[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-1 坐标系与概念基准

2024-01-07 19:10:01

本文仅供学习使用,总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结,从矢量的角度进行分析,方法比较传统,但更易理解,并且现有的看似抽象方法,两者本质上并无不同。

2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考:

食用方法
坐标系的组成与表达方式
点的运动在不同三维坐标系中的表达
广义坐标系的推广
点的表达与向量表达,及其不同点


1. 空间坐标系

坐标系Coordinates一个用于描述 n n n维系统中某一状态参数的坐标表示系统:对于同一 n n n维系统的状态参数可用不同的坐标系进行表示,即具有不同的 基底Basis(基矢量) ;而对于不同的坐标系而言,表示同一状态参数存在对应关系,因此坐标系之间也存在着 变化关系,这种变化关系的本质是不同坐标系的基底之间的转换。

  • 坐标系的表达 { F } \left\{ F \right\} {F}, { M } \left\{ M \right\} {M},其中“ { } \{\} {}”符号特指坐标系,一般用 { F } \left\{ F \right\} {F}表示固定坐标系 Fixed { M } \left\{ M \right\} {M}表示运动坐标系 Moving;对于部分坐标系也可以称为标架Frame

  • 基矢量的表达 i ^ , j ^ , k ^ \hat{i},\hat{j},\hat{k} i^,j^?,k^,其中 “ ^ \hat{ } ^ ” 符号特指基矢量;对于固定坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F},其基矢量特定为: I ^ , J ^ , K ^ \hat{I},\hat{J},\hat{K} I^,J^,K^,对于其他运动坐标系而言,以坐标系 { M } \left\{ M \right\} {M}为例,其基矢量可写成: i ^ M , j ^ M , k ^ M \hat{i}^M,\hat{j}^M,\hat{k}^M i^M,j^?M,k^M

  • 标架的表达:以 { M } \left\{ M \right\} {M}为例,其运动标架可表示为: { M : ( i ^ M , j ^ M , k ^ M ) } \left\{ M:\left( \hat{i}^M,\hat{j}^M,\hat{k}^M \right) \right\} {M:(i^M,j^?M,k^M)}

当坐标系的维数 n = 3 n=3 n=3 时,便称为空间坐标系。

1.1 笛卡尔坐标系 Cartesian coordinate system

笛卡尔坐标系是我们在三维空间中常用的表示空间运动的坐标系,基于观测位置与对象的不同,还有GPS坐标系 等其他表达方式。对于任一笛卡尔坐标系,视其基矢量为 X ^ 1 , X ^ 2 , X ^ 3 \hat{X}_1,\hat{X}_2,\hat{X}_3 X^1?,X^2?,X^3?,对于该空间内任一点 P P P 都可以这组基矢量进行表达。

1.2 点Partical的运动与表达

对于空间中任意一点 P P P而言,其位置Position表述该系统空间的一种状态参数,因此其在各基矢量上的标量分量即为对应的坐标参数。因此该点 P P P在笛卡尔坐标系中的表达为:
R ? P X = P ? = P 1 X ^ 1 + P 2 X ^ 2 + P 3 X ^ 3 \vec{R}_{\mathrm{P}}^{X}=\vec{P}=P_1\hat{X}_1+P_2\hat{X}_2+P_3\hat{X}_3 R PX?=P =P1?X^1?+P2?X^2?+P3?X^3?

1.2.1 笛卡尔直角坐标系

{ F : ( X ^ 1 , X ^ 2 , X ^ 3 ) } = { F : ( I ^ , J ^ , K ^ ) } \left\{ F:\left( \hat{X}_1,\hat{X}_2,\hat{X}_3 \right) \right\} =\left\{ F:\left( \hat{I},\hat{J},\hat{K} \right) \right\} {F:(X^1?,X^2?,X^3?)}={F:(I^,J^,K^)}
在这里插入图片描述

对于状态空间中一点 P P P,其在固定坐标系标架 { F : ( I ^ , J ^ , K ^ ) } \left\{ F:\left( \hat{I},\hat{J},\hat{K} \right) \right\} {F:(I^,J^,K^)}上基矢量的投影参数为 ( P 1 , P 2 , P 3 ) \left( P_1,P_2,P_3 \right) (P1?,P2?,P3?),因此可将点 P P P 在笛卡尔直角坐标系中进行表述
R ? P F = P 1 I ^ + P 2 J ^ + P 3 K ^ = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ P 1 P 2 P 3 ] \vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}=P_1\hat{I}+P_2\hat{J}+P_3\hat{K}=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_1\\ P_2\\ P_3\\ \end{array} \right] R PF?=P1?I^+P2?J^+P3?K^= ?I^J^K^? ?T ?P1?P2?P3?? ?

