99、NeRF ray space

CG相机模型

在图形学中最常用的相机模型的原理和小孔成像是类似的。

不同之处在于，如上图，小孔成像得到的图像是倒立的，但是我们希望得到的图像是正向的，因此，我们选择小孔前成像。

从 3D 到 2D 的投影，就是根据 3D 物体的坐标，计算其投影到 2D 成像平面上的坐标。对于一个已有的相机而言，只有在恰当位置范围内的 3D 物体才可能投影到成像平面上。这个恰当范围，跟成像平面的大小，以及相机中心到平面距离等因素有关。

在图形学中有一个专门的模型来定义这个范围：

上图这个形似棱锥的模型，就是相机的可视范围。其中，有两个重要的概念：Near clipping plane 和 Far clipping plane。

Near clipping plane 是相机前方的平面，也就是成像平面，Far clipping plane 是更远处的平面，限制了相机最远可视的范围，它们都与相机的 z 轴垂直。在这两个平面之间的空间，就是相机的可视范围。在这个范围内的物体，才能投影到相机的成像平面上。在图形学中，这个可视范围被称为视锥体 (Viewing Frustum)。

在真实的相机中，Far clipping plane 一般是无限远的，但在图形学中，为了简化计算，一般将其设置为有限的距离。

3D坐标到2D坐标

上图是一个典型的物体投影到屏幕上的过程。我们假设已经获得了物体在世界坐标系中的坐标，在世界坐标系转换到图像坐标系的过程中，涉及以下过程。

世界坐标系转换到相机坐标系

对三维物体投影的第一步，是将三维物体从世界坐标系转换到以相机为中心的坐标系统，这样方便后续的投影计算。

相机坐标系是以相机为中心的坐标系 (也叫 eye coordinates)，由于相机和世界坐标系的原点可能不同，且其坐标轴方向和世界坐标系可能不同，因此世界坐标系和相机坐标系的转换一般涉及旋转平移两项操作。

在图形学中，通常使用齐次坐标，并配合 4x4 的矩阵来完成两个坐标系统的转换。

相机坐标系到屏幕坐标系

获得物体的相机坐标系（Near clipping plane 和 Far clipping plane 之间）后，接下来就可以计算物体投影到成像平面上的坐标。

这个过程可以根据相似三角形的原理计算得出。

如上图所示，假设相机的中心在 A 点，三维物体在 C 点，其在成像平面上的投影为 C’。

由于我们已经获得了物体在相机坐标系中的坐标，因此可以计算出 AB、BC 的长度。而 AB’、B’C’ 的长度，可以根据相似三角形的原理计算出来 (上图假设相机焦距是 1，但实际情况中不做限制，我们用 $Z_{near}$表示)：

$$\frac{BC}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{A{B}^{\prime }}$$

即

$$\begin{gathered} \frac{P.y}{|P.z|}=\frac{P^{\prime }.y}{Z_{near}} \\ {P}^{\prime }.y=\frac{Z_{near}?P.y}{|P.z|} \end{gathered}$$

同样的，可以算出 : $P^{\prime }.x=\frac{Z_{near}?P.x}{|P.z|}$

对于 z 轴坐标来说，由于 Near clipping plane 和 z 轴是垂直的，因此所有投影到成像平面上的点，z 坐标都是相同的。而事实上在投影到 2D 坐标后，z 轴坐标已经没有意义了，因此可以直接忽略。

从 $P^{\prime }.x$ 和 $P^{\prime }.y$ 可以发现，投影到成像平面上的坐标，其 x 和 y 坐标都是除以 z 坐标得到的。因此这种投影变换也被称为 z divide 或者 perspective divide。这也是透视投影的特点，投影到成像平面上的坐标，其 x 和 y 坐标都是 与 z 坐标绝对值成反比的。也因此，物体越远，其在屏幕上的大小越小。

