小肥柴慢慢手写数据结构（C篇）（5-2 AVL树）
小肥柴慢慢学习数据结构笔记（C篇）（5-2 AVL树
目录
5-5 AVL出现的原因
5-5-1 平衡树
（1）设想如下场景：使用之前实现的BST，从空树开始向其中插入如下序列
n
1
,
n
2
,
.
.
.
n
k
n_1,n_2, ... n_k
n1?,n2?,...nk?，且
n
i
?
1
<
n
i
n_{i-1}<n_{i}
ni?1?<ni?，则会形成如下图所示的二叉树，其实已经退化成链表了：
（2）同理，对删除操作，如果每次都删除树中的最小/最大key节点，那么一棵树也可能会退化成链表。
（3）对于链表，查询效率为
O
(
N
)
O(N)
O(N)，远不及BST原始设计时设想的
O
(
l
o
g
N
)
O(logN)
O(logN)，即这种不平衡（左右两支节点的深度差异过大，有的节点查询深度过深）是需要改进BST数据结构来避免的。
【如何解决？】==> 保证insert/remove操作后树形结构的左右枝平衡即可（balance）。
【注】此处需要读者自学两个概念：“满树”、“完全树”，需要指出的是它们与平衡树的概念是有区别的。
5-5-2 平衡二叉树的具体案例
实现平衡不是一个简单的过程，但有很多策略/算法可以用于解决此问题，为此前人也创造了不少新的数据结构，譬如如下自平衡BST：
（1）AVL树（古老的入门平衡树）
（2）RBTree（红黑树，大名鼎鼎的通用树）
（3）Treap（树堆）
（4）AA树（红黑树变体）
当然，后续我们还要陆续讨论和实现例如：
（1）Trie（字典树）
（2）2-3树、2-3-4树
（3）k-d树
…
可以说树的知识点是很有分量的，清北的数据结构与算法课程中[1]，都安排了大量的时间去讨论相关内容，慢慢学，不着急。
5-6 AVL平衡策略的讨论
【摘自《数据结构与算法分析(C++描述)》】：AVL(Adelson-Velskii and Landis,由阿德尔森一维尔斯和兰迪斯在1962年提出,因此得名)树是带有平衡条件(balance condition)的二叉查找树。
（1）AVL需要通过保持平衡维持树的平均深度为 O ( l o g N ) O(logN) O(logN)
（2）策略1：要求左右子树具有相同的高度。 ==> 这个策略限制条件过于严格了。
（3）策略2：要求左右子树高度相差最多为1。 ==> 这个策略更加实用。
【注】平衡二叉树不一定是具有
2
k
?
1
2^k-1
2k?1个节点的理想平衡树哦（perfectly balance tree）！
借用主线教材的一张图说明问题：
（4）我们定义空树的高度为-1，每次可能产生不平衡的操作无外乎两种：添加节点（insert）和删除节点（delete/remove），接下来看图讨论4种调整平衡的策略使得左右子树高度差不超过1（（
∣
h
e
i
g
h
t
(
l
e
f
t
)
?
h
e
i
g
h
t
(
r
i
g
h
t
)
∣
?
