Leetcode 剑指 Offer II 057. 存在重复元素 III

题目难度: 中等

原题链接

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题目描述

给你一个整数数组 nums 和两个整数 k 和 t 。请你判断是否存在 两个不同下标 i 和 j，使得 abs(nums[i] - nums[j]) <= t ，同时又满足 abs(i - j) <= k 。

如果存在则返回 true，不存在返回 false。

示例 1：

• 输入：nums = [1,2,3,1], k = 3, t = 0
• 输出：true

示例 2：

• 输入：nums = [1,0,1,1], k = 1, t = 2
• 输出：true

示例 3：

• 输入：nums = [1,5,9,1,5,9], k = 2, t = 3
• 输出：false

提示：

• 0 <= nums.length <= 2 * 10^4
• -2^31 <= nums[i] <= 2^31 - 1
• 0 <= k <= 10^4
• 0 <= t <= 2^31 - 1

题目思考

1. 如何优化时间复杂度?

解决方案

思路

• 分析题目, 一个很容易想到的思路就是暴力两重循环, 外层遍历每个数字作为起点, 内层从该起点向后遍历 k 个数字, 判断是否存在差值不超过 t 的数字对
• 不过这种做法的时间复杂度达到了 O(NK), 很容易超时, 如何优化呢?
• 上面的暴力法是通过两重循环的方式保证下标差有效, 然后再判断差值, 我们可以换个思路, 先保证差值有效, 然后再判断下标差
• 由于题目要求差值不超过 t, 如果我们将数字映射到一个个桶中, 然后每个桶的大小是 t+1, 数字 x 对应的桶 id 就是 x/(t+1), 这样就只需要遍历相邻的三个桶即可
  • 举个例子: 对于某个数字 x, 假设其对应的桶 id 是 j, 那么只需要判断相邻的三个桶(j-1,j,j+1)即可, 因为其他桶的数字与 x 的差值一定超过 t (中间至少间隔了一个桶, 即 t+1)
• 然后每个桶存储最新映射到该桶的数字的下标, 这样就很容易判断下标差是否超过 k 了
• 最后我们还得再次确认对应数字对的差值是否真的不超过 t, 因为相邻桶的两个数字差值可能会超过 t, 例如数字对(x, x+t+1)
• 另外注意, 我们在遍历某个下标 i 时, 总是可以将对应桶的值更新为它, 因为即使之前存在另一个下标 pi 也映射到这个桶, 那么当遍历后面的某个下标 j 时 (即pi<i<j), 只可能有两种情况:
  1. pi 和 j 的下标差不超过 k: 此时 pi 和 i 的下标差更不会超过 k, 所以 pi 和 i 本身就构成了有效的数字对 (在同一个桶内, 差值总是不超过 t), 遍历 i 时就可以直接返回 true
  2. pi 和 j 的下标差超过 k: pi 和 j 不能构成有效的数字对
• 综合两种情况, pi 不会再被用到, 所以总是可以将桶的值更新为最新的下标 i
• 下面代码中有详细的注释, 方便大家理解

复杂度

• 时间复杂度 O(N): 只需要遍历每个数字一遍
• 空间复杂度 O(N): 额外桶映射字典, 最差情况每个数字对应独立的一个桶

代码

class Solution:
    def containsNearbyAlmostDuplicate(self, nums: List[int], k: int, t: int) -> bool:
        # 将数字离散化放到对应的桶中, 每个桶的大小是t+1, 数字x对应的桶id就是x/(t+1)
        # 这样对于某个数字x, 假设其对应的桶id是j, 那么只需要判断(j-1,j,j+1)三个桶即可, 因为其他桶的数字与x的差值一定超过t
        buckets = {}
        for i, x in enumerate(nums):
            # 求出对应桶id
            id = x // (t + 1)
            for nid in (id - 1, id, id + 1):
                # 遍历相邻三个桶
                if nid in buckets and i - buckets[nid] <= k and abs(x - nums[buckets[nid]]) <= t:
                    # 如果存在下标差不超过k, 且差值不超过t的数字对, 则有效
                    # 注意这里不能省略差值判断, 因为相邻桶的两个数字差值可能会超过t, 例如数字对(x, x+t+1)
                    return True
            # 在遍历某个下标 i 时, 总是可以将对应桶的值更新为它, 因为即使之前存在另一个下标 pi 也映射到这个桶, 那么当遍历后面的某个下标 j 时 (即`pi<i<j`), 只可能有两种情况:
            # 1. pi和j的下标差不超过k: 此时pi和i的下标差更不会超过k, 所以pi和i本身就构成了有效的数字对 (在同一个桶内, 差值总是不超过t), 遍历i时就可以直接返回true
            # 2. pi和j的下标差超过k: pi和j不能构成有效的数字对
            # 综合两种情况, pi不会再被用到, 所以总是可以将桶的值更新为最新的下标i
            buckets[id] = i
        return False

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