代码随想录算法训练营 | day45 动态规划 完全背包，70.爬楼梯进阶，322.零钱兑换，279.完全平方数

刷题

70.爬楼梯进阶

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题目：假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

输入描述：输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m

输出描述：输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。

输入示例：3 2

输出示例：3

提示：

当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。

此时你有三种方法可以爬到楼顶。

• 1 阶 + 1 阶 + 1 阶段

• 1 阶 + 2 阶

• 2 阶 + 1 阶

思路及实现

这道题目 我们在动态规划：爬楼梯中已经讲过一次了，这次改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

这又有难度了，这其实是一个完全背包问题。

1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！

动规五部曲分析如下：

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

2.确定递推公式

求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]

那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

3.dp数组如何初始化

既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。

下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果

4.确定遍历顺序

这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！

所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。

每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

5.举例来推导dp数组

介于本题和动态规划：377. 组合总和 Ⅳ?几乎是一样的，这里就不再重复举例了。

以上分析完毕，代码如下：

import java.util.Scanner;
class climbStairs{
 ? ?public static void main(String [] args){
 ? ? ? ?Scanner sc = new Scanner(System.in);
 ? ? ? ?int m, n;
 ? ? ? ?while (sc.hasNextInt()) {
 ? ? ? ? ? ?// 从键盘输入参数，中间用空格隔开
 ? ? ? ? ? ?n = sc.nextInt();
 ? ? ? ? ? ?m = sc.nextInt();
?
 ? ? ? ? ? ?// 求排列问题，先遍历背包再遍历物品
 ? ? ? ? ? ?int[] dp = new int[n + 1];
 ? ? ? ? ? ?dp[0] = 1;
 ? ? ? ? ? ?for (int j = 1; j <= n; j++) {
 ? ? ? ? ? ? ? ?for (int i = 1; i <= m; i++) {
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?if (j - i >= 0) dp[j] += dp[j - i];
 ? ? ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ? ?System.out.println(dp[n]);
 ? ? ?  }
 ?  }
}

322.零钱兑换

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题目：给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

• 输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11

• 输出：3

• 解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

• 输入：coins = [2], amount = 3

• 输出：-1

示例 3：

• 输入：coins = [1], amount = 0

• 输出：0

示例 4：

• 输入：coins = [1], amount = 1

• 输出：1

示例 5：

• 输入：coins = [1], amount = 2

• 输出：2

提示：

• 1 <= coins.length <= 12

• 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1

• 0 <= amount <= 10^4

思路及实现

题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。

动规五部曲分析如下：

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2.确定递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3.dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

其他下标对应的数值呢？

考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都是应该是最大值。

4.确定遍历顺序

本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！

那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。

本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序

综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。

5.举例推导dp数组

以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

dp[amount]为最终结果。

以上分析完毕，代码如下：

class Solution {
 ? ?public int coinChange(int[] coins, int amount) {
 ? ? ? ?int max = Integer.MAX_VALUE;
 ? ? ? ?int[] dp = new int[amount + 1];
 ? ? ? ?//初始化dp数组为最大值
 ? ? ? ?for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
 ? ? ? ? ? ?dp[j] = max;
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?//当金额为0时需要的硬币数目为0
 ? ? ? ?dp[0] = 0;
 ? ? ? ?for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
 ? ? ? ? ? ?//正序遍历：完全背包每个硬币可以选择多次
 ? ? ? ? ? ?for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
 ? ? ? ? ? ? ? ?//只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
 ? ? ? ? ? ? ? ?if (dp[j - coins[i]] != max) {
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?//选择硬币数目最小的情况
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
 ? ? ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
 ?  }
}

279.完全平方数

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题目：给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

• 输入：n = 12

• 输出：3

• 解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

• 输入：n = 13

• 输出：2

• 解释：13 = 4 + 9

提示：

• 1 <= n <= 10^4

思路及实现

把题目翻译一下：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？

动规五部曲分析如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

2.确定递推公式

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。

此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

3.dp数组如何初始化

dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。

有同学问题，那0 * 0 也算是一种啊，为啥dp[0] 就是 0呢？

看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。

非0下标的dp[j]应该是多少呢？

从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

4.确定遍历顺序

我们知道这是完全背包，

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！

5.举例推导dp数组

已输入n为5例，dp状态图如下：

dp[0] = 0 dp[1] = min(dp[0] + 1) = 1 dp[2] = min(dp[1] + 1) = 2 dp[3] = min(dp[2] + 1) = 3 dp[4] = min(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1 dp[5] = min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2

最后的dp[n]为最终结果。

代码如下：

class Solution {
    // 版本一，先遍历物品, 再遍历背包
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            dp[j] = max;
        }
	//如果不想要寫for-loop填充數組的話，也可以用JAVA內建的Arrays.fill()函數。
	//Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
	
        //当和为0时，组合的个数为0
        dp[0] = 0;
        // 遍历物品
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            // 遍历背包
            for (int j = i * i; j <= n; j++) {
                //if (dp[j - i * i] != max) {
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
                //}
		//不需要這個if statement，因爲在完全平方數這一題不會有"湊不成"的狀況發生（ 一定可以用"1"來組成任何一個n），故comment掉這個if statement。
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

class Solution {
    // 版本二， 先遍历背包, 再遍历物品
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        // 当和为0时，组合的个数为0
        dp[0] = 0;
        // 遍历背包
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            // 遍历物品
            for (int i = 1; i * i <= j; i++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}