python统计学-单个总体样本容量的确定

简介

样本容量是指从总体中抽取的样本数量。单个总体样本容量的确定是指在给定的置信水平和误差范围内，确定从总体中抽取的样本数量。样本容量的确定有多种方法，常用的方法有：

• 正态分布法：如果总体服从正态分布，则可以使用正态分布法来确定样本容量。正态分布法的公式为：
  $$n=\frac{Z^2{\sigma }^2}{e^2}$$
  其中，n是样本容量，Z是置信水平对应的z值，σ是总体标准差，e是允许误差。

• t分布法：如果总体不服从正态分布，则可以使用t分布法来确定样本容量。t分布法的公式为：
  $$n=\frac{t^2{\sigma }^2}{e^2}$$
  其中，n是样本容量，t是置信水平对应的t值，σ是总体标准差，e是允许误差。

• 卡方分布法：如果总体服从卡方分布，则可以使用卡方分布法来确定样本容量。卡方分布法的公式为：
  $$n=\frac{{\chi }^2{\sigma }^2}{e^2}$$
  其中，n是样本容量，χ^2是置信水平对应的卡方值，σ是总体标准差，e是允许误差。

应用

单个总体样本容量的确定在实际工程中有广泛的应用，例如：

• 质量控制：在质量控制中，需要对产品的质量进行抽样检验。样本容量的确定可以确保抽样检验的结果具有代表性，从而对产品的质量做出准确的判断。
• 市场调查：在市场调查中，需要对消费者的意见和态度进行抽样调查。样本容量的确定可以确保调查结果具有代表性，从而对消费者的意见和态度做出准确的判断。
• 医学研究：在医学研究中，需要对患者的病情进行抽样调查。样本容量的确定可以确保调查结果具有代表性，从而对患者的病情做出准确的判断。

优缺

单个总体样本容量的确定有多种方法，每种方法都有其优缺点。

• 正态分布法的优点是简单易用，计算方便。缺点是要求总体服从正态分布。
• t分布法的优点是适用范围更广，不要求总体服从正态分布。缺点是计算比正态分布法复杂。
• 卡方分布法的优点是适用于对比例或比率进行抽样调查。缺点是计算比正态分布法和t分布法复杂。

代码

Python代码：

import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 正态分布法
def sample_size_normal(confidence_level, margin_of_error, population_std_dev):
  """Calculates the sample size for a normal distribution.

  Args:
    confidence_level: The desired confidence level, as a decimal between 0 and 1.
    margin_of_error: The maximum allowed error, as a decimal between 0 and 1.
    population_std_dev: The standard deviation of the population.

  Returns:
    The sample size, as an integer.
  """

  z = stats.norm.ppf(confidence_level)
  n = (z ** 2 * population_std_dev ** 2) / (margin_of_error ** 2)
  return int(np.ceil(n))

# t分布法
def sample_size_t(confidence_level, margin_of_error, population_std_dev, degrees_of_freedom):
  """Calculates the sample size for a t-distribution.

  Args:
    confidence_level: The desired confidence level, as a decimal between 0 and 1.
    margin_of_error: The maximum allowed error, as a decimal between 0 and 1.
    population_std_dev: The standard deviation of the population.
    degrees_of_freedom: The degrees of freedom for the t-distribution.

  Returns:
    The sample size, as an integer.
  """

  t = stats.t.ppf(confidence_level, degrees_of_freedom)
  n = (t ** 2 * population_std_dev ** 2) / (margin_of_error ** 2)
  return int(np.ceil(n))

# 卡方分布法
def sample_size_chi_square(confidence_level, margin_of_error, population_proportion):
  """Calculates the sample size for a chi-square distribution.

  Args:
    confidence_level: The desired confidence level, as a decimal between 0 and 1.
    margin_of_error: The maximum allowed error, as a decimal between 0 and 1.
    population_proportion: The proportion of the population that has the characteristic of interest.

  Returns:
    The sample size, as an integer.
  """

  chi_square = stats.chi2.ppf(confidence_level, 1)
  n = (chi_square * population_proportion * (1 - population_proportion)) / (margin_of_error ** 2)
  return int(np.ceil(n))

# 使用正态分布法计算样本容量
confidence_level = 0.95
margin_of_error = 0.05
population_std_dev = 10
sample_size = sample_size_normal(confidence_level, margin_of_error, population_std_dev)
print("Sample size (normal distribution):", sample_size)

# 使用t分布法计算样本容量
degrees_of_freedom = 10
sample_size = sample_size_t(confidence_level, margin_of_error, population_std_dev, degrees_of_freedom)
print("Sample size (t-distribution):", sample_size)

# 使用卡方分布法计算样本容量
population_proportion = 0.5
sample_size = sample_size_chi_square(confidence_level, margin_of_error, population_proportion)
print("Sample size (chi-square distribution):", sample_size)

R代码：

# 正态分布法
sample_size_normal <- function(confidence_level, margin_of_error, population_std_dev) {
  z <- qnorm(confidence_level)
  n <- (z^2 * population_std_dev^2) / margin_of_error^2
  return(ceiling(n))
}

# t分布法
sample_size_t <- function(confidence_level, margin_of_error, population_std_dev, degrees_of_freedom) {
  t <- qt(confidence_level, degrees_of_freedom)
  n <- (t^2 * population_std_dev^2) / margin_of_error^2
  return(ceiling(n))
}

# 卡方分布法
sample_size_chi_square <- function(confidence_level, margin_of_error, population_proportion) {
  chi_square <- qchisq(confidence_level, 1)
  n <- (chi_square * population_proportion * (1 - population_proportion)) / margin_of_error^2
  return(ceiling(n))
}

# 使用正态分布法计算样本容量
confidence_level <- 0.95
margin_of_error <- 0.05
population_std_dev <- 10
sample_size <- sample_size_normal(confidence_level, margin_of_error, population_std_dev)
print(paste("Sample size (normal distribution):", sample_size))

# 使用t分布法计算样本容量
degrees_of_freedom <- 10
sample_size <- sample_size_t(confidence_level, margin_of_error, population_std_dev, degrees_of_freedom)
print(paste("Sample size (t-distribution):", sample_size))

# 使用卡方分布法计算样本容量
population_proportion <- 0.5
sample_size <- sample_size_chi_square(confidence_level, margin_of_error, population_proportion)
print(paste("Sample size (chi-square distribution):", sample_size))

注意

• 在使用正态分布法、t分布法和卡方分布法确定样本容量时，需要根据实际情况选择合适的分布。
• 在使用正态分布法确定样本容量时，需要知道总体的标准差。如果不知道总体的标准差，则可以使用样本标准差来估计。
• 在使用t分布法确定样本容量时，需要知道总体的标准差和自由度。如果不知道总体的标准差，则可以使用样本标准差来估计。自由度可以根据样本容量来计算。
• 在使用卡方分布法确定样本容量时，需要知道总体的比例或比率。如果不知道总体的比例或比率，则可以使用样本比例或比率来估计。