1
|height(left)-height(right)|\leqslant1
∣height(left)?height(right)∣?1））：
【核心思想】找到根节点拎起来，根据BST节点的有序性，合理的挂上左右子树。
（a）LL型（k1<k2）
说明（参考《黑皮书》描述）：
<1> 节点k1<k2，目前不平衡的根因是k2的左枝即以k1为根节点的左子树不平衡（height(X) -height(Y) > 1）。
<2> 我们可以把k1节点拎起来做新的子树根节点，那k2节点自动往下掉。
<3> 此时k2自然成为k1的右枝，若需要维持平衡，那么原来k1的右子树（Y）就应该找一个地方挂上。
<4> 且Y子树所有节点都是大于k1的，Y当然只能放在k1的右枝；且Y中节点肯定都小于k2，自然就成为k2的新左子树啦。
以上过程往往被称为“单旋转”（single rotation），人们也会根据旋转的方向不同划分为“左旋转”和“右旋转”，甚至和后续提及的伸展树一样使用zig/zag的称谓，个人觉得初学者不用记那么多，自己能画图理解就行！
这个过程看似简单，在编码时注意操作节点left和right的指向即可，大致操作过程如下：
step1 暂存k1的右子树Y，因为接下来k1的右子树要被替换成k2；
step2 将k2挂在k1的右枝上；
step3 将step1中暂存的Y挂在k2的左枝上。
==> 完事！
（b）RR型（k1<k2）
如下图示，参考LL型做镜像处理（所以我们要先掌握BST的所有细节，特别是对着floor和ceil去写代码理解呢，哈哈哈，环环相扣！）（height(Z) -height(Y) > 1）
（c）LR型（k1<k2<k3）
很明显，这种情况仅靠一次旋转是无法实现平衡的我们可以采取以下策略：
step1 首先使用一次单边旋转（右旋），实现k1、k2的平衡，因为此时：height(k1_right) -height(k1_left) > 1
step2 把由k1、A、B组成的新树看做一个整体，即k2的新左子树，对k2、k3使用一次单边旋转（左旋），实现平衡。
即使用两次单旋转，实现一次双旋转操作。
（d）RL型（k1<k2<k3）
同（3），镜像操作即可。
（5）更多的时候，人们会定义平衡因子（balance factor），在每次insert/delete操作后，再用平衡因子作为判定条件尝试平衡AVL树，这种思路能够大大降低编码实现难度，核心策略如下（参考[2]的描述）：
假设本来这棵树是平衡的，在我们在插入一个结点以后，导致了这棵树的不平衡，那么必然是这棵树根结点的平衡因子从 +1 变成了 +2，或者从 -1 变成了 -2 。实际上，总共有四种情况：
1）LL，根结点的平衡因子 +2，左子树根结点平衡因子 +1；
2）RR，根结点的平衡因子 -2，右子树根结点平衡因子 -1；
3）LR，根结点的平衡因子 +2，左子树根结点平衡因子 -1；
4）RL，根结点的平衡因子 -2，右子树根结点平衡因子 +1。
平衡因子（balance factor） BF= height(left) - height(right)
【注】
（1）此处的平衡因子等于+2或-2，其实也可写作大于1或者小于-1
（2）无论是否使用平衡因子，都需要在每个节点维护以当前节点为根的子树的高度；这点和之前讨论BST常规操作中，在节点中添加记录节点数量的域N非常类似。（咱们的教程真的是循序渐进的，一环扣一环，对新生很友好的好伐。）
5-7 不使用平衡因子的实现（黑皮书，训练思维）
我们依旧本着化繁为简的原则，在第一版简单BST的基础上修改代码实现AVL，不使用key作为比较依据。
（1）ADT（h头文件）
#ifndef _AVL_TREE
#define _AVL_TREE
typedef int ElementType;
struct AvlNode {
ElementType Element;
struct AvlNode *Left;
struct AvlNode *Right;
int Height;
};
typedef struct AvlNode *AvlTree;
AvlTree MakeEmpty(AvlTree T);
AvlTree Find(ElementType X, AvlTree T);
AvlTree FindMin(AvlTree T);
AvlTree FindMax(AvlTree T);
AvlTree Insert(ElementType X, AvlTree T);
AvlTree Delete(ElementType X, AvlTree T);
ElementType Retrieve(AvlTree T);
#endif
（2）简单的MakeEmpty和Find操作，无需多言
AvlTree MakeEmpty(AvlTree T){
if(T != NULL){
MakeEmpty(T->Left);
MakeEmpty(T->Right);
free(T);
}
return NULL;
}
AvlTree Find(ElementType X, AvlTree T){
if(T == NULL)
return NULL;
if(X < T->Element)
return Find(X, T->Left);
else if(X > T->Element)
return Find(X, T->Right);
else /* X == T->Element */
return T;
}
（3）FindMin和FindMax，以及Retrieve
AvlTree FindMin(AvlTree T){
if(T == NULL)
return NULL;
if(T->Left == NULL)
return T;
else
return FindMin(T->Left);
}
AvlTree FindMax(AvlTree T){
if(T == NULL)
return NULL;
if(T->Right == NULL)
return T;
else
return FindMax(T->Right);
}
ElementType Retrieve(AvlTree T){
return T->Element;
}
（4）定义求高度和比较大小常用操作
static int Height(AvlTree T){
return (T == NULL) ? -1 : T->Height;
}
static int Max(int a, int b){