屏幕坐标系到图像坐标系

转换到屏幕坐标系后，我们理论上已经获得了物体的 2D 坐标，但这个坐标并不是最终图像上的坐标。

在第 2 步相机坐标系到屏幕坐标系的转换中，不难发现，屏幕坐标系的原点是在屏幕中心的，但在图像坐标系中，原点一般是在左上角或者左下角。因此，要转换到图像坐标系，还需要一步归一化的过程。

在不同的系统中，图像坐标系的原点是存在差异的。比如，有些系统中的图像原点位于左下角，y 轴朝上，但有些则反着来。而 NDC 坐标系是一个跟设备无关的坐标系统，它将图像的 x/y/z 轴都统一归一化到 [0, 1]，并规定了坐标轴方向 (在有些图形系统中，也会将 x/y/z 轴归一化到 [-1, 1])，如下图所示 (中间即是 NDC 坐标系)。

NDC 全称是 Normalized Device Coordinate，也即归一化的设备坐标系。这是从屏幕坐标系转换到图像坐标系的中间媒介。

用上图的例子来演示 屏幕坐标系 -> NDC 坐标系 -> 图像坐标系 (即上图的 raster 坐标系) 的转换过程。

假设 投影屏幕 长宽分别为 height、width，NDC 的原点在左下角，y 轴朝上，那么，屏幕坐标系到 NDC 坐标系的转换公式为：

$$\begin{gathered} P_{bdc}.x=\frac{P^{\prime }.x+width/2}{width} \\ {P}_{bdc}.y=\frac{P^{\prime }.y+height/2}{height} \end{gathered}$$

假设图像大小为 image_height、image_width，图像原点位于左上角，y 轴朝下。那么，NDC 坐标系到图像坐标系的转换公式为：

$$\begin{gathered} P_{image}.x=P_{ndc}.x?image\_width \\ {P}_{image}.y=(1?P_{ndc}.y)?image\_height \end{gathered}$$

NDC 坐标系是连续的坐标系，只有转换到图像坐标系，才会对坐标进行取整操作。此外，NDC 坐标系仍是三维坐标系，不过在考虑投影的时候，z 轴通常会被忽略

OpenGL 中，NDC 坐标到 raster 图像坐标的转换过程，也被称为 viewport transform

采用 NDC 坐标的好处是，我们可以将 NDC 看作是一个通用的坐标系统，并将不同系统的坐标统一起来。比如，我们在将屏幕坐标系转换到图像坐标系时，可以先换算到统一的 NDC 坐标系中，再实现二者的相互转化。在 NDC 坐标系中进行处理的时候，就不需要关心投影屏幕长宽、图像大小等信息了。

投影矩阵(Projection Matrix)

从上面三维坐标到二维坐标的转换过程中，不难发现，整个过程涉及步骤很多，非常繁琐。为了简化计算，在很多图形系统中，会将物体从相机坐标系到 NDC 坐标系的过程，用一个矩阵串联起来 (即投影矩阵)。

即完成所有操作总共需要两个矩阵：世界坐标系和相机坐标系之间的变换矩阵、投影矩阵。

理解投影矩阵，对后面 NeRF 中 NDC 坐标系统的推导至关重要。因此，这里先详细介绍投影矩阵的由来，并补充一些相关的数学知识。

不同坐标系统的转换

三维坐标转二维坐标的第一步，就是将物体从世界坐标系转换到相机坐标系。

这一步在投影矩阵的求解中是不需要的。不过，由于图形学中，不同坐标系之间的转换是一个基本操作。

任何三维坐标系统，都可以用三个互相垂直的坐标轴以及坐标原点来唯一确定。

这三个坐标轴，在线性代数中，也被称为基向量v={$v_1,v_2,v_3$} 。通常情况下，我们会用标准向量 $e_1=[1,0,0]$、$e_1=[0,1,0]$、$e_1=[0,0,1]$ 来表示这三个坐标轴。不过事实上也可以随意定义，只要它们线性无关，可以表达出整个三维空间即可。

