整数规划-分支定界法
分支定界法由来
谨以此博客作为学习期间的记录
在生活中，整数规划(IP)或者混合整数规划(MIP)往往要比单纯的线性规划(LP)应用更为广泛。生产计划、库存规划等，都有着变量或部分变量为整数的要求。那么对于这些特殊限制（变量为整数），该如何高效求解呢？
在某些特定的条件下，线性规划的最优解为整数解，如下：
m
i
n
c
T
x
s
.
t
.
{
A
x
≥
b
x
≥
0
\begin{align*} min \quad & \mathbf{c}^T \mathbf{x} \\ s.t. \quad & \begin{cases} \mathbf{Ax} \geq \mathbf{b} \\ \mathbf{x} \geq \mathbf{0} \end{cases} \\ \end{align*}
mins.t.?cTx{Ax≥bx≥0??
其中，
- c \mathbf{c} c 是包含目标函数系数的列向量；
- x \mathbf{x} x是决策变量的列向量；
- A \mathbf{A} A是包含约束条件系数的矩阵；
- b \mathbf{b} b是包含约束条件右侧常数的列向量。
在上面的问题中，如果
A
A
A为幺模矩阵，那么即使不限定x为整数，最终得出的最优解也一定为整数解。
链接: 幺模矩阵-整数解特性
但是在大部分的规划问题中，A都并不满足幺模矩阵，单纯形法可以解决线性规划，但是并不能保证所得出的最优解为整数解，因此就需要一种单独针对整数变量求解的方法。
链接: 单纯形法原理
分支定界法原理
以一个实例介绍分支定界法的流程，实例参考《运筹优化常用模型、算法及案例实战——Python+Java实现》
m
a
x
z
=
100
x
1
+
150
x
2
s
.
t
.
{
2
x
1
+
x
2
≤
10
3
x
1
+
6
x
2
≤
40
x
1
,
x
2
≥
0
x
∈
Z
n
(整数限制)
\begin{align*} max \quad &z = 100x_1 + 150x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 2x_1+x_2 \leq 10 \\ 3x_1+6x_2 \leq 40 \\ x_1,x_2 \geq 0\\ \mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n \quad \text{(整数限制)} \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=100x1?+150x2??
?
??2x1?+x2?≤103x1?+6x2?≤40x1?,x2?≥0x∈Zn(整数限制)??
可行域绘制如下:
首先忽略
x
x
x为整数的限制,直接使用单纯形法进行求解。
子问题1：
m
a
x
z
=
100
x
1
+
150
x
2
s
.
t
.
{
2
x
1
+
x
2
≤
10
3
x
1
+
6
x
2
≤
40
x
1
,
x
2
≥
0
\begin{align*} max \quad &z = 100x_1 + 150x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 2x_1+x_2 \leq 10 \\ 3x_1+6x_2 \leq 40 \\ x_1,x_2 \geq 0\\ \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=100x1?+150x2??
?
??2x1?+x2?≤103x1?+6x2?≤40x1?,x2?≥0??
最终解得到
Optimal Objective Value: 1055.5555555555554
x1 = 2.222
x2 = 5.556
将其向下取证，可以得到一个整数解
Optimal Objective Value: 950
x1 = 2
x2 = 5
那么根据求解结果，可以得到结论:最终的目标函数最优值将会介于[950,1055.56）之间。因为在max问题中，即使去掉了整数限制得到的最优值也只有1055.56，如果添加约束最优值只会更低，所以1055.56为目标函数值上界。而目前我们得到整数可行解的目标函数值为950，如果后续求到的解质量非常差，我们也可以把950当为问题的最优解，如果后续有更高质量的解，我们可以将更高质量的解作为最优解。根据当前解得情况，得到根节点。
由于
x
2
x_2
x2?的小数部分更大，为0.556。接下来以
x
2
x_2
x2?将原问题进行划分为
x
2
≤
5
,
x
2
≥
6
x_2 \leq 5,x_2\geq 6
x2?≤5,x2?≥6两部分
子问题2：
m
a
x
z
=
100
x
1
+
150
x
2
s
.
t
.
{
2
x
1
+
x
2
≤
10
3
x
1
+
6
x
2
≤
40
x
1
,
x
2
≥
0
x
2
≤
5
\begin{align*} max \quad &z = 100x_1 + 150x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 2x_1+x_2 \leq 10 \\ 3x_1+6x_2 \leq 40 \\ x_1,x_2 \geq 0\\ x_2 \leq 5 \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=100x1?+150x2??
?
??2x1?+x2?≤103x1?+6x2?≤40x1?,x2?≥0x2?≤5??
求解得到
Optimal Objective Value: 1000.0
x1 = 2.5
x2 = 5.0
子问题3：
m
a
x
z
=
100
x
1
+
150
x
2
s
.
t
.
{
2
x
1
+
x
2
≤
10
3
x
1
+
6
x
2
≤
40
x
1
,
x
2
≥
0
x
2
≥
6
\begin{align*} max \quad &z = 100x_1 + 150x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 2x_1+x_2 \leq 10 \\ 3x_1+6x_2 \leq 40 \\ x_1,x_2 \geq 0\\ x_2 \geq 6 \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=100x1?+150x2??
?
??2x1?+x2?≤103x1?+6x2?≤40x1?,x2?≥0x2?≥6??