进而可以求解其速度Velocity参数 V ? P F \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F} V PF? 为:
V ? P F = R ? ˙ P F = d R ? P F d t = [ I ^ ˙ ↗ 0 J ^ ˙ ↗ 0 K ^ ˙ ↗ 0 ] T [ P 1 P 2 P 3 ] + [ I ^ J ^ K ^ ] T [ P ˙ 1 P ˙ 2 P ˙ 3 ] \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}=\dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{F}=\frac{\mathrm{d}\vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}=\left[ \begin{array}{c} \dot{\hat{I}}_{\nearrow 0}\\ \dot{\hat{J}}_{\nearrow 0}\\ \dot{\hat{K}}_{\nearrow 0}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_1\\ P_2\\ P_3\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \dot{P}_1\\ \dot{P}_2\\ \dot{P}_3\\ \end{array} \right] V PF?=R ˙PF?=dtdR PF??= ?I^˙0?J^˙0?K^˙0?? ?T ?P1?P2?P3?? ?+ ?I^J^K^? ?T ?P˙1?P˙2?P˙3?? ?
加速度acceleration参数 a ? P F \vec{a}_{\mathrm{P}}^{F} a PF? 为:
a ? P F = V ? ˙ P F = R ? ¨ P F = d V ? P F d t = [ I ^ ˙ ↗ 0 J ^ ˙ ↗ 0 K ^ ˙ ↗ 0 ] T [ P ˙ 1 P ˙ 2 P ˙ 3 ] + [ I ^ J ^ K ^ ] T [ P ¨ 1 P ¨ 2 P ¨ 3 ] \vec{a}_{\mathrm{P}}^{F}=\dot{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{F}=\ddot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{F}=\frac{\mathrm{d}\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}=\left[ \begin{array}{c} \dot{\hat{I}}_{\nearrow 0}\\ \dot{\hat{J}}_{\nearrow 0}\\ \dot{\hat{K}}_{\nearrow 0}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \dot{P}_1\\ \dot{P}_2\\ \dot{P}_3\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \ddot{P}_1\\ \ddot{P}_2\\ \ddot{P}_3\\ \end{array} \right] a PF?=V ˙PF?=R ¨PF?=dtdV PF??= ?I^˙0?J^˙0?K^˙0?? ?T ?P˙1?P˙2?P˙3?? ?+ ?I^J^K^? ?T ?P¨1?P¨2?P¨3?? ?

1.2.2 笛卡尔柱坐标系

{ F : ( X ^ 1 , X ^ 2 , X ^ 3 ) } = { F : ( X ^ r , X ^ θ , K ^ ) } \left\{ F:\left( \hat{X}_1,\hat{X}_2,\hat{X}_3 \right) \right\} =\left\{ F:\left( \hat{X}_{\mathrm{r}},\hat{X}_{\mathrm{\theta}},\hat{K} \right) \right\} {F:(X^1?,X^2?,X^3?)}={F:(X^r?,X^θ?,K^)}
在这里插入图片描述
对于不同的坐标系,点 P P P 在状态空间中并没有发生变化,而由于基矢量的变化导致其投影参数发生改变。在柱坐标系中,点 P P P 表述为:
R ? P C = P ? = P 1 ′ X ^ r + P 2 ′ X ^ θ + P 3 ′ K ^ \vec{R}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\vec{P}=P_1\mathrm{'}\hat{X}_{\mathrm{r}}+P_2\mathrm{'}\hat{X}_{\theta}+P_3\mathrm{'}\hat{K} R PC?=P =P1?X^r?+P2?X^θ?+P3?K^
对于投影参数而言, P 1 ′ P_1\mathrm{'} P1?表示 X ^ r \hat{X}_{\mathrm{r}} X^r?方向上的长度参数,而 P 2 ′ P_2\mathrm{'} P2?表示 X ^ θ \hat{X}_{\mathrm{\theta}} X^θ?方向上的角度参数,而单纯的角度参数在实际的矢量运算过程中是比较难于理解的,因此对柱坐标系而言,实际上是将该方向上的已知投影参数转换到直角坐标系下进行表示

若已知柱坐标系下点 P P P 的投影参数 P = ( r , θ , k ) P=\left( r,\theta ,k \right) P=(r,θ,k),其位置方程在直角坐标系下的表示为:
R ? P C = P ? = r cos ? θ I ^ + r sin ? θ J ^ + k K ^ \vec{R}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\vec{P}=r\cos \theta \hat{I}+r\sin \theta \hat{J}+k\hat{K} R PC?=P =rcosθI^+rsinθJ^+kK^
可视为: [ P 1 P 2 P 3 ] = [ r cos ? θ r sin ? θ k ] \left[ \begin{array}{c} P_1\\ P_2\\ P_3\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} r\cos \theta\\ r\sin \theta\\ k\\ \end{array} \right] ?P1?P2?P3?? ?= ?rcosθrsinθk? ?,对速度参数 V ? P C \vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}} V PC?进行求解:
V ? P C = R ? ˙ P C = d R ? P C d t = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ P ˙ 1 P ˙ 2 P ˙ 3 ] = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ d r d t cos ? θ ? r d θ d t sin ? θ d r d t sin ? θ + r d θ d t cos ? θ d k d t ] \vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{d}\vec{R}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}}{\mathrm{dt}}=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \dot{P}_1\\ \dot{P}_2\\ \dot{P}_3\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}\cos \theta -r\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{dt}}\sin \theta\\ \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}\sin \theta +r\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{dt}}\cos \theta\\ \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}\\ \end{array} \right] V PC?=R ˙PC?=dtdR PC??= ?I^J^K^? ?T ?P˙1?P˙2?P˙3?? ?= ?I^J^K^? ?T ?dtdr?cosθ?rdtdθ?sinθdtdr?sinθ+rdtdθ?cosθdtdk?? ?