现在，假设有两个不同的坐标系统 A 和 B。A 的基向量 v = { v 1 , v 2 , v 3 } v=\{v_1,v_2,v_3\} v={v1?,v2?,v3?}，B 的基向量 u = { u 1 , u 2 , u 3 } u=\{u_1,u_2,u_3\} u={u1?,u2?,u3?} 。根据线性无关，可以得出：

$$\begin{gathered} u_1={\gamma }_{11}{v}_1+{\gamma }_{12}+{\gamma }_{13}{v}_3 \\ {u}_2={\gamma }_{21}{v}_1+{\gamma }_{22}+{\gamma }_{23}{v}_3 \\ {u}_3={\gamma }_{31}{v}_1+{\gamma }_{32}+{\gamma }_{33}{v}_3 \end{gathered}$$

用矩阵方程的形式表示为：
$$u=Mv$$

对于三维空间中的某个点 w 来说，均可以由 u、v 这两个坐标系表示：
$$w=a^{T}v=b^{T}u$$

其中的 $a^T$和$b^T$ 其实就是 w 在这两个坐标系统中的坐标。再结合公式 (2)，可以得到：

$$w=b^{T}u=b^{T}Mv=a^{T}v$$

由此推出，$a=M^{T}b,b=(M^T{)}^{?1}a$

到这里，我们就发现：对于点 w 来说，想要从坐标系 A 转换到坐标系 B，只需要对原坐标系 A 中的坐标，乘以一个矩阵 M 即可。反之，则是乘以矩阵的逆 $(M^T{)}^{?1}$。而这个矩阵M ，可以通过两个坐标系统的基向量，也就是坐标轴，通过公式 (1) 的矩阵方程进行求解。

在将物体从世界坐标系转到相机坐标系的过程中，只需要将这个矩阵应用到世界坐标系的物体坐标上，就可以得到三维物体相对于相机坐标系的位置坐标。

这个过程中，物体的实际位置没有发生任何改变，只不过它的坐标，从相对于世界坐标系，变成相对于相机坐标系。

齐次坐标(Homogenous Coordinates)

上面提到的变换矩阵 M 存在一点不足，那就是它只能表达旋转和缩放操作，但无法表达平移。具体原因有很多资料已做了描述，这里不再赘述。

在三维世界中，旋转、缩放、平移是三个最基础的操作，因此，为了将平移也融入矩阵运算中，人们引入了齐次坐标。

齐次坐标相比普通的三维坐标，就是在 x、y、z 之外，再引入一维 w:[x,y,z,w]。

同时我们规定 [x,y,z]=[x,y,z,w=1]，即当 w=1 时，齐次坐标可以等价于普通的三维坐标。

如果 $w\ne 1$ ，那换算方法是：$[x,y,z,w]=[\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w}]$。

引入齐次坐标后，变换矩阵自然也可以拓展成 4x4 的维度。

$$\left[\begin{array}{cccc}{m}_{00}& m_{01}& m_{02}& T_x\\ m_{10}& m_{11}& m_{12}& T_y\\ m_{20}& m_{21}& m_{22}& T_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]?\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w=1\end{array}\right]$$

在 w=1 的情况下，矩阵第 4 列代表的，就是 x、y、z 对应的平移量。

在之后投影矩阵的计算过程中，齐次坐标的作用会更加明显。

投影矩阵推导

假设我们已经获得了物体在相机坐标系中的坐标 $P_e=[x_e,y_e,z_e]$ (如果只有世界坐标系，也可以通过前面所讲的不同坐标系统的变换，来转换到相机坐标系，这一步也属于相机外参标定的流程)。

将 $P_e$ 从相机坐标系转换到 NDC 的过程，其实就是将 $P_e$ 从下图左边的棱锥转换到右边的立方体的过程 (这里使用 OpenGL 中的坐标习惯，NDC 将 x/y/z 轴都归一化到 [-1, 1])：

