【数据结构(十·树结构的实际应用)】堆排序（1）

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1. 堆排序的基本介绍

1. 堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为 O(nlogn)，它也是不稳定排序。
2. 堆是具有以下性质的完全二叉树：
   (1) 每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆。
   (2) 每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。
   注意： 没有要求结点的左孩子的值和右孩子的值的大小关系。

大顶堆举例说明：

大顶堆特点：
????$arr[i]>=arr[2?i+1]\&\&a[i]>=arr[2?i+2]$，其中 i 对应第几个节点，i 从 0 开始编号
????
注意：一般升序采用大顶堆

小顶堆举例说明：

小顶堆特点：
????$arr[i]<=arr[2?i+1]\&\&a[i]<=arr[2?i+2]$，其中 i 对应第几个节点，i 从 0 开始编号
????
注意：一般降序采用小顶堆

2. 堆排序的基本思想

2.1. 基本思想

????
堆排序的基本思想是：

1. 将待排序序列构造成一个堆（根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆）
   假设：将待排序序列构造成一个大顶堆，后面步骤如下：
2. 此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。
3. 将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。
4. 然后将剩余 n-1 个元素重新构造成一个堆，这样会得到 n 个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

2.2. 图解说明

问题：
????给一个数组 {4,6,8,5,9} , 要求使用堆排序法，将数组升序排序。

2.2.1. 步骤1

????构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。原始的数组 [4, 6, 8, 5, 9]

（1）假定给无序序列的结构如下

（2）然后，从最后一个非叶子结点开始（叶子结点不用调整，第一个非叶子结点arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的 6 结点），从左至右，从下至上进行调整。

说明：
从左至右调整：5和9当中，5在左边，先对5进行比较
从下至上调整：5和6进行比较，5<6，故不用交换
同理，9需要和6交换

（3）找到第二个非叶节点 4，由于[4,9,8]中 9 元素最大，4 和 9 交换。

（4）这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中 6 最大，交换 4 和 6。

此时，我们就将一个无序序列构造成了一个大顶堆。

2.2.2. 步骤2

????将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

（1）将堆顶元素 9 和末尾元素 4 进行交换

（2）重新调整结构，使其继续满足堆定义

（3）再将堆顶元素 8 与末尾元素 5 进行交换，得到第二大元素 8

（4）后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序。

3. 堆排序的代码实现

要求：给一个数组 {4,6,8,5,9} , 要求使用堆排序法，将数组升序排序。

3.1. 实现堆排序

package tree;

import java.util.Arrays;

public class HeapSort {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int arr[] = { 4, 6, 8, 5, 9 };
//		int arr[] = { 4, 6, 8, 5, 9, -1, 90, 89, 56, -999 };
		heapSort(arr);
	}

	// 编写一个堆排序的方法
	public static void heapSort(int arr[]) {
		int temp = 0;
		System.out.println("堆排序~");

//		// 分步完成
//		adjustHeap(arr, 1, arr.length);
//		System.out.println("第1次" + Arrays.toString(arr));// 4,9,8,5,6
//		
//		adjustHeap(arr, 0, arr.length);
//		System.out.println("第2次" + Arrays.toString(arr));// 9,6,8,5,4

		// 完成最终代码
		// 将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆
		for (int i = arr.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
			adjustHeap(arr, i, arr.length);
		}

		/*
		 * 将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;
		 * 重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序
		 */
		for (int j = arr.length - 1; j > 0; j--) {
			// 交换
			temp = arr[j];
			arr[j] = arr[0];
			arr[0] = temp;
			adjustHeap(arr, 0, j);
		}

		System.out.println("数组=" + Arrays.toString(arr));

	}

	// 将一个数组（二叉树），调整成一个大顶堆
	/**
	 * 功能：完成将以 i 对应的非叶子节点的树调成大顶堆 举例：int arr[] = {4,6,8,5,9} --> i=1 --> adjustHeap
	 * --> 得到{4,9,8,5,6} 如果我们再次调用 adjustHeap 传入的是 i = 0 --> 得到
	 * {4,9,8,5,6}-->{9,6,8,5,4}
	 * 
	 * @param arr    待调整的数组
	 * @param i      表示非叶子节点在数组中的索引
	 * @param length 表示对多少个元素进行调整，length是在逐渐减少
	 */
	public static void adjustHeap(int arr[], int i, int lenght) {

