数据结构之树 --- 二叉树

目录

定义二叉树的结构体

二叉树的遍历

递归遍历

非递归遍历?

链式二叉树的实现?

二叉树的功能接口

先序遍历创建二叉树

后序遍历销毁二叉树?

?先序遍历查找树中值为x的节点

层序遍历

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上篇我们对二叉树的顺序存储堆进行了讲述，本文我们来看链式二叉树。

定义二叉树的结构体

定义链式二叉树同定义链表相同，只是需要注意二叉树有两个指针，类似于双向链表，逻辑上我们将其看作一棵二叉树。下面是定义该树的结构体。

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
BTDataType data;
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

在创建二叉树之前，我们需要了解前序、中序、后序以及层序遍历。

二叉树的遍历

递归遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：
1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

下图展示先序遍历的递归结构：

非递归遍历?

非递归遍历也即层序遍历：

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

图示：?

链式二叉树的实现?

二叉树的功能接口

数据结构的实现无非是增删查改，二叉树也不例外。

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTNode* root, BTDataType* str);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
 层序遍历
//void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);
 判断二叉树是否是完全二叉树
//bool BinaryTreeComplete(BTNode* root);

先序遍历创建二叉树

先序遍历创建一个二叉树，我们递归遍历每个元素，然后为其创建节点，但叶子节点没有孩子怎么办？

叶子节点没有孩子，因此当递归到叶子节点的孩子时需要返回NULL；我们需要在需要创建的元素数组中做好标记，比如下面这个代码，当我们遇到 '#' 时返回NULL结束函数，不创建节点。

通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
struct BTNode* PreorderCreate(int* a,int* i)
{
    if (a[*i] == '#')
    {
        (*i)++;
        return NULL;
    }
        
    struct BTNode* root = (struct TreeNode*)malloc(sizeof(struct TreeNode));
    root->val = a[*i];
    (*i)++;
    root->left = PreorderCreate(a, i);
    root->right = PreorderCreate(a, i);
    return root;
}

后序遍历销毁二叉树?

销毁一个二叉树，我们设想一下，当销毁了树的根节点，那么我们就找不到他的孩子了。因此根节点必然是最后一个销毁的，所以我们用后序遍历来销毁二叉树。

我们递归遍历最深的节点，依次往上销毁。

// 二叉树销毁(后序遍历）
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{
	if (*root == NULL)
		return;
	BTNode* cur = *root;
	BinaryTreeDestory(&(*root)->left);
	BinaryTreeDestory(&(*root)->right);
	free(*root);
	*root = NULL;
}

?先序遍历查找树中值为x的节点

树的查找，这里我们以先序遍历为例。

若该节点数据等于x，则返回该节点。否则递归其孩子，我们分别用ret1与ret2记录递归其左右孩子的返回值，然后判断返回值是否存在。根据函数可知，函数的返回只可能为NULL或者是值为x的节点。

至于我们为什么要使用ret1、ret2，那是因为如果直接用?BinaryTreeFind(root->left, x);来判断的话，我们会再次进入这个节点的递归，造成额外的栈帧负担。

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;
	if (root->data == x)
		return root;
	BTNode* ret1= BinaryTreeFind(root->left, x);
	if (ret1)
		return ret1;
	BTNode* ret2=BinaryTreeFind(root->right, x);
	if (ret2)
		return ret2;
	return NULL;
}

层序遍历

层序遍历为非递归遍历，对于树而言，非递归往往更难。

这里我们借用队列来实现树的层序遍历，关于队列实现层序遍历，我们后面再讲。

// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	while (QueueEmpty(&q))
	{
		if (!root)
			QueuePush(&q, root);
		BTNode* tmp = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%d ", tmp->data);
		if (!root->left)
			QueuePush(&q, root->left);
		if (root->right)
			QueuePush(&q, root->right);
	}	
}