代码随想录算法训练营第五十七天【动态规划part17】 | 647. 回文子串、516.最长回文子序列

647. 回文子串

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求解思路

动规五部曲

1.确定dp数组及其下标含义

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2.确定递推公式

当s[i]与s[j]不相等，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，有如下三种情况

• 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
• 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
• 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

具体递推公式见代码，其中result就是统计回文子串的数量。

3.dp数组的初始化

dp[i][j]初始化为false。

4.遍历顺序

情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，再对dp[i][j]进行赋值true的，而dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

5.举例推导dp数组

输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：

代码

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size()-1; i >= 0; i--) { // 注意i是倒序遍历
            for (int j = i; j < s.size(); j++){
                if (s[i] == s[j]){
                    if (j - i <= 1){
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                    else if (dp[i+1][j-1]){
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

516.最长回文子序列

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求解思路

回文子串是连续的，回文子序列不是连续的。

动规五部曲

1.确定dp数组及其下标含义

字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2.确定递推公式

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]，加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]，取较大的值。

3.dp数组的初始化

从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况初始化为0即可。

4.确定遍历顺序

从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图

所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

5.举例推导dp数组

输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图

最后的结果为dp[0][s.size()-1]。

代码

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
        for (int i = s.size()-1; i >= 0; i--){
            for (int j = i + 1; j < s.size(); j++){
                if (s[i] == s[j]){
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
                }
                else{
                    dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size()-1];
    }
};