频率域滤波图像复原之带阻滤波器的python实现——数字图像处理

原理：

带阻滤波器（Band-Stop Filter）是一种在信号处理领域常用的滤波器，它的主要功能是去除（或减弱）信号中特定频率范围内的成分，同时允许其他频率范围的信号通过。这种滤波器在多种应用中都非常有用，比如去除电子设备中的干扰信号、音频处理中的噪声消除等。

频率选择性：带阻滤波器设计用来阻止一个特定的频率带宽内的信号。这个带宽被称为阻带（Stop Band），其外的频率区域则被允许通过，这部分称为通带（Pass Band）。
**滤波过程：**当信号进入带阻滤波器时，滤波器会根据其频率特性分别处理不同的频率成分。在阻带范围内的频率成分会被显著衰减或完全去除。而在通带范围内的频率成分则基本不受影响，可以顺利通过滤波器。
设计参数：
截止频率：决定阻带的上下频率边界。
阻带宽度：阻带的频率范围。
衰减量：阻带内信号的衰减程度。
滤波器阶数：影响滤波器的陡峭程度和性能。
类型
模拟带阻滤波器：使用电阻、电容和电感等元件构建，常用于模拟信号处理。
数字带阻滤波器：通过数字信号处理算法实现，可以精确设定阻带频率和宽度，常用于数字信号处理。
应用
带阻滤波器广泛应用于电子、通信、音频处理等领域，特别是在需要去除特定频率干扰或噪声的情况下。例如，去除电源线产生的50Hz或60Hz的电气噪声，或者在音频编辑中去除特定频率的背景噪音。

python实现下述结果

提示

结果依次显示了添加周期噪声后的图像及其频谱图，根据所加噪声频率确定的带阻滤波器的频域表示，带阻滤波器对含噪图像滤波后得到的结果图。
第一步为图像添加正弦噪声，其理论说明如下图

实验中，直接在空间域根据上面一个公式添加正弦噪声，A=50，Bx=By=0，四组噪声，频率分别为u0=v0=50；u1=-50，v1=50；u2=50sqrt(2)，v2=0；u3=0，v3=50sqrt(2)。注意：图像在叠加噪声前需转换为浮点数。
第二步计算含噪图像的频谱。
第三步构造带阻滤波器的传递函数(参考数字图像处理这本书)，其中参数W=5，D0=50*sqrt(2)，n=4
第四步是滤波并将结果转到空间域并显示。

python代码

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

img = cv2.imread('Fig0427.tif', 0)
rows = img.shape[0]
cols = img.shape[1]

Cx = rows//2
Cy = cols//2

# 噪声频率
u0 = 50
v0 = 50
u1 = u0*np.sqrt(2)
v1 = v0*np.sqrt(2)

# 先将图像转换为浮点数，便于后续添加噪声
img = img.astype(np.float32)
for x in range(rows):
    for y in range(cols):
        noise1 = np.sin(2*np.pi*u0*x/rows+2*np.pi*v0*y/cols)
        noise2 = np.sin(2*np.pi*-u0*x/rows+2*np.pi*v0*y/cols)
        noise3 = np.sin(2*np.pi*u1*x/rows)
        noise4 = np.sin(2*np.pi*v1*y/cols)
        noise = noise1+noise2+noise3+noise4
        img[x, y] = img[x, y] + 50*noise
# img = 255*(img-img.min())/(img.max()-img.min())

# 计算带噪图像的频谱
dft = np.fft.fft2(img)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
dft_show = np.log1p(np.abs(dft_shift))
# dft_show = 255*(dft_show-dft_show.min())/(dft_show.max()-dft_show.min())
# cv2.imwrite('fft2.jpg', dft_show)

img_list = [img, dft_show]
img_name_list = ['original', 'fft']

# 带宽，决定了带阻滤波器去除频率分量的多少
W = 5
# 截止频率，决定了去除哪些频率分量
D0 = u1
# 巴特沃斯滤波器的阶数
n = 4

# 构造巴特沃斯带阻滤波器
H = np.zeros((rows, cols))
for x in range(rows):
    for y in range(cols):
        D = np.sqrt((x - Cx) ** 2 + (y - Cy) ** 2)
        H[x, y] = 1 / (1 + (D*W / (D**2 - D0**2 + 1e-10)) ** (2 * n))

img_list.append(H)
img_name_list.append('bandreject')

dft_filtered = np.multiply(dft_shift, H)
img_result = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.fftshift(dft_filtered)))
img_list.append(img_result)
img_name_list.append('result')

_, axs = plt.subplots(2, 2)

for i in range(2):
    for j in range(2):
        axs[i, j].imshow(img_list[i * 2 + j], cmap='gray')
        axs[i, j].set_title(img_name_list[i * 2 + j])
        axs[i, j].axis('off')

#plt.savefig('bandreject.jpg')
plt.show()

结果展示

总结

带阻滤波器可分为窄带阻滤波器和宽带阻滤波器，在实际电路中，常利用无源低通滤波器和高通滤波器并联构成无源带阻滤波电路，然后接相同比例运算电路，从而得到有源带阻滤波电路。它能通过大多数频率分量、但将某些范围的频率分量衰减到极低水平的滤波器。其中点阻滤波器（notch filter）是一种特殊的带阻滤波器，它的阻带范围极小，有着很高的Q值（Q Factor）。
这是分别对应于图像水平方向和垂直方向的正铉噪声。在构建滤波器的时候就需要考虑，尽可能的过滤除这些具有这些亮点对应的正铉噪声，希望尽可能消减细节。N=4.