d r d t = 0 \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}=0 dtdr?=0 d k d t = 0 \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}=0 dtdk?=0 时,即点 P P P 不在矢径方向上运动,仅绕 K ^ \hat{K} K^ 进行平面上的纯回转,可将上式简化为:
V ? P C ∣ d r d t = 0 , d k d t = 0 = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ ? r d θ d t sin ? θ r d θ d t cos ? θ 0 ] = r θ ˙ [ I ^ J ^ K ^ ] T [ ? sin ? θ cos ? θ 0 ] \left. \vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}} \right|_{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}=0,\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}=0}=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} -r\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{dt}}\sin \theta\\ r\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{dt}}\cos \theta\\ 0\\ \end{array} \right] =r\dot{\theta}\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} -\sin \theta\\ \cos \theta\\ 0\\ \end{array} \right] V PC? ?dtdr?=0,dtdk?=0?= ?I^J^K^? ?T ??rdtdθ?sinθrdtdθ?cosθ0? ?=rθ˙ ?I^J^K^? ?T ??sinθcosθ0? ?

对上式进一步求解其加速度参数 a ? P C ∣ d r d t = 0 , d k d t = 0 \left. \vec{a}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}} \right|_{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}=0,\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}=0} a PC? ?dtdr?=0,dtdk?=0?
a ? P C ∣ d r d t = 0 , d k d t = 0 = r θ ¨ [ I ^ J ^ K ^ ] T [ ? sin ? θ cos ? θ 0 ] + r θ ˙ 2 [ I ^ J ^ K ^ ] T [ ? cos ? θ ? sin ? θ 0 ] = α ? P C × R ? P C ? ω ? P C × V ? P C \left. \vec{a}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}} \right|_{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}=0,\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}=0}=r\ddot{\theta}\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} -\sin \theta\\ \cos \theta\\ 0\\ \end{array} \right] +r\dot{\theta}^2\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} -\cos \theta\\ -\sin \theta\\ 0\\ \end{array} \right] =\vec{\alpha}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}\times \vec{R}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}-\vec{\omega}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}\times \vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}} a PC? ?dtdr?=0,dtdk?=0?=rθ¨ ?I^J^K^? ?T ??sinθcosθ0? ?+rθ˙2 ?I^J^K^? ?T ??cosθ?sinθ0? ?=α PC?×R PC??ω PC?×V PC?
若考虑真实的向量表达,则柱坐标系中,点 P P P 还可以表述为:
R ? P C = r ( θ ) X ^ r ( θ ) + k K ^ \vec{R}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=r\left( \theta \right) \hat{X}_{\mathrm{r}\left( \theta \right)}+k\hat{K} R PC?=r(θ)X^r(θ)?+kK^
其中:
[ X ^ r X ^ θ ] = [ cos ? θ sin ? θ ? sin ? θ cos ? θ ] [ I ^ J ^ ] \left[ \begin{array}{c} \hat{X}_{\mathrm{r}}\\ \hat{X}_{\mathrm{\theta}}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta& \sin \theta\\ -\sin \theta& \cos \theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \end{array} \right] [X^r?X^θ??]=[cosθ?sinθ?sinθcosθ?][I^J^?]
进而可得:
[ X ^ ˙ r X ^ ˙ θ ] = [ cos ? θ ? θ ˙ sin ? θ sin ? θ + θ ˙ cos ? θ ? sin ? θ ? θ ˙ cos ? θ cos ? θ ? θ ˙ sin ? θ ] [ I ^ J ^ ] = [ 0 θ ˙ ? θ ˙ 0 ] [ X ^ r X ^ θ ] \left[ \begin{array}{c} \dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\\ \dot{\hat{X}}_{\mathrm{\theta}}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta -\dot{\theta}\sin \theta& \sin \theta +\dot{\theta}\cos \theta\\ -\sin \theta -\dot{\theta}\cos \theta& \cos \theta -\dot{\theta}\sin \theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 0& \dot{\theta}\\ -\dot{\theta}& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \hat{X}_{\mathrm{r}}\\ \hat{X}_{\mathrm{\theta}}\\ \end{array} \right] [X^˙r?X^˙θ??]=[cosθ?θ˙sinθ?sinθ?θ˙cosθ?sinθ+θ˙cosθcosθ?θ˙sinθ?][I^J^?]=[0?θ˙?θ˙0?][X^r?X^θ??]
对于 X ^ r \hat{X}_{\mathrm{r}} X^r? X ^ θ \hat{X}_{\theta} X^θ?而言有: X ^ ˙ r = θ ˙ X ^ θ , X ^ θ = ? θ ˙ X ^ ˙ r \dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}=\dot{\theta}\hat{X}_{\theta},\hat{X}_{\theta}=-\dot{\theta}\dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}} X^˙r?=θ˙X^θ?,X^θ?=?θ˙X^˙r?此处的 X ^ θ \hat{X}_{\theta} X^θ?表示的是垂直于基矢量 X ^ r \hat{X}_{\mathrm{r}} X^r?的切矢量,与 X ^ θ \hat{X}_{\theta} X^θ?不同。

