数据结构——链式二叉树
前言:哈喽小伙伴们,上篇文章我们讲述了一个特殊的二叉树——使用数组实现的堆的基本知识之后呢,从这篇文章开始,我们就正式进入普通二叉树的介绍啦,二叉树真正的难点——递归,即将来临,小伙伴们注意不要掉队哦。
目录
一.链式二叉树
在前边的文章中,我们已经了解到,二叉树可以有顺序存储和链式存储两种方式,在堆的文章中,我们讲解了顺序存储的完全二叉树,那么现在,我们一起来认识一下链式存储的普通二叉树。
我们知道,二叉树的规则是,每个节点至多有两个子节点,而两个子节点及其后续的子节点组成的整体,又可以分别称为左右子树,如右图所示,1为根节点,2和3则一起构成左子树,4、5、6则构成右子树。?而这两个子树,同样可以看做是由一个根节点和左右子树构成的新树。
所以,任何一个二叉树都可以被拆解为三部分:
- 根节点
- 左子树
- 右子树
由此看来,二叉树和递归离不开关系,后续二叉树的各种基本操作,也都是通过递归来实现的。
二.遍历二叉树
?二叉树的遍历有三种方式:
1.前(先)序遍历:先遍历树的根节点,再遍历它的左子树,最后是右子树。
2.中序遍历:先遍历树的左子树,再遍历它的根节点,最后是右子树。
3.后序遍历:先遍历树的左子树,再遍历它的右子树,最后是根节点。
我们以这棵树为例:
前序遍历即为:1 2 3 4 5 6。
但是这样写其实并不合理,因为我们是用链表来写二叉树的结构的,所以对于节点2来说,它并不是没有右子树,而是右子树是空树。
同样的,3、5、6同样可以作为一颗树,不过它们的左右子树都是空树罢了。
所以合理的遍历方式应该把空树也带上,我们这里用N表示,于是:
前序遍历:1? ? 2? ? 3? ? N? ? N? ? N? ? 4? ? 5? ? N? ? N? ? 6? ? N? ? N,如果用图形来表示,如下:
每一个方框都可以看做是一个新的树,从左到右依次为:根,左,右。如此,我们便也能写出中序遍历和后序遍历:
中序遍历:N? ? 3? ? N? ? 2? ? N? ? 1? ? N? ? 5? ? N? ? 4? ? N? ? 6? ? N,图形如下:
后序遍历:N? ? N? ? 3? ? N? ? 2? ? N? ? N? ? 5? ? N? ? N? ? 6? ? 4? ? 1,图形如下:
了解了二叉树的基本架构之后,我们就开始来实现二叉树的各个功能啦。
三.二叉树的实现
1.二叉树的定义
typedef int BTDataType;
typedef struct TreeNode
{
BTDataType data;
struct TreeNode* left;
struct TreeNode* right;
}TreeNode;
二叉树的定义并不难写,需要数据变量,以及指向左子树和右子树的两个指针。
2.创建二叉树节点
//创建树节点
TreeNode* CreateTreeNode(TreeNode* root,BTDataType x)
{
TreeNode* tmp = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
if (tmp == NULL)
{
perror("CreateTree->malloc");
exit(-1);
}
root = tmp;
root->data = x;
root->left = NULL;
root->right = NULL;
return root;
}
二叉树节点的创建也不难,起初我们需要将两个指针都指向NULL。
为了方便下文对二叉树的操作进行讲解,我们手动创建一颗如下的二叉树:
TreeNode root;
TreeNode* node1 = CreateTreeNode(&root, 1);
TreeNode* node2 = CreateTreeNode(&root, 2);
TreeNode* node3 = CreateTreeNode(&root, 3);
TreeNode* node4 = CreateTreeNode(&root, 4);
TreeNode* node5 = CreateTreeNode(&root, 5);
TreeNode* node6 = CreateTreeNode(&root, 6);
node1->left = node2;
node1->right = node4;
node2->left = node3;
node4->left = node5;
node4->right = node6;
四.二叉树的操作
二叉树的操作,基本上都和递归紧密相连。
1.先序遍历