return a > b ? a : b;
}
注意空树高度为-1，因为节点结构中维护了高度值，所以只要在insert和delete环节及时更新一下就能方便使用了。
（5）4种旋转操作，对照之前的图文描述很容易实现/理解
/*
* Assume node: K1 < K2 < K3
*/
static AvlTree SingleRotateWithLeft(AvlTree K2){
AvlTree K1 = K2->Left;
K2->Left = K1->Right;
K1->Right = K2;
K2->Height = Max(Height(K2->Left), Height(K2->Right)) + 1;
K1->Height = Max(Height(K1->Left), K2->Height) + 1;
return K1;
}
static AvlTree SingleRotateWithRight(AvlTree K1){
AvlTree K2 = K1->Right;
K1->Right = K2->Left;
K2->Left = K1;
K1->Height = Max(Height(K1->Left), Height(K1->Right)) + 1;
K2->Height = Max(Height(K2->Right), K1->Height) + 1; // Max(Height(K2->Left), Height(K2->Right)) + 1;
return K2;
}
static AvlTree DoubleRotateWithLeft(AvlTree K3){
K3->Left = SingleRotateWithRight(K3->Left);
return SingleRotateWithLeft(K3);
}
static AvlTree DoubleRotateWithRight(AvlTree K1){
K1->Right = SingleRotateWithLeft(K1->Right);
return SingleRotateWithRight(K1);
}
（6）插入操作，在原有BST的insert基础上修改，即插入成功后及时平衡；注意最后一步需要维护根节点的高度（这步带有非常明显的递归思路==>左+右+中）。
AvlTree Insert(ElementType X, AvlTree T){
if(T == NULL){
T = malloc(sizeof(struct AvlNode));
if(T == NULL){
printf("Create AVL Tree ERROR\n");
exit(0);
}
T->Element = X;
T->Height = 0;
T->Left = T->Right = NULL;
} else if(X < T->Element){
T->Left = Insert(X, T->Left);
if(Height(T->Left) - Height(T->Right) == 2){ // or > 1
if(X < T->Left->Element) // or Height(T->Left->Left) > Height(T->Left->Right)
return SingleRotateWithLeft(T);
else
return DoubleRotateWithLeft(T);
}
} else if(X > T->Element){
T->Right = Insert(X, T->Right);
if(Height(T->Right) - Height(T->Left) == 2){
if(X > T->Right->Element) // or Height(T->Right->Left) < Height(T->Right->Right)
return SingleRotateWithRight(T);
else
return DoubleRotateWithRight(T);
}
}
T->Height = Max(Height(T->Left), Height(T->Right)) + 1;
return T;
}
（7）同理，在原来BST的delete基础上完善平衡操作，注意要避开删掉叶子节点后的边界情况。
AvlTree Delete(ElementType X, AvlTree T){
if(T == NULL){
printf("Tree is null, delete fail\n");
return NULL;
}
if(X < T->Element){
T->Left = Delete(X, T->Left);
if(Height(T->Right) - Height(T->Left) == 2){
if(Height(T->Right->Left) > Height(T->Right->Right))
return DoubleRotateWithRight(T);
else
return SingleRotateWithRight(T);
}
} else if(X > T->Element){
T->Right = Delete(X, T->Right);
if(Height(T->Left) - Height(T->Right) == 2){
if(Height(T->Left->Right) > Height(T->Left->Left))
return DoubleRotateWithLeft(T);
else
return SingleRotateWithLeft(T);
}
} else {
AvlTree TmpCell;
if(T->Left && T->Right){
TmpCell = FindMin(T->Right);
T->Element = TmpCell->Element;
T->Right = Delete(T->Element, T->Right);
} else {
TmpCell = T;
if(T->Left == NULL) // conbime leaf node case: Tl=TR=NULL
T = T->Right;
else if(T->Right == NULL)
T = T->Left;
free(TmpCell);
}
}
if(T != NULL) // case: leaf node has been deleted!!!