虽然在三维系统中正常应该具有三个基矢量,而在上式中只有两个基矢量,但其投影参数与矢径上的基矢量为另一个参数 θ \theta θ的函数,因此该式为真实表达形式,同样可得其速度与加速度参数为:
{ V ? P C = R ? ˙ P C = r ˙ X ^ r + r X ^ ˙ r + k ˙ K ^ = r ˙ X ^ r + r θ ˙ X ^ θ + k ˙ K ^ a ? P C = V ? ˙ P C = r ¨ X ^ r + r ˙ X ^ ˙ r + r ˙ θ ˙ X ^ θ + r θ ¨ X ^ θ + r θ ˙ X ^ ˙ θ + k ¨ K ^ = r ¨ X ^ r + r ˙ θ ˙ X ^ θ + r ˙ θ ˙ X ^ θ + r θ ¨ X ^ θ ? r θ ˙ 2 X ^ r + k ¨ K ^ \left\{ \begin{array}{c} \vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\dot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}+r\dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\dot{k}\hat{K}=\dot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}+r\dot{\theta}\hat{X}_{\mathrm{\theta}}+\dot{k}\hat{K}\\ \vec{a}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\dot{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\ddot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\dot{\theta}\hat{X}_{\mathrm{\theta}}+r\ddot{\theta}\hat{X}_{\mathrm{\theta}}+r\dot{\theta}\dot{\hat{X}}_{\mathrm{\theta}}+\ddot{k}\hat{K}=\ddot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\dot{\theta}\hat{X}_{\mathrm{\theta}}+\dot{r}\dot{\theta}\hat{X}_{\mathrm{\theta}}+r\ddot{\theta}\hat{X}_{\mathrm{\theta}}-r\dot{\theta}^2\hat{X}_{\mathrm{r}}+\ddot{k}\hat{K}\\ \end{array} \right. ? ? ??V PC?=R ˙PC?=r˙X^r?+rX^˙r?+k˙K^=r˙X^r?+rθ˙X^θ?+k˙K^a PC?=V ˙PC?=r¨X^r?+r˙X^˙r?+r˙θ˙X^θ?+rθ¨X^θ?+rθ˙X^˙θ?+k¨K^=r¨X^r?+r˙θ˙X^θ?+r˙θ˙X^θ?+rθ¨X^θ??rθ˙2X^r?+k¨K^?
对上式)进行化简,可得:
{ V ? P C = r ˙ X ^ r + r θ ˙ X ^ θ + k ˙ K ^ a ? P C = ( r ¨ ? r θ ˙ 2 ) X ^ r + ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) X ^ θ + k ¨ K ^ \left\{ \begin{array}{c} \vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\dot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}+r\dot{\theta}\hat{X}_{\theta}+\dot{k}\hat{K}\\ \vec{a}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\left( \ddot{r}-r\dot{\theta}^2 \right) \hat{X}_{\mathrm{r}}+\left( 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta} \right) \hat{X}_{\theta}+\ddot{k}\hat{K}\\ \end{array} \right. {V PC?=r˙X^r?+rθ˙X^θ?+k˙K^a PC?=(r¨?rθ˙2)X^r?+(2r˙θ˙+rθ¨)X^θ?+k¨K^?

其中: r θ ¨ r\ddot{\theta} rθ¨ 称为欧拉项Eulerian term 2 r ˙ θ ˙ 2\dot{r}\dot{\theta} 2r˙θ˙ 称为科里奥利项Coriolis term

1.2.3 笛卡尔球坐标系

{ F : ( X ^ 1 , X ^ 2 , X ^ 3 ) } = { F : ( X ^ r , X ^ θ , X ^ ? ) } \left\{ F:\left( \hat{X}_1,\hat{X}_2,\hat{X}_3 \right) \right\} =\left\{ F:\left( \hat{X}_{\mathrm{r}},\hat{X}_{\mathrm{\theta}},\hat{X}_{\mathrm{\phi}} \right) \right\} {F:(X^1?,X^2?,X^3?)}={F:(X^r?,X^θ?,X^??)}
在这里插入图片描述

