加法器原理详解

2024-01-01 14:42:26

加法器的介绍与原理分析

什么是加法器?

加法器是一种数字电路,用于将两个二进制数相加并输出它们的和。

如何实现加法器

要讨论如何实现加法器就要先从只有一位的数字先进行考虑

一位二进制数相加

不考虑来自低位的进位——半加器

对于一位二进制数相加,由于是二进制有可能要进位也可能不需要进位,根据具体的情况如下图所示:
在这里插入图片描述

没有进位的话,把进位补上0:
在这里插入图片描述

转化为列表如下:

数字A数字B输出S进位CO
1010
0110
0000
1101

对于一位数字的话我们使用A表示第一个数字,B表示第二个数字,S表示加和之后的当前位的和,CO表示向高位的进位,使用逻辑函数式那么
S = A B ′ + A ′ B ?? ( 异或操作 ) C O = A B ?? ( 与操作 ) \begin{align} S &= AB'+A'B\ \ (异或操作)\\ CO &= AB \ \ (与操作)\end{align} SCO?=AB+AB??(异或操作)=AB??(与操作)??
也就是说对于一位二进制数的加法,我们可以使用异或操作跟与操作求出加法结果。
逻辑电路如图所示:
在这里插入图片描述
这样可以根据灯的亮灭判断到底输出了什么。
这样组成的期间就是半加器,但是半加器并没有考虑来自低位的进位,所以它的功能是不完善的。

考虑来自低位的进位——全加器

如果考虑到来自低位的进位那么输入就会有三个分别是数字A、数字B与进位CI。
相加的过程中我们可以看作先将数字A与数字B相加,相加得到的加和再与进位CI相加,即全加器由两个半加器组成。
真值表为:

数字A数字B进位CI数字S进位CO
00000
00110
01010
01101
10010
10101
11001
11111

根据真值表可以得到以下逻辑函数式
S = A B ′ C I ′ + A ′ B C I ′ + A ′ B ′ C I + A B C I C O = A B C I ′ + A ′ B C I + A B ′ C I + A B C I \begin{align} S &= AB'CI'+A'BCI'+A'B'CI+ABCI\\ CO &= ABCI'+A'BCI+AB'CI+ABCI \end{align} SCO?=ABCI+ABCI+ABCI+ABCI=ABCI+ABCI+ABCI+ABCI??
将逻辑表达式进行化简得到
S = C I ′ ( A B ′ + A ′ B ) + C I ( A ′ B ′ + A B ) S = C I ′ ( A B ′ + A ′ B ) + C I ( A B ′ + A ′ B ) ′ S = C I ′ ( A ? B ) + C I ( A ? B ) ′ S = C I ? A ? B C O = A B ( C I ′ + C I ) + C I ( A ′ B + A B ′ ) C O = A B + C I ( A ? B ) C O = A B C I ′ + A ′ B C I + A B ′ C I + A B C I \begin{align} S &= CI'(AB'+A'B)+CI(A'B'+AB)\\ S &= CI'(AB'+A'B)+CI(AB'+A'B)'\\ S &= CI'(A\bigoplus B) + CI(A\bigoplus B)'\\ S &= CI\bigoplus A\bigoplus B\\ CO &= AB(CI'+CI)+CI(A'B+AB') \\ CO &= AB + CI(A\bigoplus B)\\ CO &= ABCI'+A'BCI+AB'CI+ABCI\\ \end{align} SSSSCOCOCO?=CI(AB+AB)+CI(AB+AB)=CI(AB+AB)+CI(AB+AB)=CI(A?B)+CI(A?B)=CI?A?B=AB(CI+CI)+CI(AB+AB)=AB+CI(A?B)=ABCI+ABCI+ABCI+ABCI??
最终我们得到的逻辑函数式为:
S = C I ? A ? B C O = A B + C I ( A ? B ) \begin{align} S &= CI\bigoplus A\bigoplus B\\ CO &= AB + CI(A\bigoplus B)\\ \end{align} SCO?=CI?A?B=AB+CI(A?B)??
转化为电路图为:
在这里插入图片描述
这样我们就得到了一个全加器。
有了半加器与全加器,就能着手实现二进制加法了。

四位二进制加法器

最低位相加是不需要考虑进位的,所以使用半加器就行,当然使用全加器也可以只不过进位CI要置零。
现在就着手实现四位二进制数加法器:
多位加法器的原理就是,有多个一位加法器组成,每个一位加法器负责多位中的一位的运算,运算的结果需要进位到下一位,然后下一位求出结果,很明显这是一种
电路图如下:
在这里插入图片描述

如图所示,但是此加法器是一种串联的结构,进行运算时高位需要等待低位求出运算结果才能得到高位的结果,也就是花费的时间比较多,有没有办法在进行低位运算的同时进行高位的运算。

超前进位四位加法器

如果我们不再使用先算低位进位,然后再算高位,而是直接根据低位数字直接算出应该到高位的进位,这样就能将串行结构改成并行结构,这样就能够大大减少运算所需的时间。
在这里插入图片描述

这样我们就能够将结构改成下面的样子:
在这里插入图片描述

从图中我们可以看出是根据原始输入计算的进位,而不是一位一位进行计算的进位,这样每一位数字就可以同时计算,这样就可以在一个时钟周期内完成加法运算。
但是这一个明显优缺点,到后面计算进位的电路越来越复杂。
至此关于加法器的原理就讲完了。

注:如果电路图,或者逻辑函数式有写错的,请在评论区@我,我会尽快修改的。
multisim电路仿真图可以在我的GitHub的项目中下载:电路仿真图

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文章来源:https://blog.csdn.net/apprentice_eye/article/details/135324188
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