		int temp = arr[i];// 先取出当前元素的值，保存在临时变量
		// 开始调整
		// 说明
		// 1. k=i*2+1 其中, k是i节点的左子结点
		for (int k = i * 2 + 1; k < lenght; k = k * 2 + 1) {
			if (k + 1 < lenght && arr[k] < arr[k + 1]) {// 说明左子结点的值小于右子节点的值
				k++;// k指向右子节点
			}
			if (arr[k] > temp) {// 如果子节点大于父节点
				arr[i] = arr[k];// 把较大的值赋给当前节点
				i = k;// ！！！i指向看，继续循环比较
			} else {
				break;// !
			}
		}
		// 当for循环结束后，已经将以i为父节点的树的最大值，放在了最顶（局部）
		arr[i] = temp;// 将temp值放到调整后的位置
	}

}

运行结果：

核心代码解读：

3.2. 堆排序的速度测试

package tree;

import java.text.SimpleDateFormat;
import java.util.Arrays;
import java.util.Date;

public class HeapSort {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		// 创建要给8000000个的随机数组
		int[] arr = new int[8000000];
		for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
			arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000);// 生成一个[0, 8000000）的数
		}

		Date date1 = new Date();
		SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyy-MM-dd HH:mm:ss.SSS");
		String date1Str = simpleDateFormat.format(date1);
		System.out.println("排序前的时间是：" + date1Str);

		heapSort(arr);

		Date date2 = new Date();
		String date2Str = simpleDateFormat.format(date2);
		System.out.println("排序后的时间是：" + date2Str);

//		System.out.println("排序后=" + Arrays.toString(arr));
	}

	// 编写一个堆排序的方法
	public static void heapSort(int arr[]) {
		int temp = 0;
//		System.out.println("堆排序~");

//		// 分步完成
//		adjustHeap(arr, 1, arr.length);
//		System.out.println("第1次" + Arrays.toString(arr));// 4,9,8,5,6
//		
//		adjustHeap(arr, 0, arr.length);
//		System.out.println("第2次" + Arrays.toString(arr));// 9,6,8,5,4

		// 完成最终代码
		// 将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆
		for (int i = arr.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
			adjustHeap(arr, i, arr.length);
		}

		/*
		 * 将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;
		 * 重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序
		 */
		for (int j = arr.length - 1; j > 0; j--) {
			// 交换
			temp = arr[j];
			arr[j] = arr[0];
			arr[0] = temp;
			adjustHeap(arr, 0, j);
		}

//		System.out.println("数组=" + Arrays.toString(arr));

	}

	// 将一个数组（二叉树），调整成一个大顶堆
	/**
	 * 功能：完成将以 i 对应的非叶子节点的树调成大顶堆 举例：int arr[] = {4,6,8,5,9} --> i=1 --> adjustHeap
	 * --> 得到{4,9,8,5,6} 如果我们再次调用 adjustHeap 传入的是 i = 0 --> 得到
	 * {4,9,8,5,6}-->{9,6,8,5,4}
	 * 
	 * @param arr    待调整的数组
	 * @param i      表示非叶子节点在数组中的索引
	 * @param length 表示对多少个元素进行调整，length是在逐渐减少
	 */
	public static void adjustHeap(int arr[], int i, int lenght) {

		int temp = arr[i];// 先取出当前元素的值，保存在临时变量
		// 开始调整
		// 说明
		// 1. k=i*2+1 其中, k是i节点的左子结点
		for (int k = i * 2 + 1; k < lenght; k = k * 2 + 1) {
			if (k + 1 < lenght && arr[k] < arr[k + 1]) {// 说明左子结点的值小于右子节点的值
				k++;// k指向右子节点
			}
			if (arr[k] > temp) {// 如果子节点大于父节点
				arr[i] = arr[k];// 把较大的值赋给当前节点
				i = k;// ！！！i指向看，继续循环比较
			} else {
				break;// !
			}
		}
		// 当for循环结束后，已经将以i为父节点的树的最大值，放在了最顶（局部）
		arr[i] = temp;// 将temp值放到调整后的位置
	}

}

运行结果：

说明：

1. 堆排序不是很好理解，需要自己debug慢慢消化
2. 堆排序的速度非常快，在我的机器上 8 百万数据 2 秒左右。O(nlogn)