笛卡尔球坐标系也可以基于投影参数 P = ( r , θ , ? ) P=\left( r,\theta ,\mathrm{\phi} \right) P=(r,θ,?) 在直角坐标系中进行表达,则点 P P P 的运动参数为:
R ? P S = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ r sin ? ? cos ? θ r sin ? ? sin ? θ r cos ? ? ] \vec{R}_{\mathrm{P}}^{S}=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} r\sin \phi \cos \theta\\ r\sin \phi \sin \theta\\ r\cos \phi\\ \end{array} \right] R PS?= ?I^J^K^? ?T ?rsin?cosθrsin?sinθrcos?? ?
V ? P S = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ r ˙ sin ? ? cos ? θ + r ? ˙ cos ? ? cos ? θ ? r θ ˙ sin ? ? sin ? θ r ˙ sin ? ? sin ? θ + r ? ˙ cos ? ? sin ? θ + r θ ˙ sin ? ? cos ? θ r ˙ cos ? ? ? r ? ˙ sin ? ? ] \vec{V}_{\mathrm{P}}^{S}=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \dot{r}\sin \phi \cos \theta +r\dot{\phi}\cos \phi \cos \theta -r\dot{\theta}\sin \phi \sin \theta\\ \dot{r}\sin \phi \sin \theta +r\dot{\phi}\cos \phi \sin \theta +r\dot{\theta}\sin \phi \cos \theta\\ \dot{r}\cos \phi -r\dot{\phi}\sin \phi\\ \end{array} \right] V PS?= ?I^J^K^? ?T ?r˙sin?cosθ+r?˙?cos?cosθ?rθ˙sin?sinθr˙sin?sinθ+r?˙?cos?sinθ+rθ˙sin?cosθr˙cos??r?˙?sin?? ?
a ? P S = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ ( r ¨ ? r ? ˙ 2 ? r θ ˙ 2 ) sin ? ? cos ? θ + ( 2 r ˙ ? ˙ + r ? ¨ ) cos ? ? cos ? θ ? ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) sin ? ? sin ? θ ? ( 2 r θ ˙ ? ˙ ) cos ? ? sin ? θ ( r ¨ ? r ? ˙ 2 ? r θ ˙ 2 ) sin ? ? sin ? θ + ( 2 r ˙ ? ˙ + r ? ¨ ) cos ? ? sin ? θ + ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) sin ? ? cos ? θ + ( 2 r θ ˙ ? ˙ ) cos ? ? cos ? θ ( r ¨ ? r ? ˙ 2 ) cos ? ? ? ( 2 r ˙ ? ˙ + r ? ¨ ) sin ? ? ] \vec{a}_{\mathrm{P}}^{S}=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \left( \ddot{r}-r\dot{\phi}^2-r\dot{\theta}^2 \right) \sin \phi \cos \theta +\left( 2\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot{\phi} \right) \cos \phi \cos \theta -\left( 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta} \right) \sin \phi \sin \theta -\left( 2r\dot{\theta}\dot{\phi} \right) \cos \phi \sin \theta\\ \left( \ddot{r}-r\dot{\phi}^2-r\dot{\theta}^2 \right) \sin \phi \sin \theta +\left( 2\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot{\phi} \right) \cos \phi \sin \theta +\left( 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta} \right) \sin \phi \cos \theta +\left( 2r\dot{\theta}\dot{\phi} \right) \cos \phi \cos \theta\\ \left( \ddot{r}-r\dot{\phi}^2 \right) \cos \phi -\left( 2\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot{\phi} \right) \sin \phi\\ \end{array} \right] a PS?= ?I^J^K^? ?T ?(r¨?r?˙?2?rθ˙2)sin?cosθ+(2r˙?˙?+r?¨?)cos?cosθ?(2r˙θ˙+rθ¨)sin?sinθ?(2rθ˙?˙?)cos?sinθ(r¨?r?˙?2?rθ˙2)sin?sinθ+(2r˙?˙?+r?¨?)cos?sinθ+(2r˙θ˙+rθ¨)sin?cosθ+(2rθ˙?˙?)cos?cosθ(r¨?r?˙?2)cos??(2r˙?˙?+r?¨?)sin?? ?

