【代数学作业4-汇总版】范数与迹
【代数学作业4】范数与迹
- 写在最前面
- 1. 极小多项式
- 1. 对 α \alpha α 的极小多项式
- 2. 对 α + 1 \alpha + 1 α+1 的极小多项式
- 3. 对 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1 α2+α+1 的极小多项式
- 2. 范数 N N N
- 3. 数域 K K K 的范数 N K N_K NK?
- 4. 迹 T T T
- 5. 数域 K K K 的迹 T K T_K TK?
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汇总版,省略了中间试错的过程与步骤
1. 极小多项式
1. 对 α \alpha α 的极小多项式
- 表达式变换:设 f ( x ) = x ? α = x ? 2 3 ? ? 2 f(x) = x - \alpha = x - \sqrt[3]{2} - \sqrt{-2} f(x)=x?α=x?32???2?。
- 消去根号:
-
首先处理 2 3 \sqrt[3]{2} 32?:
-
然后处理 ? 2 \sqrt{-2} ?2?,通过平方两边来消除根号:
-
因此, α \alpha α 的极小多项式为 f ( x ) = x 6 + 6 x 4 ? 4 x 3 + 12 x 2 + 24 x + 12 f(x) = x^6 + 6x^4 - 4x^3 + 12x^2 + 24x + 12 f(x)=x6+6x4?4x3+12x2+24x+12。
-
和手动计算结果一致
2. 对 α + 1 \alpha + 1 α+1 的极小多项式
α + 1 \alpha + 1 α+1 的极小多项式,该多项式是:
f ( x ) = x 6 ? 6 x 5 + 21 x 4 ? 48 x 3 + 75 x 2 ? 42 x + 11 f(x) = x^6 - 6x^5 + 21x^4 - 48x^3 + 75x^2 - 42x + 11 f(x)=x6?6x5+21x4?48x3+75x2?42x+11
3. 对 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1 α2+α+1 的极小多项式
该多项式是: f ( x ) = x 6 + 6 x 5 + 9 x 4 + 176 x 3 + 615 x 2 ? 1062 x + 387 f(x) = x^6 + 6x^5 + 9x^4 + 176x^3 + 615x^2 - 1062x + 387 f(x)=x6+6x5+9x4+176x3+615x2?1062x+387
2. 范数 N N N
结果如下:
- N ( 2 ) N(2) N(2) 的范数为 2 2 2。
- N ( 2 3 ) N(\sqrt[3]{2}) N(32?) 的范数为 2 2 2。
- N ( ? 2 ) N(\sqrt{-2}) N(?2?) 的范数为 2 2 2。
- N ( α ) N(\alpha) N(α) (其中 α = 2 3 + ? 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2} α=32?+?2?)的范数为 12 12 12。
- N ( α + 5 ) N(\alpha + 5) N(α+5) 的范数为 20067 20067 20067。
- N ( 2 3 ? 2 + 1 ) N(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1) N(32??2?+1) 的范数为 33 33 33。
3. 数域 K K K 的范数 N K N_K NK?
-
N K ( 2 ) N_K(2) NK?(2)
2 2 2 是一个有理数,其最小多项式是 x ? 2 x - 2 x?2。因此, N K ( 2 ) N_K(2) NK?(2) 是这个多项式的根 2 2 2 的乘积,即 2 6 = 64 2^6 = 64 26=64(因为 α \alpha α 的最小多项式是六次的)。 -
N K ( 2 3 ) N_K(\sqrt[3]{2}) NK?(32?)
2 3 \sqrt[3]{2} 32? 的共轭在 K K K 中有三个(因为它的最小多项式是三次的),包括 2 3 \sqrt[3]{2} 32?, 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega 32?ω, 和 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2}\omega^2 32?ω2(其中 ω \omega ω 是三次单位根)。在 K K K 中,我们需要考虑六个共轭,所以 N K ( 2 3 ) = ( 2 3 ) 3 × ( 2 3 ) 3 = 2 2 = 4 N_K(\sqrt[3]{2}) = (\sqrt[3]{2})^3 \times (\sqrt[3]{2})^3 = 2^2 = 4 NK?(32?)=(32?)3×(32?)3=22=4。 -
N K ( ? 2 ) N_K(\sqrt{-2}) NK?(?2?)
