红黑树【数据结构】
红黑树不仅可以保障数据的有序性,也可以在动态数据集中,提供快速的插入、删除和查找操作。它主要通过对任一节点颜色的改变(红色或黑色)以及部分树结构的旋转来实现。
红黑树插入操作
当我们插入一个新节点时,它首先作为一个红色节点插入,以保持黑平衡,也即性质5。然后需要检查并修复可能违反的红黑树性质。
我们继续详述之前提到的3个情况,并且引入两个新的情况:
-
情景3(续):插入节点的父节点是红色,叔叔节点也是红色
这样的情况称为“双红”情况,需要进行颜色翻转。祖父节点由黑变红,父节点和叔叔节点由红变黑。然后,因为祖父节点可能成为新的双红问题,需要把祖父节点作为当前要处理的节点进行后续处理。 -
情景4:插入节点的父节点是红色,叔叔节点是黑色,插入节点是其父节点的右子节点,父节点是祖父节点的左子节点
这种情况需要左旋转父节点,让插入节点上升到父节点的位置,父节点下降到左子节点的位置,然后,问题转换为情景5。 -
情景5:插入节点的父节点是红色,叔叔节点是黑色,插入节点是其父节点的左子节点,父节点是祖父节点的左子节点(对称情况同理)
这时,我们对祖父节点进行右旋转,并交换父节点与祖父节点的颜色。这样可以恢复红黑树性质。
以下是插入操作示例的伪代码,包含必要的旋转和重新着色:
class RedBlackTreeNode:
def __init__(self, key, color, left=None, right=None, parent=None):
self.key = key
self.color = color
self.left = left
self.right = right
self.parent = parent
def left_rotate(tree, node):
# 断言确保右子树非空
right_node = node.right
node.right = right_node.left
if right_node.left != NIL:
right_node.left.parent = node
right_node.parent = node.parent
if node.parent == NIL:
tree.root = right_node
elif node == node.parent.left:
node.parent.left = right_node
else:
node.parent.right = right_node
right_node.left = node
node.parent = right_node
def right_rotate(tree, node):
# 类似于左旋转,此处略去细节
def insert_fixup(tree, node):
while node.parent.color == 'RED':
if node.parent == node.parent.parent.left:
uncle = node.parent.parent.right
if uncle.color == 'RED':
# 情景3
node.parent.color = 'BLACK'
uncle.color = 'BLACK'
node.parent.parent.color = 'RED'
node = node.parent.parent
else:
if node == node.parent.right:
# 情景4
node = node.parent
left_rotate(tree, node)
# 情景5
node.parent.color = 'BLACK'
node.parent.parent.color = 'RED'
right_rotate(tree, node.parent.parent)
else:
# 对称代码处理
# ...
tree.root.color = 'BLACK'
def insert(tree, key):
node = RedBlackTreeNode(key, 'RED')
y = NIL
x = tree.root
while x != NIL:
y = x
if node.key < x.key:
x = x.left
else:
x = x.right
node.parent = y
if y == NIL:
tree.root = node # 树为空,插入的是根节点
elif node.key < y.key:
y.left = node
else:
y.right = node
node.left = NIL
node.right = NIL
insert_fixup(tree, node)
在这个示例中,NIL 是一个哨兵节点,代表空的黑色节点。
这个插入操作实现同时考虑了树为空以及非空的情况。insert_fixup
函数负责调整颜色和进行必要的旋转来修复红黑树的性质。
需要注意的是,这只是一个高级伪代码描述。真实的实现需要考虑更多细节,比如当被插入节点的父节点不是根节点的情况下,我们可能需要显式地将NIL节点作为新插入节点的子节点。
红黑树插入操作虽然复杂,但得益于其对树平衡性的保证,它提供了非常高效的数据操作性能。在任何新节点被插入后,最多只需要三次旋转(在双红情景后的两次旋转和一个可能的颜色翻转)。这保证了最坏情况下时间复杂度保持为O(log n)。
红黑树的删除操作
删除操作在红黑树中是最复杂的操作之一,因为它可能会破坏树的平衡。当我们移除一个节点后,为了保持红黑树的性质,可能需要做一系列复杂的树旋转和重新着色。
以下面临的情况如何解决:
- 删除的是红色节点: 直接删除,因为它不会影响黑高。
- 删除的是黑色节点,而且有一个红色子节点: 用红色子节点替换该节点,并将其重新染成黑色。
- 删除的是黑色节点,而且它的两个子节点都是黑色: 这种情况是最复杂的,因为它会影响路径上的黑高。
在删除时,我们通常使用后继节点来替换要删除的节点(如果它有两个子节点的话),然后调整树的平衡情况。这个后继节点是在右子树中找到的最小值节点,这个节点最多只有一个子节点。然后应用"替换-删除"策略,后继节点替代要删除的节点位置,然后删除原后继节点的位置。
修正函数是根据删除黑色节点后失衡的情况进行调整的,这里将删除后的修正操作称为 delete_fixup
。
以下是删除节点的伪代码和解释:
def transplant(tree, u, v):
if u.parent == NIL:
tree.root = v
elif u == u.parent.left:
u.parent.left = v
else:
u.parent.right = v
if v != NIL:
v.parent = u.parent
def minimum(node):
while node.left != NIL:
node = node.left
return node
def delete_fixup(tree, x):
while x != tree.root and x.color == 'BLACK':
if x == x.parent.left:
w = x.parent.right
if w.color == 'RED':
w.color = 'BLACK'
x.parent.color = 'RED'
left_rotate(tree, x.parent)
w = x.parent.right
if w.left.color == 'BLACK' and w.right.color == 'BLACK':
w.color = 'RED'
x = x.parent
else:
if w.right.color == 'BLACK':
w.left.color = 'BLACK'
w.color = 'RED'
right_rotate(tree, w)
w = x.parent.right
w.color = x.parent.color
x.parent.color = 'BLACK'
w.right.color = 'BLACK'
left_rotate(tree, x.parent)
x = tree.root
else:
# 对称的处理右子树的情况
# ...
x.color = 'BLACK'
def delete(tree, z):
y = z
y_original_color = y.color
if z.left == NIL:
x = z.right
transplant(tree, z, z.right)
elif z.right == NIL:
x = z.left
transplant(tree, z, z.left)
else:
y = minimum(z.right)
y_original_color = y.color
x = y.right
if y.parent == z:
x.parent = y
else:
transplant(tree, y, y.right)
y.right = z.right
y.right.parent = y
transplant(tree, z, y)
y.left = z.left
y.left.parent = y
y.color = z.color
if y_original_color == 'BLACK':
delete_fixup(tree, x)
这个伪代码包含了删除操作的核心逻辑,其中 transplant
函数用来替换节点,minimum
函数用于查找给定节点的后继。变量 y
保存原来的颜色,以判断是否需要调整。如果最初删除的或者移动的 y
节点是黑色的,那么可能会违反红黑性质,需要进一步通过 delete_fixup
来调整。
该调整过程是一个循环,它会在不违反红黑树性质的前提下,向上回溯并调整颜色和执行旋转,直到到达根节点或者 x
指向了一个红色节点。这里的 x
节点可以被认为是一个额外的黑色,它可以是红黑颜色,当它变成红-黑色时,它就变成普通的黑节点,循环就会结束。
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