在笛卡尔球坐标中,如图所示,可将点 P P P 的位置表述为:
R ? p s = r x ^ r \vec{R}_{\mathrm{p}}^{s}=r\hat{x}_{\mathrm{r}} R ps?=rx^r?
其中:
[ X ^ ? X ^ θ X ^ r ] = [ cos ? ? cos ? θ cos ? ? sin ? θ ? sin ? ? ? sin ? θ cos ? θ 0 sin ? ? cos ? θ sin ? ? sin ? θ cos ? ? ] [ I ^ J ^ K ^ ] \left[ \begin{array}{c} \hat{X}_{\mathrm{\phi}}\\ \hat{X}_{\mathrm{\theta}}\\ \hat{X}_{\mathrm{r}}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \phi \cos \theta& \cos \phi \sin \theta& -\sin \phi\\ -\sin \theta& \cos \theta& 0\\ \sin \phi \cos \theta& \sin \phi \sin \theta& \cos \phi\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ?X^??X^θ?X^r?? ?= ?cos?cosθ?sinθsin?cosθ?cos?sinθcosθsin?sinθ??sin?0cos?? ? ?I^J^K^? ?
进而求得:
[ X ^ ˙ ? X ^ ˙ θ X ^ ˙ r ] = [ ? ? ˙ sin ? ? cos ? θ ? θ ˙ cos ? ? sin ? θ ? ? ˙ sin ? ? sin ? θ + θ ˙ cos ? ? cos ? θ ? ? ˙ cos ? ? ? θ ˙ cos ? θ ? θ ˙ sin ? θ 0 ? ˙ cos ? ? cos ? θ ? θ ˙ sin ? ? sin ? θ ? ˙ cos ? ? sin ? θ + θ ˙ sin ? ? cos ? θ ? ? ˙ sin ? ? ] [ I ^ J ^ K ^ ] = [ 0 θ ˙ cos ? ? ? ? ˙ ? θ ˙ cos ? ? 0 ? θ ˙ sin ? ? ? ˙ θ ˙ sin ? ? 0 ] [ X ^ ? X ^ θ X ^ r ] \begin{split} \left[ \begin{array}{c} \dot{\hat{X}}_{\mathrm{\phi}}\\ \dot{\hat{X}}_{\mathrm{\theta}}\\ \dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\\ \end{array} \right] &=\left[ \begin{matrix} -\dot{\phi}\sin \phi \cos \theta -\dot{\theta}\cos \phi \sin \theta& -\dot{\phi}\sin \phi \sin \theta +\dot{\theta}\cos \phi \cos \theta& -\dot{\phi}\cos \phi\\ -\dot{\theta}\cos \theta& -\dot{\theta}\sin \theta& 0\\ \dot{\phi}\cos \phi \cos \theta -\dot{\theta}\sin \phi \sin \theta& \dot{\phi}\cos \phi \sin \theta +\dot{\theta}\sin \phi \cos \theta& -\dot{\phi}\sin \phi\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] \\ &=\left[ \begin{matrix} 0& \dot{\theta}\cos \phi& -\dot{\phi}\\ -\dot{\theta}\cos \phi& 0& -\dot{\theta}\sin \phi\\ \dot{\phi}& \dot{\theta}\sin \phi& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \hat{X}_{\mathrm{\phi}}\\ \hat{X}_{\mathrm{\theta}}\\ \hat{X}_{\mathrm{r}}\\ \end{array} \right] \end{split} ?X^˙??X^˙θ?X^˙r?? ??= ???˙?sin?cosθ?θ˙cos?sinθ?θ˙cosθ?˙?cos?cosθ?θ˙sin?sinθ???˙?sin?sinθ+θ˙cos?cosθ?θ˙sinθ?˙?cos?sinθ+θ˙sin?cosθ???˙?cos?0??˙?sin?? ? ?I^J^K^? ?= ?0?θ˙cos??˙??θ˙cos?0θ˙sin????˙??θ˙sin?0? ? ?X^??X^θ?X^r?? ??
进而求得其速度参数为:
V ? P S = R ? ˙ P S = r ˙ X ^ r + r X ^ ˙ r = r ˙ X ^ r + r ? ˙ X ^ ? + r θ ˙ sin ? ? X ^ θ \vec{V}_{\mathrm{P}}^{S}=\dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{S}=\dot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}+r\dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}=\dot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}+r\dot{\phi}\hat{X}_{\mathrm{\phi}}+r\dot{\theta}\sin \phi \hat{X}_{\mathrm{\theta}} V PS?=R ˙PS?=r˙X^r?+rX^˙r?=r˙X^r?+r?˙?X^??+rθ˙sin?X^θ?
角速度参数为:
ω ? = θ ˙ sin ? ? X ^ ? ? θ ˙ cos ? ? X ^ r + ? ˙ X ^ θ \vec{\omega}=\dot{\theta}\sin \phi \hat{X}_{\mathrm{\phi}}-\dot{\theta}\cos \phi \hat{X}_{\mathrm{r}}+\dot{\phi}\hat{X}_{\mathrm{\theta}} ω =θ˙sin?X^???θ˙cos?X^r?+?˙?X^θ?
加速度参数为:
a ? P S = V ? ˙ P S = { r ¨ X ^ r + r ˙ X ^ ˙ r + r ˙ ? ˙ X ^ ? + r ? ¨ X ^ ? + r ? X ^ ˙ ? + r ˙ θ ˙ sin ? ? X ^ θ + r θ ¨ sin ? ? X ^ θ + r θ ˙ ? ˙ cos ? ? X ^ θ + r θ ˙ sin ? ? X ^ ˙ θ = { r ¨ X ^ r + r ˙ ( ? ˙ X ^ ? + θ ˙ sin ? ? X ^ θ ) + ( r ˙ ? ˙ + r ? ¨ ) X ^ ? + r ? ( θ ˙ cos ? ? X ^ θ ? ? ˙ X ^ r ) + ( r ˙ θ ˙ sin ? ? + r θ ¨ sin ? ? + r θ ˙ ? ˙ cos ? ? ) X ^ θ + r θ ˙ sin ? ? ( ? θ ˙ cos ? ? X ^ ? ? θ ˙ sin ? ? X ^ r ) = ( r ¨ ? r ? ? ˙ ? r θ ˙ 2 sin ? ? 2 ) X ^ r + ( 2 r ˙ ? ˙ + r ? ¨ ? r θ ˙ 2 sin ? ? cos ? ? ) X ^ ? + [ ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) sin ? ? + ( r θ ˙ ? ˙ + r ? θ ˙ ) cos ? ? ] X ^ θ \begin{split} \vec{a}_{\mathrm{P}}^{S}&=\dot{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{S}=\begin{cases} \ddot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\dot{\phi}\hat{X}_{\mathrm{\phi}}+r\ddot{\phi}\hat{X}_{\mathrm{\phi}}+r\phi \dot{\hat{X}}_{\mathrm{\phi}}\\ +\dot{r}\dot{\theta}\sin \phi \hat{X}_{\mathrm{\theta}}+r\ddot{\theta}\sin \phi \hat{X}_{\mathrm{\theta}}+r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos \phi \hat{X}_{\mathrm{\theta}}+r\dot{\theta}\sin \phi \dot{\hat{X}}_{\mathrm{\theta}}\\ \end{cases} \\ &=\begin{cases} \ddot{r}\hat{X}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\left( \dot{\phi}\hat{X}_{\mathrm{\phi}}+\dot{\theta}\sin \phi \hat{X}_{\mathrm{\theta}} \right) +\left( \dot{r}\dot{\phi}+r\ddot{\phi} \right) \hat{X}_{\mathrm{\phi}}+r\phi \left( \dot{\theta}\cos \phi \hat{X}_{\mathrm{\theta}}-\dot{\phi}\hat{X}_{\mathrm{r}} \right)\\ +\left( \dot{r}\dot{\theta}\sin \phi +r\ddot{\theta}\sin \phi +r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos \phi \right) \hat{X}_{\mathrm{\theta}}+r\dot{\theta}\sin \phi \left( -\dot{\theta}\cos \phi \hat{X}_{\mathrm{\phi}}-\dot{\theta}\sin \phi \hat{X}_{\mathrm{r}} \right)\\ \end{cases} \\ &=\left( \ddot{r}-r\phi \dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin \phi ^2 \right) \hat{X}_{\mathrm{r}}+\left( 2\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin \phi \cos \phi \right) \hat{X}_{\mathrm{\phi}}+\left[ \left( 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta} \right) \sin \phi +\left( r\dot{\theta}\dot{\phi}+r\phi \dot{\theta} \right) \cos \phi \right] \hat{X}_{\mathrm{\theta}} \end{split} a PS??=V ˙PS?={r¨X^r?+r˙X^˙r?+r˙?˙?X^??+r?¨?X^??+r?X^˙??+r˙θ˙sin?X^θ?+rθ¨sin?X^θ?+rθ˙?˙?cos?X^θ?+rθ˙sin?X^˙θ??=? ? ??r¨X^r?+r˙(?˙?X^??+θ˙sin?X^θ?)+(r˙?˙?+r?¨?)X^??+r?(θ˙cos?X^θ???˙?X^r?)+(r˙θ˙sin?+rθ¨sin?+rθ˙?˙?cos?)X^θ?+rθ˙sin?(?θ˙cos?X^???θ˙sin?X^r?)?=(r¨?r??˙??rθ˙2sin?2)X^r?+(2r˙?˙?+r?¨??rθ˙2sin?cos?)X^??+[(2r˙θ˙+rθ¨)sin?+(rθ˙?˙?+r?θ˙)cos?]X^θ??