先序遍历,也就是按照:根,左子树,右子树的顺序遍历,下面我直接给出代码:
//先序遍历
void PrevOrder(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
printf("%d ", root->data);//根
PrevOrder(root->left);//左子树
PrevOrder(root->right);//右子树
}
没错,代码就是这么简单。
想要按照我们上边所讲解的遍历方法进行二叉树的遍历,递归是最好的选择。
我们来分析以下:
首先,如果我们遇到叶节点,那么他就没有左右子树,这时候我们再去递归调用它的左右子树时,就打印一个N,证明我们遇到了空节点。
随后,我们按照根,左,右的顺序,先打印根节点的数据,再先后去递归打印它的左右子树的节点数据。
递归确实是一个难以理解的重点知识,但是博主却有一个小妙招,可以分享给大家:
我们继续来看上边的代码,如果我去掉递归调用,那么我剩下的代码是:
void PrevOrder(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
printf("%d ", root->data);//根
}
这样就可以看做是一个打印节点数据的代码。
那么我在打印完根节点的数据之后,想打印它左子树的根节点数据,就把它左子树的地址传给这个函数,也就是:
?? ?PrevOrder(root->left);//左子树
打印完左子树,再去打印右子树,于是就把右子树的地址传过去:
?? ?PrevOrder(root->right);//右子树
?要记住的是,每当我们用递归调用时,都是一层一层的套用该函数,直到遇到某个限制条件,到达最后一层时,才会终止当前的函数,并返回上一层函数,直到返回至第一层为止。
来看结果:
而中序,后序遍历,就和上边是大差不差,只需要改变递归调用函数的顺序。
2.中序遍历
中序遍历的顺序为:左子树,根,右子树,所以:
//中序遍历
void InOrder(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
InOrder(root->left);//左子树
printf("%d ", root->data);//根
InOrder(root->right);//右子树
}
先递归调用左子树,再打印根节点数据,再递归调用右子树。
结果如下:
3.后序遍历
后序遍历的顺序为:左子树,右子树,根,所以:
//后序遍历
void PostOrder(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
PostOrder(root->left);//左子树
PostOrder(root->right);//右子树
printf("%d ", root->data);//根
}
在左右子树全部都递归调用之后,再打印根节点数据。
结果如下:
4.节点个数
二叉树的节点个数该怎么统计呢???
有小伙伴会说,这简单啊,用个计数器,遍历的时候顺便计数不就好啦。
这确实是一种方法,但是却不够简便,我们不妨来思考思考有没有更简单一点的方法:
二叉树的节点个数,是不是就等于它的根节点,加上它的左子树,右子树的节点个数?
那我就能得出下边的代码:
//节点个数
int TreeSize(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}
结果如下:
?
简不简单就问你?有没有问题?
如果根节点为空,就说明是空树,节点个数为0,返回0;
如果不是空树,那我就返回左子树的节点个数+右子树的节点个数 + 根节点(也就是1)。
怎么样?有没有被递归给圈粉?递归是如此的奇妙。?
递归分析
递归问题的基本思想就是把大型的,复杂的问题拆解成多个子问题,简单的问题。
以上述代码为例,我们要求出一个二叉树的节点个数,而这棵二叉树又可以拆解为一个一个的子二叉树,我们将每个子树的节点个数统计出来,在整合起来,就得出了总的节点个数。?
当我们面对递归问题时,要做的就是找到递归的两个要点:
- 终止条件
- 递归部分
拿上述代码为例,终止条件就是:
?? ?if (root == NULL)
?? ?{
?? ??? ?return 0;
?? ?}
而递归部分就是:
?? ?return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
5.叶节点数
叶节点也就是左右子树都为空的节点,那么叶节点个数该怎么求呢?