假设 Near Clipping Plane 到相机中心的距离为 n。在 OpenGL 等图形库中，由于相机坐标系的 z 轴是朝向屏幕外的，因此 Near Clipping Plane 上，点的 z 坐标均为 z = -n。

再假设 Near Clipping Plane 平面上，x 轴的屏幕范围是 [l,r]，y 轴的屏幕范围是 [b,t]，那么屏幕上四个边界点的坐标分别是：(l,t,-n)、(r,t,-n)、(l,b,-n)、(r,b,-n)

首先，将点 $P_e$ 投影到 Near Clipping Plane 上。根据上文的介绍，这就是 z divide 的过程，由此得到投影后的坐标为：

$$\begin{gathered} x_p=\frac{n?x_e}{?z_e} \\ {y}_p=\frac{n?y_e}{?z_e} \end{gathered}$$

在投影后需要考虑把超出屏幕的点裁剪掉，不过这一步也可以放在后面进行，我们先跳过。

接下来就是把投影后的点转换到 NDC 空间了，这是归一化的过程，把 [l,r] 和 [b,t] 这两个区间的数值归一化到 [-1,1] 。可以分两步完成。

先把 $x_p$ 归一化到 [0,1]：$\frac{x_p?l}{r?l}$。

再从 [0,1] 归一化到 [-1,1]： $2?\frac{x_p?l}{r?l}?1$。

$$\begin{gathered} x_{ndc}=2?\frac{x_p?l}{r?l}?1 \\ =\frac{2x_p}{r?l}?\frac{r+l}{r?l} \end{gathered}$$

同理可得 $y_{ndc}$:
$$y_{ndc}=\frac{2y_p}{t?b}?\frac{t+b}{t?b}$$

由此我们已经得到了 NDC 中的 x/y 坐标（将上述$y_p,x_p$代入）。完整的转换公式：

$$\begin{gathered} x_{ndc}=\frac{2n?x_e}{?z_e?(r?l)}?\frac{r+l}{r?l} \\ {y}_{ndc}=\frac{2n?y_e}{?z_e?(t?b)}?\frac{t+b}{t?b} \end{gathered}$$

这个公式看起来复杂，但可以融入到齐次坐标中，变成矩阵运算：

$$\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\\ w_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{r?l}& 0& \frac{r+l}{r?l}& 0\\ 0& \frac{2n}{t?b}& \frac{t+b}{t?b}& 0\\ 0& 0& A& B\\ 0& 0& ?1& 0\end{array}\right]?\left[\begin{array}{c}{x}_e\\ y_e\\ z_e\\ w_e=1\end{array}\right]$$

其中 A、B是待求解的参数。

以$x_c$ 为例，计算过程如下：
$$\begin{gathered} x_c=\frac{2n{x}_e}{r?l}+\frac{r+l}{r?l}?z_e \\ {w}_c=?z_e \end{gathered}$$

由于 $w\ne 1$，需要除去 w 才能得到最终的坐标

$$\begin{gathered} x_{ndc}=\frac{x_c}{w_c} \\ =\frac{2n?x_e}{?z_e?(r?l)}?\frac{r+l}{r?l} \end{gathered}$$

这样子求出的 $x_{ndc}$ 和上述的一致，这就是使用齐次坐标的好处。

由于 r 和 l 是沿中心对称的，即 l=-r，所以 r-l=2r，r+l=0。同理 t-b=2t，t+b=0 。所以矩阵可以简化为：
$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{n}{r}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{n}{t}& 0& 0\\ 0& 0& A& B\\ 0& 0& ?1& 0\end{array}\right]$$

上面的矩阵中，还缺失 $z_e$ 对应的参数 A、B。由于 z 轴的计算和 x/y 无关，因此矩阵第三行 x/y 对应的参数可以直接设为 0，我们单独看A、B 如何求解。