T->Height = Max(Height(T->Left), Height(T->Right)) + 1;
return T;
}
（8）测试代码和运行结果
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "AvlTree.h"
int main(int argc, char *argv[]) {
AvlTree T;
AvlTree P;
int i;
int j = 0;
T = MakeEmpty(NULL);
for(i = 0; i < 50; i++, j = (j + 7) % 50 ){
T = Insert(j, T);
printf("after insert %d ==> root is %d, Height is %d || ", j, T->Element, T->Height);
if(T->Left != NULL)
printf("Tl = %d ", T->Left->Element);
else
printf("Tl = NULL ");
if(T->Right != NULL)
printf("Tr = %d ", T->Right->Element);
else
printf("Tr = NULL");
printf("\n");
}
for(i = 0; i < 50; i++)
if((P = Find(i, T)) == NULL || Retrieve(P) != i)
printf("Error at %d\n", i);
printf("Min is %d, Max is %d\n", Retrieve(FindMin(T)), Retrieve(FindMax(T)));
printf("Height is %d \n", T->Height);
printf("\n\n\n===================================================\n\n");
for(i = 1; i < 50; i += 2){
T = Delete(i,T);
printf("after delete %d ==> root is %d, Height is %d || ", i, T->Element, T->Height);
if(T->Left != NULL)
printf("Tl = %d ", T->Left->Element);
else
printf("Tl = NULL ");
if(T->Right != NULL)
printf("Tr = %d ", T->Right->Element);
else
printf("Tr = NULL");
printf("\n");
}
for(i = 0; i < 50; i += 2)
if((P = Find( i, T )) == NULL || Retrieve(P) != i )
printf( "Error at %d\n", i);
for(i = 1; i < 50; i += 2)
if((P = Find(i, T)) != NULL)
printf("Error at %d\n", i);
printf("Min is %d, Max is %d\n", Retrieve(FindMin(T)), Retrieve(FindMax(T)));
printf("Height is %d \n", T->Height);
return 0;
}
5-8 使用平衡因子的实现（更加常见的实现方法）
核心思想：先照常BST操作，完成insert和delete之后统一做一次balance，如果符合条件就真的执行旋转，否则不动。
（1）ADT，基本没有变化
#ifndef _AVL_TREE_2
#define _AVL_TREE_2
typedef int ElementType ;
struct AvlNode {
ElementType Element;
struct AvlNode *Left;
struct AvlNode *Right;
int Height;
};
typedef struct AvlNode *AvlTree;
AvlTree MakeEmpty(AvlTree T);
AvlTree Find(ElementType X, AvlTree T);
AvlTree FindMin(AvlTree T);
AvlTree FindMax(AvlTree T);
AvlTree Insert(ElementType X, AvlTree T);
AvlTree Delete(ElementType X, AvlTree T);
ElementType Retrieve(AvlTree T);
#endif
（2）具体实现，关注一下balance操作的位置和各种旋转的判定；相对上一小节的实现思路更加简单，所以很多人使用这一版。
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include "AvlTree.h"
AvlTree MakeEmpty(AvlTree T){
if(T != NULL){
MakeEmpty(T->Left);
MakeEmpty(T->Right);
free(T);
}
return NULL;
}
AvlTree Find(ElementType X, AvlTree T){
if(T == NULL)
return NULL;
if(X < T->Element)
return Find(X, T->Left);
else if(X > T->Element)
return Find(X, T->Right);
else
return T;
}
AvlTree FindMin(AvlTree T){
if(T == NULL)
return NULL;
return (T->Left == NULL) ? T : FindMin(T->Left);
}
AvlTree FindMax(AvlTree T){
if(T == NULL)
return NULL;