1.2.4 曲线坐标系:Frenet标架(详见微分几何-曲线论内容)

在这里插入图片描述
其中, s s s 为曲线的弧长参数, ρ \rho ρ 为曲线的曲率半径;则有: α ? ˙ = s ˙ ρ β ? \dot{\vec{\alpha}}=\frac{\dot{s}}{\rho}\vec{\beta} α ˙=ρs˙?β ?,其中, s ¨ \ddot{s} s¨ 为切向加速度, s ˙ 2 ρ \frac{\dot{s}^2}{\rho} ρs˙2? 为向心加速度,整理出:
{ V ? P F = R ? ˙ P F = s ˙ α ? a ? P F = V ? ˙ P F = s ¨ α ? + s ˙ α ? ˙ = s ¨ α ? + s ˙ 2 ρ β ? \left\{ \begin{array}{c} \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}=\dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{F}=\dot{s}\vec{\alpha}\\ \vec{a}_{\mathrm{P}}^{F}=\dot{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{F}=\ddot{s}\vec{\alpha}+\dot{s}\dot{\vec{\alpha}}=\ddot{s}\vec{\alpha}+\frac{\dot{s}^2}{\rho}\vec{\beta}\\ \end{array} \right. ? ? ??V PF?=R ˙PF?=s˙α a PF?=V ˙PF?=s¨α +s˙α ˙=s¨α +ρs˙2?β ??

且有角速度 ω ? = ω α α ? + ω β β ? + ω γ γ ? \vec{\omega}=\omega _{\mathrm{\alpha}}\vec{\alpha}+\omega _{\beta}\vec{\beta}+\omega _{\mathrm{\gamma}}\vec{\mathrm{\gamma}} ω =ωα?α +ωβ?β ?+ωγ?γ ?,求解下式: α ? ˙ = ω γ β ? = s ˙ ρ β ? , β ? ˙ = ? ω α β ? = s ˙ d γ ? d s , ω β = 0 \dot{\vec{\alpha}}=\omega _{\mathrm{\gamma}}\vec{\beta}=\frac{\dot{s}}{\rho}\vec{\beta},\dot{\vec{\beta}}=-\omega _{\mathrm{\alpha}}\vec{\beta}=\dot{s}\frac{\mathrm{d}\vec{\mathrm{\gamma}}}{\mathrm{d}s},\omega _{\beta}=0 α ˙=ωγ?β ?=ρs˙?β ?,β ?˙?=?ωα?β ?=s˙dsdγ ??,ωβ?=0

补充说明:
对于笛卡尔坐标系内的点 P P P 而言,其速度参数与加速度参数既可以在固定直角坐标系的标架 { F : ( I ^ , J ^ , K ^ ) } \left\{ F:\left( \hat{I},\hat{J},\hat{K} \right) \right\} {F:(I^,J^,K^)}下进行表示,也可以在运动坐标系的标架下 { C : ( X ^ r , X ^ θ , K ^ ) } \left\{ C:\left( \hat{X}_{\mathrm{r}},\hat{X}_{\mathrm{\theta}},\hat{K} \right) \right\} {C:(X^r?,X^θ?,K^)}(柱坐标系)、 { S : ( X ^ ? , X ^ θ , X ^ r ) } \left\{ S:\left( \hat{X}_{\mathrm{\phi}},\hat{X}_{\mathrm{\theta}},\hat{X}_{\mathrm{r}} \right) \right\} {S:(X^??,X^θ?,X^r?)}(球坐标系)进行表示,甚至在轨迹的Frenet标架下表示。根据所给的运动参数,可以求得不同标架所对应不同运动的投影参数。

