信息论安全中常用的符号与术语（附详细解释）

2023-12-26 23:11:45

1.? $GF(q)$

GF代表伽罗瓦域（Galois field），与通常所说的有限域类似。q代表该有限域内有q个元素。

2.? $\mathbb{R}$

实数域

3.? $\mathbb{C}$

复数域

4.? $\mathbb{N}$

自然数， $N^*$ 代表正整数

5.? $\mathcal{X}$

字母集，也可以包含数字，本质就是一个集合。 $|\mathcal{X}|$ 代表集合的基数，也就是集合中包含元素的个数

6.? $cl(\mathcal{X})$

集合 $\mathcal{X}$ 的闭包，其中cl来源于单词closure。在给定的关系中，添加最少的元素，使其具有某种性质，则称添加后的集合为该性质上关系的闭包。

7.? $co(\mathcal{X})$

集合 $\mathcal{X}$ 的凸包，解释为一个给定点集所包含的最小凸集。其中co来源于单词convex。

8.? $1$

在信息论安全中会出现 $1$ ，代表指示函数。当 x 属于该集合时，该函数的值为 1；当 x 不属于该集合时，该函数的值为 0

9.? $\lbrace x_i\rbrace_n$

代表有n个元素的集合，也就是 $\lbrace x_1,\cdots,x_n\rbrace$

10.? $x\in \mathcal{X}$

集合 $\mathcal{X}$ 中的某个元素 $x$

11.? $|x|$

绝对值运算

12.? $\lceil x\rceil$

通俗来讲就是往上取整，数学表达则是：寻找一个整数n，使其满足 $x\leq n<x+1$

13.? $\lfloor x\rfloor$

通俗来讲就是往下取整，数学表达则是：寻找一个整数n，使其满足 $x-1< n\leq x$

14.? $[x,y]$

信息论中通常需要整数序列， $[x,y]$ 通常代表x与y之间的整数。为了让集合的个数最大，通常左边下取整 $\lfloor x\rfloor$ ，右边上取整 $\lceil y\rceil$

15.? $x^+$

当x是正数时，取其本身；当当x是负数时，直接取0，数学表达为 $x^+=max(x,0)$

16.? $sign(x)$

正负号指示函数。当x为正数时，该函数为+1；当x为负数时，该函数为-1；通常来讲，当x取0时，也规定函数值为+1。数学表达为：

$sign(x)=\begin{cases} +1& \text{x$\geq 0$}\\ -1& \text{x<0} \end{cases}$

17.? $x^n$

n长的序列 $x_1\cdots x_n$

18.? $\bar x^n$

n长的序列,且每一个位置的元素均一样为 $\bar x$

19.? $\epsilon$

信息论中通常代表一个很小的正实数，类似计算复杂性领域的可忽略性质。

20.? $\delta(\epsilon)$

某些关于 $\epsilon$ 的函数， $\epsilon$ 本来就是一个很小的数。当 $\epsilon$ 足够小后，该函数也趋近于0，如下：

$lim_{\epsilon\to 0} \ \delta(\epsilon)=0$

21.? $\delta_\epsilon(n)$

代表与 $\epsilon$ 和n相关的函数，与 $\epsilon$ 刚好相反，该函数代表当n足够大时，该函数趋近于0，如下：

$lim_{n\to \infty} \ \delta_\epsilon(n)=0$

22.? $\delta(n)$

代表与n相关的函数，该函数代表当n足够大时，该函数趋近于0，如下：

$lim_{n\to \infty} \ \delta(n)=0$

备注：因为信息论安全很多时候需要研究渐近安全，所以会包括一些极限的性质。

23.? $\bf{x}$

通常代表列向量，包含n个元素，也就是 $x_1,\cdots,x_n$

24.? $\bf{x}^T$

向量的转置，列向量转为行向量。

25.? $\bf{x}^\dag$

Hermitian转置，其实就是通常所说的共轭转置

26.? $(h_{ij})_{m.n}$

一个矩阵H有m行n列，其中第i行第j列记为 $(h_{ij})_{m.n}$ ，当然 $i\in[1,m],j\in[1,n]$

27.? $|H|$

矩阵H的行列式

28.? $tr(H)$

矩阵的迹，其中tr来源于单词trace。代表将该矩阵对角线上的元素相加，也可以是特征值相加。

29.? $rk(H)$

矩阵的秩，其中rk来源于单词rank。代表矩阵H中线性独立的行/列向量的个数

30.? $Ker(H)$

矩阵的核，Ker来源于单词kernel，类比矩阵的零空间：所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合。

