转动惯量与惯性张量 的推导

2023-12-16 13:39:43

从牛顿第二定律推出绕固定轴旋转的转动惯量，再用类似方法从牛顿第二定律推出绕固定点转动的惯性张量

基础定义

角速度 ω \omega ω是一个三维向量，方向表示旋转轴，用右手定则代表旋转方向，长度代表旋转弧度的速度

角速度方向右手定则

线速度： v = ω × r v=\omega \times r v=ω×r ，其中 r r r代表旋转轴或旋转中心点到质点的垂直连线 r ⊥ ω r\perp \omega r⊥ω

角加速度为 α = d ω d t \alpha = \frac {d\omega} {dt} α=dtdω? ，加速度为 a = d v d t a = \frac {dv} {dt} a=dtdv?，可推出 a = α × r a=\alpha \times r a=α×r

牛顿第二定律 F = m a F=ma F=ma， m m m为质点质量

力矩： τ = r × F \tau=r\times F τ=r×F，可以相加

绕固定轴 转动惯量推导

固定轴旋转

在旋转中，平动的力相当于旋转的力矩，平动的线加速度相当于角加速度，质量则代表平动的惯性，那么转动的惯性即为转动惯量
需要找到一个量乘以加速度为该质点所受总力矩

在固定转轴的旋转中，只有 F ⊥ r F\perp r F⊥r的分力有作用，故只考虑这种力

F = m a = m α × r τ = r × F = m ? ( r × α × r ) 因为 r ⊥ α ? , 则 r × α × r = ∣ ∣ r ∣ ∣ 2 α τ = m ∣ ∣ r ∣ ∣ 2 α \begin{align} F&=ma=m\alpha \times r \\ \tau&=r\times F=m\cdot(r\times\alpha\times r) \\ 因为&r\perp \alpha\ ,则r\times \alpha \times r=||r||^2\alpha \\ \tau &=m||r||^2\alpha \end{align} Fτ因为τ?=ma=mα×r=r×F=m?(r×α×r)r⊥α?,则r×α×r=∣∣r∣∣2α=m∣∣r∣∣2α??

将物体的每一个质点积分起来，则可定义转动惯量为 J = ∫ ∣ ∣ r ∣ ∣ 2 d m J=\int||r||^2dm J=∫∣∣r∣∣2dm， τ = J α \tau=J\alpha τ=Jα，与牛顿第二定律 F = m a F=ma F=ma对应
物理模拟时可用力矩算出角速度变化量

绕固定点 惯性张量推导

固定点旋转

对于任意刚体，施加在刚体上的力 F F F可以分解为重心到力作用点的方向 F 1 F_1 F1?和垂直于该方向的力 F 2 F_2 F2?，可以认为在这一瞬间，只有 F 1 F_1 F1?会移动该物体，没有旋转作用， F 2 F_2 F2?只对物体具有旋转作用

现在考虑旋转，故只考虑 F 2 F_2 F2?，假设 r r r为重心到力作用点连线， m m m为该位置质点质量， F ⊥ r F\perp r F⊥r
刚体最终的旋转由所有力矩加和决定，故对于单一的一个质点所对应的 r r r，不满足 r ⊥ α r \perp \alpha r⊥α

需要找到一个量乘以加速度为该刚体所受总力矩

F = m a = m α × r τ = r × F = m ? ( r × α × r ) \begin{align} F&=ma=m\alpha \times r \\ \tau&=r\times F=m\cdot(r\times\alpha\times r) \\ \end{align} Fτ?=ma=mα×r=r×F=m?(r×α×r)??