return (T->Right == NULL) ? T : FindMax(T->Right);
}
ElementType Retrieve(AvlTree T){
return T->Element;
}
static int Height(AvlTree T){
return (T == NULL) ? -1 : T->Height;
}
static int Max(int a, int b){
return a > b ? a : b;
}
static void resetHeight(AvlTree T){
if(T != NULL)
T->Height = Max(Height(T->Left), Height(T->Right)) + 1;
}
static int caculatelBF(AvlTree T){
return (T == NULL) ? 0 : (Height(T->Left) - Height(T->Right));
}
static AvlTree SingleRotateWithLeft(AvlTree K2){ //LL
AvlTree K1 = K2->Left;
K2->Left = K1->Right;
K1->Right = K2;
resetHeight(K2);
resetHeight(K1);
return K1;
}
static AvlTree SingleRotateWithRight(AvlTree K1){ //RR
AvlTree K2 = K1->Right;
K1->Right = K2->Left;
K2->Left = K1;
resetHeight(K1);
resetHeight(K2);
return K2;
}
static AvlTree DoubleRotateWithLeft(AvlTree K3){ //LR
K3->Left = SingleRotateWithRight(K3->Left);
return SingleRotateWithLeft(K3);
}
static AvlTree DoubleRotateWithRight(AvlTree K1){ //RL
K1->Right = SingleRotateWithLeft(K1->Right);
return SingleRotateWithRight(K1);
}
static AvlTree doBalance(AvlTree T){
if(T == NULL)
return NULL;
resetHeight(T);
int BF = caculatelBF(T);
if(BF > 1){
if(caculatelBF(T->Left) > 0)
T = SingleRotateWithLeft(T); // LL
else
T = DoubleRotateWithLeft(T); // LR
}
if(BF < -1){
if(caculatelBF(T->Right) < 0)
T = SingleRotateWithRight(T); // RR
else
T = DoubleRotateWithRight(T); // RL
}
return T;
}
AvlTree Insert(ElementType X, AvlTree T){
if(T == NULL){
T = malloc(sizeof(struct AvlNode));
if(T == NULL){
printf("Create AVL Tree ERROR\n");
exit(0);
}
T->Element = X;
T->Height = 0;
T->Left = T->Right = NULL;
} else if(X < T->Element){
T->Left = Insert(X, T->Left);
} else if(X > T->Element){
T->Right = Insert(X, T->Right);
}
return doBalance(T);
}
AvlTree Delete(ElementType X, AvlTree T){
if(T == NULL){
printf("Tree is null, delete fail\n");
return NULL;
}
if(X < T->Element){
T->Left = Delete(X, T->Left);
} else if(X > T->Element){
T->Right = Delete(X, T->Right);
} else {
AvlTree TmpCell;
if(T->Left && T->Right){
TmpCell = FindMin(T->Right);
T->Element = TmpCell->Element;
T->Right = Delete(T->Element, T->Right);
} else {
TmpCell = T;
if(T->Left == NULL){
T = T->Right;
} else if(T->Right == NULL){
T = T->Left;
}
free(TmpCell);
}
}
return doBalance(T);
}
（3）测试代码如下，测试结果就不再展示了
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "AvlTree.h"
int main(int argc, char *argv[]) {
AvlTree T;
AvlTree P;
int i;
int j = 0;
T = MakeEmpty(NULL);
for(i = 0; i < 50; i++, j = (j + 7) % 50 ){
T = Insert(j, T);
printf("after insert %d ==> root is %d, Height is %d || ", j, T->Element, T->Height);
if(T->Left != NULL)
printf("Tl = %d ", T->Left->Element);
else
printf("Tl = NULL ");
if(T->Right != NULL)