31.? $X$

可代表随机变量，其取值范围在集合 $\mathcal{X}$

32.? $P_X$

针对随机变量X的概率分布

33.? $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

代表高斯分布，其均值为 $\mu$ ，方差为 $\sigma^2$

34.? $\mathcal{B}(p)$

代表伯努利分布，类比以前学过的两点分布。其中p代表取1的概率为p，那么取0的概率则为1-p，如下：

取值	概率
1	p
0	1-p

35.? $P_{X|Y}$

条件概率。代表给定Y时，X的概率

36.? $\mathcal{T}_\epsilon^n(X)$

代表强典型集。密码学中一个相对复杂的概念，此处做一个简单的解释：

在有限的集合 $\mathcal{X}$ 上，对应着概率分布 $P_X$ 。取 $\epsilon>0$ ，通常为一个很小的数，序列 $x^n\in\mathcal{X}^n$ 称为典型集，需要满足如下要求：

$\forall a\in \mathcal{X}\quad |\frac{1}{n}N(a;x^n)-P_X(a)|\leq \epsilon P_X(a)$

$N(a;x^n)$ 可以看成字母a在n长序列中实际出现的频数， $\frac{1}{n}N(a;x^n)$ 则代表频率， $P_X(a)$ 代表实际的概率， $\epsilon P_X(a)$ 代表两者的差值很小。这跟初高中学习频率与概率的区别，很类似。如果一个序列满足这个条件，则被称之为“典型”。

也就是典型集 $\mathcal{T}_\epsilon^n(X)$ 包含了所有频率与实际概率 $P_X$ 接近的序列集合，其中 $\epsilon$ 代表很小的数，n代表序列的长度，X代表随机变量。

如果将这个地方的概率推广到联合概率，则会出现联合强典型集 $\mathcal{T}_\epsilon^n(XY)$ 。

符号	解释
$\mathcal{T}_\epsilon^n(X)$	强典型集
$\mathcal{T}_\epsilon^n(XY)$	联合强典型集
$\mathcal{T}_\epsilon^n(XY\|x^n)$	条件强典型集
$\mathcal{A}_\epsilon^n(X)$	弱典型集
$\mathcal{A}_\epsilon^n(XY)$	弱联合典型集

有关它们的具体区别和解释都可以单列一篇，等以后再补上吧。

37.? $\mathbb{E}_X$

随机变量X的期望值

38.? $Var(X)$

随机变量X的方差

39.? $\mathbb{P}_X$

事件X具体的概率

40.? $\mathbb{H}(X)$

随机变量X的香农熵，用来纪念香农而取名。

41.? $\mathbb{H}_b$

如果随机变量只能取0或1时，则称之为二进制香农函数。

42.? $\mathbb{H}_c(X)$

离散型随机变量X的碰撞熵。令 $P_X(X)$ 代表随机变量的概率分布，碰撞熵的定义如下：

$\mathbb{H}_c(X)=-log\ \mathbb{E}[P_X(X)]$

也就是对概率分布中的概率值求数学期望，再求其对数值。注意此处的数学期望不是对随机变量X求期望，与以前的理解会不一样。对概率的值求均值的本质就是，概率的值乘以其概率，也就是概率的平方，最后再相加即可。所以碰撞熵也可以写做：

$\mathbb{H}_c(X)=-log\ \mathbb{E}[P_X(X)]=-log(\sum_{x\in\mathcal{X}}P_X(x)^2)$

碰撞熵与碰撞概率相关，代表两个独立实验得到相同概率分布的概率。

43.? $\mathbb{H}_\infty(X)$

代表随机变量X的最小熵。因为最小熵对应的是最大的概率，所以右下角出现了 $\infty$ ，数学表达式如下：
$\mathbb{H}_\infty(X)=-log(max_{x\in\mathcal{X}}P_X(x))$

44.? $h(X)$

代表连续型随机变量X的微分熵。很容易理解，离散型随机变量的熵叫香农熵，连续型随机变量的熵叫微分熵。计算公式几乎一样，只不过将求和改为积分：

$h(X)=-\int_{x\in \mathcal{X}}P_X(x)logP_X(x)dx$

45.? $I(X;Y)$

代表随机变量X与Y之间的互信息。互信息的计算来源于熵和条件熵，如下：

$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)$

可以简单看成变量X与Y之间的关联性。

46.? $P_e(C)$

P代表概率，e代表错误率，C代表码字。整个表达式代表码字C的解码错误概率。

47.? $E(C)$

信息论中可代表码字C的条件信息量总平均值(equivocation)。

48.? $L(C)$

码字C的信息泄露量

49.? $U(S)$

通常应用于密钥提取算法中，代表能够保证的密钥均匀性的多少。

50.? $\underline{lim}_{x\to c}f(x), \overline{lim}_{x\to c}f(x)$

分别代表下极限与上极限。

51.? $f(x)=O(g(x))$

代表函数f(x)与g(x)之间是存在定量关系的，这个关系要求两者的比值不能无限，如下：

$\overline{lim}_{x\to \infty}|f(x)/g(x)|<\infty$

由此我们可以说，当x值足够大时,函数g(x)的值不能为0.且当x趋近于某一值a时，两者是存在定量关系的。

文章来源:https://blog.csdn.net/forest_LL/article/details/135227954
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