很显然,与上边的想法类似,也就是左子树的叶节点个数+右子树的叶节点个数。
如此一来,我们便能写出代码:
//叶节点个数
int TreeLeafSize(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
if (root->left == NULL && root->right == NULL)
{
return 1;
}
return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}
当为空树时,自然没有叶节点,返回0;
当根节点存在,且它的左右子树都为空时,说明它是叶节点,返回1;
上述两种都不满足,则返回左右子树叶节点之和,实现递归。
结果如下:
6.树的高度
二叉树的高度,也可以叫做深度、层数。
2那么该如何求出二叉树的高度呢???
我们仍然利用上边的思想,把根和左右子树独立开,不难得出,求树的高度就可以变成求左右两棵子树的高度较大的那一个再 + 1。
//树高度
int TreeHight(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
int lefthight = TreeHight(root->left);
int righthight = TreeHight(root->right);
return lefthight > righthight ? lefthight + 1 : righthight + 1;
}
首先仍然是要判断是否为空树。
然后我们要把左右子树的高度定义出来。
最后我们使用三目运算符来实现比较左右子树的高度并进行返回。
结果如下:
7.第k层节点数
二叉树还有一种操作,那就是求其某一层的节点数,这该怎么求呢???
有一种写法是,分别求二叉树的前k层和前k-1层,再相减,但是这显然会非常麻烦。
所以,我们仍然可以采用把我们上边的递归思想:
求二叉树的第k层,可以等价为是求其左右子树的第k-1层节点数之和。
//第k层的节点个数
int LeveKSize(TreeNode* root,int k)
{
assert(k > 0);
if (root == NULL)
{
return 0;
}
if (k == 1)
{
return 1;
}
return LeveKSize(root->left, k - 1) + LeveKSize(root->right, k - 1);
}
当k = 1时,即第一层,只有一个根节点,返回1,反之就返回其左右子树的第k-1层节点数之和。
来看结果:
首先是第三层,有3个节点;
?然后是第四层,没有节点:
8.查找指定值节点
对于二叉树,同样有查找给定的值的节点的操作,并返回它的地址,这又该如何实现呢???
很明显,如果这个值不是根节点,就要让左右子树去分别查找:
// 二叉树查找值为x的节点
TreeNode* BinaryTreeFind(TreeNode* root, BTDataType x)
{
if (root == NULL)
return NULL;
if (root->data == x)
return root;
TreeNode* ret = BinaryTreeFind(root->left, x);
if (ret)
return ret;
return BinaryTreeFind(root->right, x);
}
首先判断空树。
然后判断根节点的值是否为要查找的数据,是就直接返回根节点地址,反之就开始查找左右子树。
我们先查找左子树,这里要注意一点,要临时定义一个指针变量来判断左子树中是否能找到节点。
如果存在,就会返回其地址,不存在,ret就为空,这样我们就接着去查找右子树。
9.销毁二叉树
二叉树该如何销毁呢???
是从根节点开始一个一个遍历销毁吗???但是这样每销毁一个根节点,我们都要先去记录它的两个左右子树的地址,未免有点太麻烦了些。
既然不能从上到下,那我们就从下到上呗,不要忘了,还有后序遍历呢。
//销毁树
void TreeDestroy(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
return;
TreeDestroy(root->left);
TreeDestroy(root->right);
free(root);
}
四.完整代码展示
1.BinaryTree.h
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<assert.h>
typedef int BTDataType;
typedef struct TreeNode
{
BTDataType data;
struct TreeNode* left;
struct TreeNode* right;
}TreeNode;
//创建树
TreeNode* CreateTreeNode(TreeNode* root,BTDataType x);
//销毁树
void TreeDestroy(TreeNode* root);
//先序遍历
void PrevOrder(TreeNode* root);
//中序遍历
void InOrder(TreeNode* root);
//后序遍历
void PostOrder(TreeNode* root);
// 层序遍历
void LevelOrder(TreeNode* root);
//节点个数
int TreeSize(TreeNode* root);
//叶节点个数
int TreeLeafSize(TreeNode* root);
//树高度
int TreeHight(TreeNode* root);
//第k层的节点个数
int LeveKSize(TreeNode* root,int k);
// 二叉树查找值为x的节点
TreeNode* BinaryTreeFind(TreeNode* root, BTDataType x);
2.BinaryTree.c
#include "BinaryTree.h"
//创建树节点
TreeNode* CreateTreeNode(TreeNode* root,BTDataType x)
{
TreeNode* tmp = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
if (tmp == NULL)
{
perror("CreateTree->malloc");
exit(-1);
}
root = tmp;
root->data = x;
root->left = NULL;
