简单二分图判定与最大匹配算法

前言

二分图，又称二部图，英文名叫 Bipartite graph。
通俗一点就是一个无向图如果能划成两个非空点集，且两部分内部没有边，则这是一张二分图。

如果从颜色的角度来说，就是把节点染成黑色/白色，并且使得没有相邻的节点颜色相同。

一张二分图：

二分图判定

奇环：长度为奇数的环

一张无向图$G$为二分图的充要条件是：图中不存在奇环
证明：
必要性显然，因为奇环显然不是二分图。
充分性：只需证明没有奇环的图就是二分图
考虑无向图$G$没有奇环且连通，若不连通可以对每个连通块单独考虑。
从节点$x$开始染色，把$x$染成白色，找到节点$x$到图中所有点的所有路径，对于一条从$x$到$y$的路径$(u_0=x,u_1,u_2,...,u_k=y)$，我们把$u_{i\in 奇数}$染黑，把$u_{i\in 偶数}$染白。

• 如果这个操作中一个点只被染成了一种颜色，那我们就构造出了一张二分图的划分
• 如果存在一个点被染成了两种颜色，那么说明它在某两条路径到$x$的路径中分别位于奇数位置和偶数位置，这时候我们把这两条路径拼起来，就得到了一个奇环，矛盾。

QED.

但是二分图判定的代码并不是找奇环的，而是dfs/bfs染色，因为图中环的个数是指数级的，找奇环是很亏的。

dfs/bfs判奇环复杂度为$O(n+m)$

二分图最大匹配：匈牙利算法

由于作者实力不济，本文没有匈牙利算法的证明。

匈牙利算法大概的过程是：

• 对每个左部点$i$执行一遍dfs(i)，保证每一次期间，执行一个右部点只会被访问一次
• dfs(u)的过程是：
  • 遍历左部点$u$的未被访问的右部点$v$
  • 标记$v$
  • 检查$v$是否有match，如果没有抢，如果有，就dfs(match[v])看看能不能抢

时间复杂度$O(l?m+r)$，其中$l$是左部点数量，$m$是边数，$r$是右部点数量。

实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=500;
vector<int> a[N+5];
int match[N+5];
bool vis[N+5];
bool dfs(int u) {
	for(auto&v:a[u])
		if(!vis[v]) {
			vis[v]=1;
			if(!match[v]||dfs(match[v]))
				return (match[v]=u);
		}
	return 0;
}
int main() {
	int l,r,m;
	cin>>l>>r>>m;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
		cin>>u>>v;
		a[u].push_back(v);
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=l;i++,memset(vis,0,sizeof vis))
		ans+=dfs(i);
	cout<<ans;
	
}

后记

于是皆大欢喜。