此时 r r r不垂直于 α \alpha α，则 ( r × α × r ) (r\times\alpha\times r) (r×α×r)需要中展开计算

r × α × r = [ r 2 α 3 ? r 3 α 2 r 3 α 1 ? r 1 α 3 r 1 α 2 ? r 2 α 1 ] × [ r 1 r 2 r 3 ] = [ r 3 2 α 1 ? r 1 r 3 α 3 ? r 1 r 2 α 2 + r 2 2 α 1 r 3 2 α 2 ? r 1 r 2 α 1 ? r 2 r 3 α 3 + r 1 2 α 2 r 2 2 α 3 ? r 2 r 3 α 2 ? r 1 r 3 α 1 + r 1 2 α 3 ] = [ r 2 2 + r 3 2 ? r 1 r 2 ? r 1 r 3 ? r 1 r 2 r 1 2 + r 3 2 ? r 2 r 3 ? r 1 r 3 ? r 2 r 3 r 1 2 + r 2 2 ] ? [ α 1 α 2 α 3 ] = I α r\times\alpha\times r= \left[\begin{matrix} r_2\alpha_3-r_3\alpha_2 \\ r_3\alpha_1-r_1\alpha_3 \\ r_1\alpha_2-r_2\alpha_1 \end{matrix}\right] \times \left[\begin{matrix} r_1 \\r_2 \\ r_3 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} r_3^2\alpha_1-r_1r_3\alpha_3-r_1r_2\alpha_2+r_2^2\alpha_1 \\ r_3^2\alpha_2-r_1r_2\alpha_1-r_2r_3\alpha_3+r_1^2\alpha_2 \\ r_2^2\alpha_3-r_2r_3\alpha_2-r_1r_3\alpha_1+r_1^2\alpha_3 \end{matrix}\right] \\ =\left[\begin{matrix} r_2^2+r_3^2 & -r_1r_2 & -r_1r_3 \\ -r_1r_2 & r_1^2+r_3^2 & -r_2r_3 \\ -r_1r_3 & -r_2r_3 & r_1^2+r_2^2 \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{matrix}\right] = I\alpha r×α×r= ?r2?α3??r3?α2?r3?α1??r1?α3?r1?α2??r2?α1?? ?× ?r1?r2?r3?? ?= ?r32?α1??r1?r3?α3??r1?r2?α2?+r22?α1?r32?α2??r1?r2?α1??r2?r3?α3?+r12?α2?r22?α3??r2?r3?α2??r1?r3?α1?+r12?α3?? ?= ?r22?+r32??r1?r2??r1?r3???r1?r2?r12?+r32??r2?r3???r1?r3??r2?r3?r12?+r22?? ?? ?α1?α2?α3?? ?=Iα
将每一个质点积分起来，可以得到惯性张量
令 I = ∫ [ r 2 2 + r 3 2 ? r 1 r 2 ? r 1 r 3 ? r 1 r 2 r 1 2 + r 3 2 ? r 2 r 3 ? r 1 r 3 ? r 2 r 3 r 1 2 + r 2 2 ] d m ?为惯性张量 令I=\int\left[\begin{matrix} r_2^2+r_3^2 & -r_1r_2 & -r_1r_3 \\ -r_1r_2 & r_1^2+r_3^2 & -r_2r_3 \\ -r_1r_3 & -r_2r_3 & r_1^2+r_2^2 \\ \end{matrix}\right] dm \ 为惯性张量 令I=∫ ?r22?+r32??r1?r2??r1?r3???r1?r2?r12?+r32??r2?r3???r1?r3??r2?r3?r12?+r22?? ?dm?为惯性张量
则 τ = I α \tau = I\alpha τ=Iα，与牛顿第二定律 F = m a F=ma F=ma对应

令 r = ( x ? y ? z ) T r=(x\ y\ z)^T r=(x?y?z)T，就可以得到惯性张量的经典定义
令 I = [ I x x I x y I x z I y x I y y I y z I z x I z y I z z ] I x x = ∫ ( y 2 + z 2 ) d m I x y = I y x = ? ∫ x y ? d m 其余同理 令I=\left[\begin{matrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \\ \end{matrix}\right] \\ I_{xx}=\int (y^2+z^2) dm \\ I_{xy}=I_{yx}=-\int xy\ dm \\ 其余同理 令I= ?Ixx?Iyx?Izx??Ixy?Iyy?Izy??Ixz?Iyz?Izz?? ?Ixx?=∫(y2+z2)dmIxy?=Iyx?=?∫xy?dm其余同理
并且可以得到 I = ∫ ( ( r T ? r ) 1 ? r ? r T ) ? d m I=\int ((r^T\cdot r)1-r\cdot r^T)\ dm I=∫((rT?r)1?r?rT)?dm，其中 1 1 1为单位矩阵

注意到 I I I会随着刚体的旋转而变化，不太好用，但是存在一个转换公式

假设物体最开始惯性张量为 I b o d y I_{body} Ibody?，在应用了旋转矩阵 R R R之后

惯性张量将变为
I = ∫ ( ( r T R T ? R r ) 1 ? R r ? r T R T ) ? d m = ∫ ( ( r T r ) 1 ? R r ? r T R T ) ? d m = ∫ ( ( r T r ) R ? 1 ? R T ? R r ? r T R T ) ? d m = R ( ∫ ( ( r T r ) 1 ? r ? r T ) ? d m ) R T = R ? I b o d y ? R T \begin{align} I&=\int((r^TR^T\cdot Rr)1-Rr\cdot r^TR^T) \ dm \\ &=\int((r^Tr)1-Rr\cdot r^TR^T) \ dm \\ &=\int((r^Tr)R\cdot 1\cdot R^T-Rr\cdot r^TR^T) \ dm \\ &=R\left(\int((r^Tr)1-r\cdot r^T) \ dm\right )R^T \\ &=R\ I_{body}\ R^T \end{align} I?=∫((rTRT?Rr)1?Rr?rTRT)?dm=∫((rTr)1?Rr?rTRT)?dm=∫((rTr)R?1?RT?Rr?rTRT)?dm=R(∫((rTr)1?r?rT)?dm)RT=R?Ibody??RT??
如此就方便转换了，而惯性张量可以在刚体初始时计算出来

物理模拟时，可以统计作用在一个刚体上的力矩加和，再求惯性张量的逆，可以算出角速度变化量

文章来源:https://blog.csdn.net/can919/article/details/135031200
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