root->right = NULL;
return root;
}
//销毁树
void TreeDestroy(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
return;
TreeDestroy(root->left);
TreeDestroy(root->right);
free(root);
}
//先序遍历
void PrevOrder(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
printf("%d ", root->data);//根
PrevOrder(root->left);//左子树
PrevOrder(root->right);//右子树
}
//中序遍历
void InOrder(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
InOrder(root->left);//左子树
printf("%d ", root->data);//根
InOrder(root->right);//右子树
}
//后序遍历
void PostOrder(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("N ");
return;
}
PostOrder(root->left);//左子树
PostOrder(root->right);//右子树
printf("%d ", root->data);//根
}
//节点个数
int TreeSize(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}
//叶节点个数
int TreeLeafSize(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
if (root->left == NULL && root->right == NULL)
{
return 1;
}
return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}
//树高度
int TreeHight(TreeNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
int lefthight = TreeHight(root->left);
int righthight = TreeHight(root->right);
return lefthight > righthight ? lefthight + 1 : righthight + 1;
}
//第k层的节点个数
int LeveKSize(TreeNode* root,int k)
{
assert(k > 0);
if (root == NULL)
{
return 0;
}
if (k == 1)
{
return 1;
}
return LeveKSize(root->left, k - 1) + LeveKSize(root->right, k - 1);
}
// 二叉树查找值为x的节点
TreeNode* BinaryTreeFind(TreeNode* root, BTDataType x)
{
if (root == NULL)
return NULL;
if (root->data == x)
return root;
TreeNode* ret = BinaryTreeFind(root->left, x);
if (ret)
return ret;
return BinaryTreeFind(root->right, x);
}
3.test.c
#include "BinaryTree.h"
int main()
{
?? ?TreeNode root;
?? ?TreeNode* node1 = CreateTreeNode(&root, 1);
?? ?TreeNode* node2 = CreateTreeNode(&root, 2);
?? ?TreeNode* node3 = CreateTreeNode(&root, 3);
?? ?TreeNode* node4 = CreateTreeNode(&root, 4);
?? ?TreeNode* node5 = CreateTreeNode(&root, 5);
?? ?TreeNode* node6 = CreateTreeNode(&root, 6);
?? ?node1->left = node2;
?? ?node1->right = node4;
?? ?node2->left = node3;
?? ?node4->left = node5;
?? ?node4->right = node6;
?? ?//PrevOrder(node1);
?? ?//printf("\n");
?? ?//InOrder(node1);
?? ?//printf("\n");
?? ?//PostOrder(node1);
?? ?//printf("\n");
?? ?//int Treesize = TreeSize(node1);
?? ?//printf("Treesize = %d\n", Treesize);
?? ?//int TreeLeafsize = TreeLeafSize(node1);
?? ?//printf("TreeLeafsize = %d\n", TreeLeafsize);
?? ?//int Treehight = TreeHight(node1);
?? ?//printf("Treehight = %d\n", Treehight);
?? ?int LeveKsize = LeveKSize(node1, 4);
?? ?printf("LeveKsize = %d\n", LeveKsize);
?? ?TreeDestroy(node1);
?? ?node1 = NULL;
?? ?return 0;
}
五.总结
二叉树的基本知识和操作到这里就结束啦,二叉树与递归关系颇深。
虽然博主对于递归讲解的也不是那么清晰透彻,但是递归的知识真的是要靠自己一步一步的去理解,去深入。
希望小伙伴们都可以努力去拿下递归,这是每一个优秀程序员都必须要克服的!!!
最后还是求一求一键三连!!!
我们下期再见啦!
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