printf("Tr = %d ", T->Right->Element);
else
printf("Tr = NULL");
printf("\n");
}
for(i = 0; i < 50; i++)
if((P = Find(i, T)) == NULL || Retrieve(P) != i)
printf("Error at %d\n", i);
printf("Min is %d, Max is %d\n", Retrieve(FindMin(T)), Retrieve(FindMax(T)));
printf("Height is %d \n", T->Height);
printf("\n\n\n===================================================\n\n");
for(i = 1; i < 50; i += 2){
T = Delete(i,T);
printf("after delete %d ==> root is %d, Height is %d || ", i, T->Element, T->Height);
if(T->Left != NULL)
printf("Tl = %d ", T->Left->Element);
else
printf("Tl = NULL ");
if(T->Right != NULL)
printf("Tr = %d ", T->Right->Element);
else
printf("Tr = NULL");
printf("\n");
}
for(i = 0; i < 50; i += 2)
if((P = Find( i, T )) == NULL || Retrieve(P) != i )
printf( "Error at %d\n", i);
for(i = 1; i < 50; i += 2)
if((P = Find(i, T)) != NULL)
printf("Error at %d\n", i);
printf("Min is %d, Max is %d\n", Retrieve(FindMin(T)), Retrieve(FindMax(T)));
printf("Height is %d \n", T->Height);
return 0;
}
5-9 一些数学讨论
（1）推导：高度为h的AVL树的最少节点数 S ( h ) S(h) S(h)的递推式
从AVL树的构型出发，很容易得到高度为h的AVL树，与其左右两边字数在节点函数 S ( h ) S(h) S(h)的关系为：
S ( h ) = S ( h ? 1 ) + S ( h ? 2 ) + 1 S(h)=S(h-1) + S(h-2) + 1 S(h)=S(h?1)+S(h?2)+1
这个关系怎来的呢？考虑一般情况的AVL树：
1）AVL整棵树的平衡因子假设为1，那么左子树高度比右子树高度多1；
2）而整棵树的高度为h，除去根节点，那么左子树只能是h-1，右子树为h-2,；
3）综合以上两项，总结点数 = 左子树节点数 + 右子树节点数 + 1，此处的1就是根节点自己。
而节点数用函数 S ( h ) S(h) S(h)表达，则明显有以上递推关系。
同理，在平衡因子为-1时，也存在相同的递推式；若平衡因子为0，则左右子树都是h-1，退化成 S ( h ) = 2 S ( h ? 1 ) + 1 S(h) = 2S(h-1) + 1 S(h)=2S(h?1)+1。
（2）能否得到 S ( h ) S(h) S(h)的具体解析式呢？
当然可以，零 T ( h ) = S ( h ) + 1 T(h)=S(h)+1 T(h)=S(h)+1，将上式两边同时加1，整理可得： T ( h ) = T ( h ? 1 ) + T ( h ? 2 ) T(h) = T(h-1) + T(h-2) T(h)=T(h?1)+T(h?2)，这不就是斐波那契数列吗？
在《黑皮书》第1/2两章的参考文献中，已经给出方法推导斐波那契数列的通项式（高中数学竞赛小姥们已经学过），这里我们就再推导一遍，需要准备的母函数（也叫生成函数，Generating Function）等数学知识（见[12],[13],[14]）。
定义成函数 G ( z ) = ∑ n = 0 ∞ F n z n G(z)=\sum_{n=0}^{ \infty}F_nz^n G(z)=∑n=0∞?Fn?zn， F n F_n Fn?为斐波那契数列的第 n n n项， F 0 = 0 F_0=0 F0?=0， F 1 = 1 F_1=1 F1?=1。
考虑到递推关系 F n = F n ? 1 + F n ? 2 F_n=F_{n-1}+F_{n-2} Fn?=Fn?1?+Fn?2?，可以尝试使用如下3个式子做变换：
G ( z ) = F 0 + F 1 z + F 2 z 2 + F 3 z 3 + F 4 z 4 + F 5 z 5 + . . . \begin{align*}G(z)=F_0+F_1z+F_2z^2+F_3z^3+F_4z^4+F_5z^5+...\end{align*} G(z)=F0?+F1?z+F2?z2+F3?z3+F4?z4+F5?z5+...?
z G ( z ) = F 0 z + F 1 z 1 + F 2 z 3 + F 3 z 4 + F 4 z 5 + F 5 z 6 + . . . \begin{align*}zG(z)=F_0z+F_1z^1+F_2z^3+F_3z^4+F_4z^5+F_5z^6+...\end{align*} zG(z)=F0?z+F1?z1+F2?z3+F3?z4+F4?z5+F5?z6+...?
z 2 G ( z ) = F 0 z 2 + F 1 z 3 + F 2 z 4 + F 3 z 5 + F 4 z 6 + F 5 z 7 + . . . \begin{align*}z^2G(z)=F_0z^2+F_1z^3+F_2z^4+F_3z^5+F_4z^6+F_5z^7+...\end{align*} z2G(z)=F0?z2+F1?z3+F2?z4+F3?z5+F4?z6+F5?z7+...?