求解得到
Optimal Objective Value: 1033.3333333333333
x1 = 1.333
x2 = 6.0
由于求解得到的都不是整数解，所以下界(LB)无需更新。而子问题2的当前解小于当前上界，故上界更新。子问题3的当前解小于当前上界，故上界更新。
更新求解树
可行域划分如下
由于子问题3的上界大于子问题2的上界。那么可以假设子问题3具有更大的潜力，因此优先从子问题3开始搜索。
由于子问题3中
x
1
x_1
x1?的小数部分更大，为0.333。接下来以
x
1
x_1
x1?将原问题进行划分为
x
1
≤
1
,
x
2
≥
2
x_1 \leq 1,x_2\geq 2
x1?≤1,x2?≥2两部分
子问题4：
m
a
x
z
=
100
x
1
+
150
x
2
s
.
t
.
{
2
x
1
+
x
2
≤
10
3
x
1
+
6
x
2
≤
40
x
1
,
x
2
≥
0
x
2
≥
6
x
1
≤
1
\begin{align*} max \quad &z = 100x_1 + 150x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 2x_1+x_2 \leq 10 \\ 3x_1+6x_2 \leq 40 \\ x_1,x_2 \geq 0\\ x_2 \geq 6 \\ x_1 \leq 1 \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=100x1?+150x2??
?
??2x1?+x2?≤103x1?+6x2?≤40x1?,x2?≥0x2?≥6x1?≤1??
求解得到
Optimal Objective Value: 1025.0
x1 = 1.0
x2 = 6.167
子问题5：
m
a
x
z
=
100
x
1
+
150
x
2
s
.
t
.
{
2
x
1
+
x
2
≤
10
3
x
1
+
6
x
2
≤
40
x
1
,
x
2
≥
0
x
2
≥
6
x
1
≥
2
\begin{align*} max \quad &z = 100x_1 + 150x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 2x_1+x_2 \leq 10 \\ 3x_1+6x_2 \leq 40 \\ x_1,x_2 \geq 0\\ x_2 \geq 6 \\ x_1 \geq 2 \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=100x1?+150x2??
?
??2x1?+x2?≤103x1?+6x2?≤40x1?,x2?≥0x2?≥6x1?≥2??
求解得到
Infeasible or unbounded model
子问题5不可行。
由于求解得到的都不是整数解，所以下界(LB)无需更新。而子问题4的当前解小于当前上界，故上界更新。
更新求解树
只能从子问题4开始搜索了，继续划分为
x
2
≤
6
,
x
2
≥
7
x_2 \leq 6,x_2 \geq 7
x2?≤6,x2?≥7
子问题6：
m
a
x
z
=
100
x
1
+
150
x
2
s
.
t
.
{
2
x
1
+
x
2
≤
10
3
x
1
+
6
x
2
≤
40
x
1
,
x
2
≥
0
x
2
≥
6
x
1
≤
1
x
2
≤
6
\begin{align*} max \quad &z = 100x_1 + 150x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 2x_1+x_2 \leq 10 \\ 3x_1+6x_2 \leq 40 \\ x_1,x_2 \geq 0\\ x_2 \geq 6 \\ x_1 \leq 1\\ x_2 \leq 6 \\ \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=100x1?+150x2??
?
??2x1?+x2?≤103x1?+6x2?≤40x1?,x2?≥0x2?≥6x1?≤1x2?≤6??
求解得到
Optimal Objective Value: 1000.0
x1 = 1.0
x2 = 6.0
子问题7：
m
a
x
z
=
100
x
1
+
150
x
2
s
.
t
.
{
2
x
1
+
x
2
≤
10
3
x
1
+
6
x
2
≤
40
x
1
,
x
2
≥
0
x
2
≥
6
x
1
≤
1
x
2
≥
7
\begin{align*} max \quad &z = 100x_1 + 150x_2 \\ s.t. \quad & \begin{cases} 2x_1+x_2 \leq 10 \\ 3x_1+6x_2 \leq 40 \\ x_1,x_2 \geq 0\\ x_2 \geq 6 \\ x_1 \leq 1\\ x_2 \geq 7 \\ \end{cases} \\ \end{align*}
maxs.t.?z=100x1?+150x2??
?
??2x1?+x2?≤103x1?+6x2?≤40x1?,x2?≥0x2?≥6x1?≤1x2?≥7??
求解得到
Infeasible or unbounded model
模型无解。
由于子问题6得出了整数解，且整数解大于下界，因此上界下界同时更新。
更新之后的求解树如下：
此时子问题6的上界等于下界，算法收敛，退出。
最优解如下:
Optimal Objective Value: 1000.0
x1 = 1.0
x2 = 6.0
那么，还有一个问题。就这样结束了吗？子问题2还没有进行搜索，就可以确定子问题6的解为原问题最优解了吗？
答： 子问题2无需再搜索了，子问题2当前UB为1000，继续往下搜索，增加约束，UB只会越来越低，因此子问题2的孩子节点不可能再有解>1000的情况，因此可以确定子问题6得出的解即为最优解。
分支定界法思想
分支定界法的核心思想有以下几部分
- 对可行域的划分，根据当前非整数解划分解空间
- 剪枝策略
疑惑or改进？
在子问题中，如果将求解得到的非整数解向下取整，若可行，同样可以更新下界。这样上界和下界同时更新，模型可以更快收敛。为什么没有这样做呢？
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