有 i + 1 的偏移。
 ? ? ? ?for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {
 ? ? ? ? ? ?if (nums[i + 1] > nums[i]) {
 ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i + 1] = dp[i] + 1;
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ? ?res = res > dp[i + 1] ? res : dp[i + 1];
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?return res;
 ?  }

718.最长重复子数组

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题目：给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

示例：

输入：

• A: [1,2,3,2,1]

• B: [3,2,1,4,7]

• 输出：3

• 解释：长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。

提示：

• 1 <= len(A), len(B) <= 1000

• 0 <= A[i], B[i] < 100

思路及实现

注意题目中说的子数组，其实就是连续子序列。

要求两个数组中最长重复子数组，如果是暴力的解法 只需要先两层for循环确定两个数组起始位置，然后再来一个循环可以是for或者while，来从两个起始位置开始比较，取得重复子数组的长度。

本题其实是动规解决的经典题目，我们只要想到 用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况，这样就比较好推 递推公式了。 动规五部曲分析如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i] [j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i] [j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）

此时细心的同学应该发现，那dp[0] [0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。

其实dp[i] [j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i] [j]的时候i 和 j都要从1开始。

那有同学问了，我就定义dpi为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？

行倒是行！ 但实现起来就麻烦一点，需要单独处理初始化部分，在本题解下面的拓展内容里，我给出了 第二种 dp数组的定义方式所对应的代码和讲解，大家比较一下就了解了。

2.确定递推公式

根据dp[i] [j]的定义，dp[i] [j]的状态只能由dp[i - 1] [j - 1]推导出来。

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1] + 1;

根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

3.dp数组如何初始化

根据dp[i] [j]的定义，dp[i] [0] 和dp[0] [j]其实都是没有意义的！

但dp[i] [0] 和dp[0] [j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1] + 1;

所以dp[i] [0] 和dp[0] [j]初始化为0。

举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1] [1] = dp[0] [0] + 1，只有dp[0] [0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

4.确定遍历顺序

外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

那又有同学问了，外层for循环遍历B，内层for循环遍历A。不行么？

也行，一样的，我这里就用外层for循环遍历A，内层for循环遍历B了。

同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dpi的最大值记录下来。

代码如下：

for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
 ? ?for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
 ? ? ? ?if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
 ? ? ? ? ? ?dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
 ?  }
}

5.举例推导dp数组

拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：

以上五部曲分析完毕，代码如下：

// 版本一
class Solution {
 ? ?public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
 ? ? ? ?int result = 0;
 ? ? ? ?int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
 ? ? ? ?
 ? ? ? ?for (int i = 1; i < nums1.length + 1; i++) {
 ? ? ? ? ? ?for (int j = 1; j < nums2.length + 1; j++) {
 ? ? ? ? ? ? ? ?if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?result = Math.max(result, dp[i][j]);
 ? ? ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?
 ? ? ? ?return result;
 ?  }
}
?
// 版本二: 滚动数组
class Solution {
 ? ?public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
 ? ? ? ?int[] dp = new int[nums2.length + 1];
 ? ? ? ?int result = 0;
?
 ? ? ? ?for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
 ? ? ? ? ? ?for (int j = nums2.length; j > 0; j--) {
 ? ? ? ? ? ? ? ?if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[j] = dp[j - 1] + 1;
 ? ? ? ? ? ? ?  } else {
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[j] = 0;
 ? ? ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ? ? ? ?result = Math.max(result, dp[j]);
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?return result;
 ?  }
}