? 2 \sqrt{-2} ?2? 的共轭在 K K K 中有两个(因为它的最小多项式是二次的),包括 ? 2 \sqrt{-2} ?2? 和 ? ? 2 -\sqrt{-2} ??2?。在 K K K 中,我们需要考虑六个共轭,所以 N K ( ? 2 ) = ( ? 2 ) 2 × ( ? 2 ) 2 × ( ? 2 ) 2 = ( ? 2 ) 3 = ? 8 N_K(\sqrt{-2}) = (\sqrt{-2})^2 \times (\sqrt{-2})^2 \times (\sqrt{-2})^2 = (-2)^3 = -8 NK?(?2?)=(?2?)2×(?2?)2×(?2?)2=(?2)3=?8。 -
N K ( 2 ) = 64 N_K(2) = 64 NK?(2)=64
-
N K ( 2 3 ) = 4 N_K(\sqrt[3]{2}) = 4 NK?(32?)=4
-
N K ( ? 2 ) = ? 8 N_K(\sqrt{-2}) = -8 NK?(?2?)=?8
-
N K ( α + 5 ) N_K(\alpha + 5) NK?(α+5)的结果是一个复数表达式: ( 2 3 + 5 + 2 i ) 6 (\sqrt[3]{2} + 5 + \sqrt{2}i)^6 (32?+5+2?i)6
-
N K ( 2 3 ? 2 + 1 ) N_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1) NK?(32??2?+1)的结果也是一个复数表达式: ( 1 + 1.12246204830937 2 i ) 6 (1 + 1.12246204830937\sqrt{2}i)^6 (1+1.122462048309372?i)6
4. 迹 T T T
首先,找出
α
\alpha
α 的共轭元素。这涉及解决
f
(
x
)
=
0
f(x) = 0
f(x)=0 的方程,但这个方程过于复杂,无法用简单的代数方法解决。
然而,由于
α
\alpha
α 是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的一个根,我们知道至少有六个共轭元素(包括
α
\alpha
α 本身),它们可能是实数或复数。
迹
T
(
a
)
T(a)
T(a) 是所有共轭元素的和。对于简单的元素如
2
2
2 或
2
3
\sqrt[3]{2}
32?,这些值在共轭元素下的表达式是明确的。
对于
α
\alpha
α 和更复杂的表达式,这些值将取决于
α
\alpha
α 的具体共轭元素。
-
T ( 2 ) T(2) T(2)
由于 2 2 2 是一个常数,它在每个共轭元素下的值都是 2 2 2。
因此, T ( 2 ) T(2) T(2) 是 2 2 2 与共轭元素的数量(这里是 6)的乘积:
T ( 2 ) = 2 × 6 = 12 T(2) = 2 \times 6 = 12 T(2)=2×6=12 -
T ( 2 3 ) T(\sqrt[3]{2}) T(32?)
同样, 2 3 \sqrt[3]{2} 32? 是一个常数,所以 T ( 2 3 ) T(\sqrt[3]{2}) T(32?) 是 2 3 \sqrt[3]{2} 32? 与共轭元素的数量的乘积:
T ( 2 3 ) = 2 3 × 6 T(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2} \times 6 T(32?)=32?×6 -
T ( ? 2 ) T(\sqrt{-2}) T(?2?)
由于 ? 2 \sqrt{-2} ?2? 是一个常数,其迹是:
T ( ? 2 ) = ? 2 × 6 T(\sqrt{-2}) = \sqrt{-2} \times 6 T(?2?)=?2?×6
- T K ( 2 ) = 12 T_K(2) = 12 TK?(2)=12
- T K ( 2 3 ) = 6 2 3 T_K(\sqrt[3]{2}) = 6\sqrt[3]{2} TK?(32?)=632?
- T K ( ? 2 ) T_K(\sqrt{-2}) TK?(?2?)的结果是一个纯虚数: 6 2 i 6\sqrt{2}i 62?i
- T K ( α ) T_K(\alpha) TK?(α)的结果是一个复数: 6 2 3 + 6 2 i 6\sqrt[3]{2} + 6\sqrt{2}i 632?+62?i
- T K ( α + 5 ) T_K(\alpha + 5) TK?(α+5) 的结果也是一个复数: 6 2 3 + 30 + 6 2 i 6\sqrt[3]{2} + 30 + 6\sqrt{2}i 632?+30+62?i
- T K ( 2 3 ? 2 + 1 ) T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1) TK?(32??2?+1) 的结果也是一个复数: 6 + 6 ? 2 5 / 6 i 6 + 6 \cdot 2^{5/6}i 6+6?25/6i
5. 数域 K K K 的迹 T K T_K TK?
对于第5题,既然
α
=
2
3
+
?
2
\alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2}
α=32?+?2?,那么数域
K
=
Q
(
α
)
K = \mathbb{Q}(\alpha)
K=Q(α) 实际上是
α
\alpha
α 的极小多项式的分裂域。这意味着在这个特定情况下,计算元素的迹和计算它在数域
K
K
K 中的迹是相同的过程。
因此,第5题和第4题的答案相同。
- T K ( 2 ) = 12 T_K(2) = 12 TK?(2)=12
- T K ( 2 3 ) = 6 2 3 T_K(\sqrt[3]{2}) = 6\sqrt[3]{2} TK?(32?)=632?
- T K ( ? 2 ) T_K(\sqrt{-2}) TK?(?2?)的结果是一个纯虚数: 6 2 i 6\sqrt{2}i 62?i
- T K ( α ) T_K(\alpha) TK?(α)的结果是一个复数: 6 2 3 + 6 2 i 6\sqrt[3]{2} + 6\sqrt{2}i 632?+62?i
- T K ( α + 5 ) T_K(\alpha + 5) TK?(α+5) 的结果也是一个复数: 6 2 3 + 30 + 6 2 i 6\sqrt[3]{2} + 30 + 6\sqrt{2}i 632?+30+62?i
- T K ( 2 3 ? 2 + 1 ) T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1) TK?(32??2?+1) 的结果也是一个复数: 6 + 6 ? 2 5 / 6 i 6 + 6 \cdot 2^{5/6}i 6+6?25/6i
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