数值分析总复习

2023-12-21 22:27:24

第一章科学计算

误差

解题步骤:

  1. 先求绝对误差:
    ∣ x ? x ? ∣ |x - x^*| x?x?
  2. 求相对误差限:
    ∣ x ?? ? ?? x ? ∣ x ? \frac{|x\,\,-\,\,x^*|}{x^*} x?x?x??
  3. 求有效数字
    ∣ x ? x ? ∣ 需要小于它自身的半个单位 |x-x^*|\text{需要小于它自身的半个单位} x?x?需要小于它自身的半个单位,然后算小数点后一共有多少数字

举个例子:
相减得出结果为0.0000345则小于0.0005,则有效数字为4

例题1:
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第二章 线性代数直接法

高斯消去法

高斯顺序消去法

解题步骤(假设是一个三行三列的矩阵):

  1. 先用第一行消去2,3行
  2. 再用第二行消去第三行

例题1:
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例题2:
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高斯列主元消去法

解题步骤:

  1. 比较哪一行的绝对值最大,然后交换
  2. 用第一行消去第2、3行
  3. 再次比较哪一行绝对值最大,交换
  4. 重复步骤

例题1:
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例题2:
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第三章 线性代数方程组的迭代法

范数和条件数

  1. 1范数(列范数):每一列元素的绝对值之和的最大值
  2. 无穷范数(行范数):每一行元素的绝对值之和的最大值
  3. 2范数:
    1. 向量:向量元素平方的和的平方根
    2. 矩阵(又称为谱范数):null
  4. 无穷范数条件数:
    c o n d ∞ ( A ) ?? = ?? ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ∣ ∣ A ? 1 ∣ ∣ ∞ cond_{\infty}\left( A \right) \,\,=\,\,||A||_{\infty}||A^{-1}||_{\infty} cond?(A)=∣∣A?∣∣A?1?

例题1:
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例题2:
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A ? 1 A^{-1} A?1的方法

  1. 初等变换法
    image.png

第九章 常微分方程初边值问题数值解

龙格-库塔公式

基本概念

一般问题会有 y ′ , h , f ( x ) = y y', h , f(x) = y y,h,f(x)=y等参数
将其转换为
image.png

注意h的值,一般是在 0 ≤ x ≤ 1 0 \le x \le 1 0x1之间,逐渐相加之后递增到1结束计算

四阶四段龙格库塔公式如下:
image.png

解题步骤

  1. x 0 , y 0 , h x_0,y_0,h x0?,y0?,h写在旁边
  2. 将将题目中给出的已知信息代入 k 1 , k 2 , k 3 , k 4 k_1,k_2,k_3,k_4 k1?,k2?,k3?,k4?
  3. 更新 y n y_n yn?的值
  4. 重复过程

k 2 k_2 k2?->f的 x n + h 2 x_n+\frac{h}{2} xn?+2h?表示 x x x,同理另外一个表示 y y y,将其代入到f(x,y)中进行化简

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文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_51429898/article/details/135140209
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