【数模百科】支持向量机中的线性SVM讲解以及实现办法

本篇文章来源于?线性SVM - 数模百科，里面有完整的关于支持向量机SVM模型的讲解，还有数据处理、应用、优缺点等重要知识点。

首先，强烈建议大家把我之前的文章读一遍。

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读完之后，我们开始今天的内容。

你在一个屋子里举行了一个聚会，里面既有男孩也有女孩。现在你想把他们按性别分开，男孩站到屋子的一边，女孩站到另一边。你肯定会想，要是能在中间划条线把他们分开多好啊！这就像是支持向量机（SVM）的工作方式，它就像一个神奇的画家，能在人群中间画出一条界限。

但是，你不想让大家挨得太紧，每个人都需要有点私人空间对不对？所以，你不单单画一条细细的线，而是想画一条足够宽的间隔，就像是两条平行的线之间的空白区域。这样，男孩和女孩都能在这条宽宽的间隔两边自在地活动，而且不会互相干扰。

现在，如果有新的朋友加入聚会，他们可能会疑惑自己该站在哪一边。这时候，我们的神奇画家，也就是支持向量机，就会利用它之前画的宽间隔来帮助判断。如果新朋友站在间隔的这一侧，那他很可能是男孩；如果站在那一侧，她很可能是女孩。

所以，支持向量机就好比是个非常聪明的画家，它不仅帮我们把人群按照性别分组，而且当有新人加入时，也能利用已经划定的宽间隔来判断新来的是男孩还是女孩。这就是支持向量机的魅力所在，它能帮我们清晰地将事物分类，并为每个类别留下足够的空间，以便未来的分类也同样准确。

定义与详解

定义

线性支持向量机（Linear Support Vector Machine）是一种用于分类和回归分析的监督学习模型。在二分类中，线性支持向量机的主要目标是找出一个线性超平面，将不同类别的数据分隔开，而且要使得这个超平面到最近的数据点之间的距离（也被称为间隔）尽可能大。

最大化间隔

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）的基本想法是寻找一个超平面（决策边界）来分类数据，而这个超平面的选择不仅需要正确地分类数据，还需要最大化其与最近样本点的距离，这就是所谓的最大化间隔（Margin）。

硬间隔

假设我们的数据集是线性可分的，也就是说，存在至少一个超平面可以完全正确地将两类数据分开。在这种情况下，我们可以找到不只一个，而是很多这样的超平面。那么哪一个超平面是最好的呢？直观上，我们会认为最好的超平面是那个与最近的数据点（不管是正类还是负类）保持最大间隔的那个。这个间隔就好比是一条没有数据点的“安全带”。

为了找到这个最大间隔超平面，我们首先定义两个平行的辅助超平面，它们分别穿过最靠近决策边界的正类和负类样本点，这些点叫做支持向量。这两个辅助超平面可以用以下的数学公式表示：

这里的 是一个向量，它垂直于我们的超平面，而 b 是一个标量，它影响超平面的偏置。通过简单的几何推导，我们可以得出这两个超平面之间的距离是，其中 表示向量 的长度（或者说是范数）。为了最大化超平面之间的距离，我们需要最小化 。

然而，我们还得确保所有的样本点都被正确分类，也就是说，正类样本点应该在 这个超平面的一侧，而负类样本点在另一侧。用数学语言来表达，如果样本点 属于正类（），我们需要：

如果样本点属于负类（），我们需要：

这两种情况可以合并成一个不等式：

现在，我们的目标就变成了在保证上述不等式成立的情况下，最小化 。这个优化问题的解决方案将给我们最大间隔超平面的具体参数 和 b。

最终，我们的分类器函数可以用以下公式定义：

其中 是符号函数，它根据输入的符号返回 1 或者 -1。简而言之，根据超平面的方程，我们可以预测任何新的样本点 的类别。

值得一提的是，最大间隔超平面完全由支持向量决定，这些是最靠近决策边界的样本点。我们的超平面会尽可能地远离这些点，以确保有最大的间隔，这就是为什么它被称为“硬间隔”。在实际应用中，如果数据不是完全线性可分的，我们可能需要使用所谓的“软间隔”方法来允许一些分类错误，但这已经超出了硬间隔的范畴。

软间隔

硬间隔SVM适用于那些数据完全线性可分的情况，它严格要求所有的样本点都要正确分类，没有一个是被分类错误的。但现实世界中的数据往往不是那么完美，可能会有噪声，或者数据本身就不是完全线性可分的。这时候，硬间隔SVM就力不从心了，因为它不能处理分类错误的情况。为了解决这个问题，我们引入了软间隔SVM。

软间隔SVM的核心思想是容忍一些样本点被分类错误，以便在大多数样本点上得到一个较好的分类效果。为了实现这个目标，我们引入了一种称为合页损失函数的损失函数，用来量化分类错误的程度。

合页损失函数的数学表达式如下：

这里， 是我们要找的决策边界的权重向量， b 是偏置项， 是第 i 个样本点的真实标签（+1 或 -1）， 是第 i 个样本点的特征向量。

如果一个样本点 正确分类了，也就是说，它位于决策边界的正确一侧，那么它的合页损失函数值将为零。如果它被错误分类，那么损失函数值将随着它距离边界的距离增加而增加。

我们的目标是找到一个权重向量 和偏置项 b ，使得下面的目标函数最小化：

其中，第一项是平均合页损失，也就是平均错误程度的量化；第二项是权重向量的平方范数，用于控制模型的复杂度，避免过拟合。参数 是一个正则化参数，它用于平衡间隔大小和分类错误之间的权衡。

通过调整 ，我们可以在保证大部分样本正确分类的同时，允许一些样本分类错误。当 足够小，如果数据是线性可分的，软间隔SVM和硬间隔SVM的表现是相似的。但如果数据不是线性可分的，软间隔SVM仍然能够通过容忍一些错误来找到一个有效的分类规则。这就是软间隔SVM的主要优势所在。

代码

from sklearn import svm
from sklearn.datasets import make_blobs
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 创建 40个分隔的数据点
X, y = make_blobs(n_samples=40, centers=2, random_state=20)

# 拟合模型，不要规整化参数C设置为较高的值
clf = svm.SVC(kernel='linear', C=1000)
clf.fit(X, y)

# 绘制图像
# 详见数模百科

plt.show()

输出结果：

线性SVM的优缺点

优点：

• 可以解决小样本下机器学习问题，对于二分类问题适合应用。

• 可以解决高维问题，处理非线性特征的相互作用，无需依赖整个数据

• 无局部极小值问题（相对于神经网络等算法）

• 可以提高泛化能力

缺点：

• 对大规模训练样本难以实施。

• 对缺失数据敏感，噪声太多的数据会影响性能。

• 多分类问题需要更加复杂的构造及训练方式。

本篇文章来自于 数模百科 ——?线性SVM - 数模百科

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