易有
( 1 ? z ? z 2 ) G ( z ) = F 0 + ( F 1 ? F 0 ) z + ( F 2 ? F 1 ? F 0 ) z 2 + ( F 3 ? F 2 ? F 1 ) z 3 + ( F 4 ? F 3 ? F 2 ) z 4 + . . . \begin{align*}(1-z-z^2)G(z)=F_0+(F_1-F_0)z+(F_2-F_1-F_0)z^2+(F_3-F_2-F_1)z^3+(F_4-F_3-F_2)z^4+...\end{align*} (1?z?z2)G(z)=F0?+(F1??F0?)z+(F2??F1??F0?)z2+(F3??F2??F1?)z3+(F4??F3??F2?)z4+...?
带入条件，等式右端仅留下 z z z系数项，则
G ( z ) = z / ( 1 ? z ? z 2 ) \begin{align*}G(z)=z/(1-z-z^2)\end{align*} G(z)=z/(1?z?z2)?
求解方程 1 ? z ? z 2 = 0 1-z-z^2=0 1?z?z2=0，得到两根： ? = 1 2 ( 1 + 5 ) \phi= \frac{1}{2}(1+\sqrt{5}) ?=21?(1+5?) ， ? ^ = 1 2 ( 1 ? 5 ) \hat{\phi}=\frac{1}{2}(1-\sqrt{5}) ?^?=21?(1?5?)，带入 G ( z ) G(z) G(z)拆解分式
G ( z ) = 1 5 ( 1 1 ? ? z ? 1 1 ? ? ^ z ) \begin{align*}G(z)=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{1-\phi{z}}-\frac{1}{1-\hat{\phi}z})\end{align*} G(z)=5?1?(1??z1??1??^?z1?)?
利用等比数列级数展开式
1 1 ? z = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . . . \begin{align*}\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+z^4+....\end{align*} 1?z1?=1+z+z2+z3+z4+....?
G ( z ) = 1 5 ( 1 + ? z + ? 2 z 2 + . . . ? 1 ? ? ^ z ? ? 2 ^ z 2 ? . . . ) \begin{align*}G(z)=\frac{1}{\sqrt{5}}(1+\phi{z}+\phi^2{z^2}+...-1-\hat{\phi}z-\hat{\phi^2}z^2-...)\end{align*} G(z)=5?1?(1+?z+?2z2+...?1??^?z??2^?z2?...)?
对比系数有
F n = 1 5 ( ? n ? ? n ^ ) \begin{align*}F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n-\hat{\phi^n})\end{align*} Fn?=5?1?(?n??n^?)?
那么
S ( h ) = F h ? 1 = 1 5 ( ? n ? ? n ^ ) ? 1 \begin{align*}S(h)=F_h-1=\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n-\hat{\phi^n})-1\end{align*} S(h)=Fh??1=5?1?(?n??n^?)?1?
（3）接下来参考文献 [6] 、[7]可得到树高 h h h的渐进关系，其实也代表了AVL的查询深度
h = O ( l o g N ) \begin{align*}h=O(logN)\end{align*} h=O(logN)?
这与BST的结论一致，其实AVL就是一种BST，此处我们演示了另一种思路而已。
参考文献
[1] （北大）“数据结构与算法”教学大纲
[2] 平衡二叉树 —— 如何优雅的进行旋转（我和中意的一个有意思的博主，哈哈哈哈）
[3] 数据结构与算法分析学习笔记(二)–AVL树的算法思路整理
[4] 彻底搞懂AVL树
[5] 一文搞懂AVL树详解
[6] AVL tree 高度上下界推导
[7] AVL树的树高上下界极清晰推导
【注】相比之前BST的推导，这是很简单的啦
[8] 《算法4》
[9] 《黑皮书》
[10] 《计算机程序设计艺术》
[11] 清华大学，邓俊辉老师《数据结构》==> 这个讲的真的挺好的，点到为止，留足空间自学，但总能点中问题关键。
[12] 母函数——生成函数——形式级数
[13] 组合数学3 母函数
[14] 浅讲母函数
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