由上面的矩阵可以算出：$z_{ndc}=\frac{A?z_e+B}{?z_e}$

假设 Far Clipping Plane 到相机中心的距离为 f 。那么 z 轴是从 [-n,-f] 归一化到 [-1,1]，即 $z_e=?n$ 时，$z_{ndc}=?1$，$z_e=?f$ 时，$z_{ndc}=1$。由此可以得到两个等式：

$$\begin{gathered} \frac{?A?f+B}{f}=1 \\ \frac{A?n+B}{n}=?1 \end{gathered}$$

解得: $A=?\frac{f+n}{f?n}$ 、$B=?\frac{?2fn}{f?n}$

最终的矩阵为:

$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{n}{r}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{n}{t}& 0& 0\\ 0& 0& ?\frac{f+n}{f?n}& \frac{?2fn}{f?n}\\ 0& 0& ?1& 0\end{array}\right]$$

这个矩阵，即是所谓的投影矩阵，它可以完成相机坐标系到 NDC 坐标系的转换。

对于投影点的坐标 $(x_{ndc},y_{ndc},z_{ndc})$，如果数值超出 [-1,1] 的范围，就说明投影后的点超出了屏幕范围，可以直接舍弃。

NeRF中的NDC ray space

NeRF 中的坐标，是以射线的形式表示：o+td，其中 o 是射线起点，d 是方向向量，t 是射线长度。

所谓的 NDC ray space，就是把这种射线形式表示的坐标，从相机坐标系投影到 NDC 坐标系。因此，转换的媒介仍然是投影矩阵：

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{cccc}\frac{n}{r}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{n}{t}& 0& 0\\ 0& 0& ?\frac{f+n}{f?n}& \frac{?2fn}{f?n}\\ 0& 0& ?1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{n}{r}x\\ \frac{n}{t}y\\ ?\frac{f+n}{f?n}z?\frac{2fn}{f?n}\\ ?z\end{array}\right) \\ project\to \left(\begin{array}{c}\frac{n}{r}\frac{x}{?z}\\ \frac{n}{t}\frac{y}{?z}\\ \frac{f+n}{f?n}?\frac{2fn}{f?n}\frac{1}{?z}\end{array}\right) \end{gathered}$$

不过，由于坐标的表达形式换了，因此公式上也发生了一些变动

假设我们已经获得了相机坐标系中的坐标点 $P_e=o+td$，对应 x/y/z 轴的坐标分别为 (注意区分这里的 t 和投影平面的边界 t )：
$$\begin{gathered} x_e=o_x+t?d_x \\ {y}_e=o_y+t?d_y \\ {z}_e=o_z+t?d_z \end{gathered}$$

现在需要求出它在 NDC 坐标系中的投影坐标，假设是 $P^{\prime }=o^{\prime }+t^{\prime }{d}^{\prime }$

那么根据投影矩阵，$P_e$ 转换到 P’ 的过程可以表示为：

$$\begin{gathered} x^{\prime }=o_x^{\prime }+t^{\prime }?d_x^{\prime }=?\frac{n}{r}?\frac{o_x+t?d_x}{o_z+t?d_z} \\ {y}^{\prime }=o_y^{\prime }+t^{\prime }?d_y^{\prime }=?\frac{n}{t}?\frac{o_y+t?d_y}{o_z+t?d_z} \\ {z}^{\prime }=o_z^{\prime }+t^{\prime }?d_z^{\prime }=\frac{f+n}{f?n}+\frac{2fn}{f?n}?\frac{1}{o_z+t?d_z} \end{gathered}$$

为了简洁一些，假设 $?\frac{n}{r}=a_x$，$?\frac{n}{t}=a_y$，$\frac{f+n}{f?n}=a_z$，$\frac{2fn}{f?n}=b_z$。那么上面这堆复杂的式子可以简化为：

$$\begin{gathered} x^{\prime }=a_x?\frac{o_x+t?d_x}{o_z+t?d_z} \\ {y}^{\prime }=a_y?\frac{o_y+t?d_y}{o_z+t?d_z} \\ {z}^{\prime }=a_z?\frac{b_z}{o_z+t?d_z} \end{gathered}$$

