原函数存在与定积分存在(可积)的区别

说明

从性质来看，定积分是$f(x)$的曲线下面积，也就是一个数值，而原函数是一个函数，一个函数存在与否和一个数值是否存在完全就是两码事儿，但是本质上却有一定的联系，建立在某种条件成立的前提下

原函数存在定理

$f(x)$在区间上连续，必有原函数；但有原函数不一定连续；

$f(x)$在区间上有第一类间断点，必没有原函数；

$f(x)$在区间上有第二类间断点，可能有原函数；

【注：初等函数在区间上连续，故初等函数在其定义区间一定存在原函数】

定积分存在定理（即${\int }_a^{b}f(x)dx$存在或可积）

$f(x)$在闭区间内连续，则定积分存在。但定积分存在（可积）不一定连续

$f(x)$在闭区间内有界且只有限个间断点，则定积分存在

$f(x)$在闭区间内只有限个第一类间断点，则定积分存在

$f(x)$在闭区间上单调，则定积分存在

变限积分定理

若函数$f(x)$在闭区间上连续，则变上限积分函数在此区间内可导，且导函数等于$f(x)$

二者之间的联系

1.（1）$f(x)$在闭区间连续时，原函数存在，定积分存在，且变上限定积分函数是$f(x)$的一个原函数。
（2）设原函数为变上限积分函数，当被积函数在闭区间内 有界 且有有限个第一类间断点时，则$f(x)$可积，原函数不存在，变限积分函数不一定可导，但其在此区间一定连续
（3）设原函数为变上限积分函数，当被积函数在闭区间内 有界 且有有限个第二类间断点时，则$f(x)$可积，原函数可能会存在，变限积分函数不一定可导，但其在此区间一定连续
（4）设原函数为变上限积分函数，当被积函数在闭区间内只有有限个第一类间断点时，则$f(x)$可积，原函数不存在，变限积分函数不一定可导，但其在此区间一定连续

2.$f(x)$在闭区间连续，则变上限定积分函数可导；$f(x)$可积，变限积分函数不一定可导，但其在此区间一定连续