1.2.5 广义坐标系 Generalized coordinates system

对于不固定的单位矢量而言(如上述的柱坐标系中的 X ^ r \hat{X}_{\mathrm{r}} X^r? X ^ θ \hat{X}_{\theta} X^θ?,球坐标系中的 ( X ^ ? , X ^ θ , X ^ r ) \left( \hat{X}_{\mathrm{\phi}},\hat{X}_{\mathrm{\theta}},\hat{X}_{\mathrm{r}} \right) (X^??,X^θ?,X^r?)),在表达运动时可能更为方便。认为广义坐标generalized coordinates是用来描述系统形位的相互独立广义坐标矢量的投影参数坐标,即在该广义坐标系下描述任意矢量,则有:
r ? ˙ p e = ( q ˙ 1 e ? 1 + q ˙ 2 e ? 2 + ? + q ˙ n e ? n ) + ( Q 1 e ? ˙ 1 + q 2 e ? ˙ 2 + ? + q n e ? ˙ n ) = ( q ˙ 1 e ? 1 + q ˙ 2 e ? 2 + ? + q ˙ n e ? n ) + ω ? e × r ? p e \dot{\vec{r}}_{\mathrm{p}}^{e}=\left( \dot{q}_1\vec{e}_1+\dot{q}_2\vec{e}_2+\cdots +\dot{q}_{\mathrm{n}}\vec{e}_{\mathrm{n}} \right) +\left( Q_1\dot{\vec{e}}_1+q_2\dot{\vec{e}}_2+\cdots +q_{\mathrm{n}}\dot{\vec{e}}_{\mathrm{n}} \right) =\left( \dot{q}_1\vec{e}_1+\dot{q}_2\vec{e}_2+\cdots +\dot{q}_{\mathrm{n}}\vec{e}_{\mathrm{n}} \right) +\vec{\omega}^e\times \vec{r}_{\mathrm{p}}^{e} r ˙pe?=(q˙?1?e 1?+q˙?2?e 2?+?+q˙?n?e n?)+(Q1?e ˙1?+q2?e ˙2?+?+qn?e ˙n?)=(q˙?1?e 1?+q˙?2?e 2?+?+q˙?n?e n?)+ω e×r pe?
对于三维空间而言,则有:
R ? ˙ P E = ( q ˙ 1 + ω 2 q 3 ? ω 3 q 2 ) e ? 1 + ( q ˙ 2 + ω 3 q 1 ? ω 1 q 3 ) e ? 2 + ( q ˙ 3 + ω 1 q 2 ? ω 2 q 1 ) e ? 3 \dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{E}=\left( \dot{q}_1+\omega _2q_3-\omega _3q_2 \right) \vec{e}_1+\left( \dot{q}_2+\omega _3q_1-\omega _1q_3 \right) \vec{e}_2+\left( \dot{q}_3+\omega _1q_2-\omega _2q_1 \right) \vec{e}_3 R ˙PE?=(q˙?1?+ω2?q3??ω3?q2?)e 1?+(q˙?2?+ω3?q1??ω1?q3?)e 2?+(q˙?3?+ω1?q2??ω2?q1?)e 3?

1.3 矢量Vector在坐标系下的表示与关系转换

对于质量点而言 P P P ,其可将其在固定坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F}(默认为直角坐标系)下进行表示。同理,对于运动坐标系 { M } \left\{ M \right\} {M}而言,点 P P P 为运动刚体上一点,在运动坐标系下的表达为: R ? P M \vec{R}_{\mathrm{P}}^{M} R PM?,则其矢量在固定坐标系下的表达为: ( R ? P M ) F \left( \vec{R}_{\mathrm{P}}^{M} \right) ^F (R PM?)F,或写成矢量表达形式为: R ? O M P M → R ? O M P F \vec{R}_{\mathrm{O}^{\mathrm{M}}\mathrm{P}}^{M}\rightarrow \vec{R}_{\mathrm{O}^{\mathrm{M}}\mathrm{P}}^{F} R OMPM?R OMPF?
R ? P M = P 1 M i ^ M + P 2 M j ^ M + P 3 M k ^ M = [ i ^ M j ^ M k ^ M ] T [ P 1 M P 2 M P 3 M ] = ( [ Q M F ] T [ I ^ J ^ K ^ ] ) T [ P 1 M P 2 M P 3 M ] = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ Q M F ] [ P 1 M P 2 M P 3 M ] = ( R ? P M ) F \begin{split} \vec{R}_{\mathrm{P}}^{M}&={P_1}^M\hat{i}^M+{P_2}^M\hat{j}^M+{P_3}^M\hat{k}^M=\left[ \begin{array}{c} \hat{i}^M\\ \hat{j}^M\\ \hat{k}^M\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} {P_1}^M\\ {P_2}^M\\ {P_3}^M\\ \end{array} \right] =\left( \left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] \right) ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} {P_1}^M\\ {P_2}^M\\ {P_3}^M\\ \end{array} \right] \\ &=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] \left[ \begin{array}{c} {P_1}^M\\ {P_2}^M\\ {P_3}^M\\ \end{array} \right] =\left( \vec{R}_{\mathrm{P}}^{M} \right) ^F \end{split} R PM??=P1?Mi^M+P2?Mj^?M+P3?Mk^M= ?i^Mj^?Mk^M? ?T ?P1?MP2?MP3?M? ?= ?[QMF?]T ?I^J^K^? ? ?T ?P1?MP2?MP3?M? ?= ?I^J^K^? ?T[QMF?] ?P1?MP2?MP3?M? ?=(R PM?)F?

文章来源:https://blog.csdn.net/LiongLoure/article/details/135438201
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