接下来就是要把 o’、t’、d’ 求解出来。

首先，对于 o’ 来说，可以直接通过 o 投影得到，即让上述公式中 t为0：

$$o^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{o}_x^{\prime }\\ o_y^{\prime }\\ o_z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_x?\frac{o_x}{o_z}\\ a_y?\frac{o_y}{o_z}\\ a_z+\frac{b_z}{o_z}\end{array}\right]$$

在 o’确定后，t‘*d’ 可以表示为：

$$\left[\begin{array}{c}{t}^{\prime }?d_x^{\prime }\\ t^{\prime }?d_y^{\prime }\\ t^{\prime }?d_z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }?o_x^{\prime }\\ y^{\prime }?o_y^{\prime }\\ y^{\prime }?o_z^{\prime }\end{array}\right]$$
代入 $o_x^{\prime },o_y^{\prime },o_z^{\prime }$ 并化简得到

解得：
$$\begin{gathered} t^{\prime }=\frac{t?d_z}{o_z+t?d_z}=1?\frac{o_z}{o_z+t?d_z} \\ {d}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{a}_x?(\frac{d_x}{d_z}?\frac{o_x}{o_z})\\ a_y?(\frac{d_y}{d_z}?\frac{o_y}{o_z})\\ ?b_z?\frac{1}{o_z}\end{array}\right] \end{gathered}$$

当 t = 0时，t’=0，当 $t\to \infty$ 时 $t^{\prime }\to 1$。所以，在相机坐标系对光线进行采样 ($t\in (0,\infty )$)，就等价于在 NDC ray space 中，对 t’ 在 [0,1] 范围内进行采样。

对于投影屏幕来说，可以设定最后成像的图片长宽 (H*W) 和屏幕大小一致，由于投影屏幕的中心即是坐标原点，因此 r=w/2 ，t=H/2。再假定相机的焦距 $f_{cam}$ 和 Near Clipping Plane 到相机中心的距离相等，即 $n=f_{cam}$。则 $a_x,a_y$ 可以重新表示为：

$$\begin{gathered} a_x=?\frac{f_{cam}}{W/2} \\ {a}_y=?\frac{f_{cam}}{H/2} \end{gathered}$$

(所谓焦距，指的是相机光圈到成像平面的距离。但正如文章开始提到的，由于图形学中的相机是模拟的，所以并不存在焦距的概念。只是由于投影平面一般和 Near Clipping Plane 重合，因此可以简单认为 $f_{cam}=n$ ，但二者其实是不同的概念)

对于 $a_z$ 和 $b_z$ ，由于论文将 f 设定为无穷远，因此：

$$\begin{gathered} a_z=\underset{f\to \infty }{\lim }\frac{f+n}{f?n} \\ =\underset{f\to \infty }{\lim }(1+\frac{2n}{f?n}) \\ =1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b_z=\underset{f\to \infty }{\lim }\frac{2fn}{f?n} \\ =\underset{f\to \infty }{\lim }\frac{2n}{1?\frac{n}{f}} \\ =2n \end{gathered}$$

可以得到最终的 o’ 和 d’

在 $t\in [0,1]$ 内采样，等价于相机坐标系中在 $t\in [0,\infty ]$ 范围内采样。但是，如前文描述的，相机坐标系的可视范围是从 Near Clipping Plane 到 Far Clipping Plane 之间，也就是在$z\in [?\infty ],?n$ 这个区间。为了保证光线上每个采样点可见，需要把光线起点对齐到 Near Clipping Plane 上。

即 o 沿光线方向移动 $t_n$ 个单位后，$o_z=?z$，表示成公式为：

$$\begin{gathered} o_z+t_n?d_z=?n \\ {t}_n=\frac{n+o_z}{d_z} \end{gathered}$$

因此，移动后的光线起点为 $o_n=o+t_{n}d$：