【代数学作业5】理想的分解:高斯整数环中理想的结构,并根据其范数和素数的性质进行分解

2024-01-03 19:35:42

【代数学作业5】理想的分解

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  • 题目1
    • 相关概念
    • 题解分析
      • 1. ( 1 + 3 ) = ( 1 ? 3 ) (1 + \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3}) (1+3 ?)=(1?3 ?)
      • 2. ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 ? 3 ) (4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3}) (4+3 ?)?=(4?3 ?)
      • 3. ( 33 , 7 ? 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) (33, 7 - 3\sqrt{3}) = (4 + 3\sqrt{3}) (33,7?33 ?)=(4+33 ?)
      • 4. ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) (13, 7 + 5\sqrt{3}) = (4 + \sqrt{3}) (13,7+53 ?)=(4+3 ?)
    • 题解
  • 题目2
    • 相关概念
    • 题解
      • 1. 求出范为1,2,3,4,5的全部理想
      • 2. 求出主理想(2),(3),(4),(5)的素理想分解

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这些分解展示了在高斯整数环中理想的结构,以及如何根据其范数和素数的性质进行分解。

题目1

在这里插入图片描述

令域扩展 K = Q ( 3 ) K = \mathbb{Q}(\sqrt{3}) K=Q(3 ?),证明以下等式在 O K \mathcal{O}_K OK? K K K 的整环)中的成立:

  1. ( 1 + 3 ) = ( 1 ? 3 ) (1 + \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3}) (1+3 ?)=(1?3 ?)
  2. ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 ? 3 ) (4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3}) (4+3 ?)?=(4?3 ?)
  3. ( 33 , 7 ? 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) (33, 7 - 3\sqrt{3}) = (4 + 3\sqrt{3}) (33,7?33 ?)=(4+33 ?)
  4. ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) (13, 7 + 5\sqrt{3}) = (4 + \sqrt{3}) (13,7+53 ?)=(4+3 ?)

相关概念

  1. 域扩展(Field Extension): 如果有两个域 F F F K K K,且 F ? K F \subseteq K F?K,则称 K K K F F F 的一个域扩展。在本题中, K = Q ( 3 ) K = \mathbb{Q}(\sqrt{3}) K=Q(3 ?) 表示包含所有形式为 a + b 3 a + b\sqrt{3} a+b3 ?(其中 a , b ∈ Q a, b \in \mathbb{Q} a,bQ)的数的域,这是有理数域 Q \mathbb{Q} Q 的一个扩展。

  2. 整环(Ring of Integers): 一个整环是一种特殊的环,它是交换的,有单位元素,且没有零因子。对于数域 K K K,其整环 O K \mathcal{O}_K OK? K K K 中所有代数整数的集合。代数整数是指满足某个以整数为系数的首一多项式(其最高次项系数为1)的方程的根。

  3. 理想(Ideal): 在环论中,一个理想是指一个环中的特定子集,它可以通过环的操作与环中的其他元素相结合而不离开这个子集。

题解分析

1. ( 1 + 3 ) = ( 1 ? 3 ) (1 + \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3}) (1+3 ?)=(1?3 ?)

要证明这个等式,我们需要找到一个数 α \alpha α 使得 α ( 1 ? 3 ) = 1 + 3 \alpha(1 - \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3} α(1?3 ?)=1+3 ?。我们可以尝试使用数 ? 2 ? 3 -2 - \sqrt{3} ?2?3 ? ? 2 + 3 -2 + \sqrt{3} ?2+3 ?

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这说明 ( 1 + 3 ) (1 + \sqrt{3}) (1+3 ?) 可以由 ( 1 ? 3 ) (1 - \sqrt{3}) (1?3 ?) 生成,反之亦然。因此, ( 1 + 3 ) = ( 1 ? 3 ) (1 + \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3}) (1+3 ?)=(1?3 ?)

2. ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 ? 3 ) (4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3}) (4+3 ?)?=(4?3 ?)

要证明这个不等式,我们需要证明没有数 α \alpha α 使得 α ( 4 ? 3 ) = 4 + 3 \alpha(4 - \sqrt{3}) = 4 + \sqrt{3} α(4?3 ?)=4+3 ?。假设存在这样的数 α = a + b 3 \alpha = a + b\sqrt{3} α=a+b3 ?,我们得到:

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?*?}? (a + b\sqrt{3}…

通过比较实部和虚部,我们得到:

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?*?}? 4a + 3b &= 4 \…

解这个方程组,我们发现没有符合条件的整数解。因此, ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 ? 3 ) (4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3}) (4+3 ?)?=(4?3 ?)

3. ( 33 , 7 ? 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) (33, 7 - 3\sqrt{3}) = (4 + 3\sqrt{3}) (33,7?33 ?)=(4+33 ?)

要证明这个等式,我们需要证明两个理想的每个生成元都可以由另一个理想生成。首先,我们找到一个数 α \alpha α 使得 α ( 33 ) + β ( 7 ? 3 3 ) = 4 + 3 3 \alpha(33) + \beta(7 - 3\sqrt{3}) = 4 + 3\sqrt{3} α(33)+β(7?33 ?)=4+33 ?。通过解方程,我们发现:

( ? 2 + 3 ) 33 + 10 ( 7 ? 3 3 ) = 4 + 3 3 (-2+ \sqrt{3}) 33 + 10(7 - 3 \sqrt{3}) = 4 + 3 \sqrt{3} (?2+3 ?)33+10(7?33 ?)=4+33 ?

这说明 4 + 3 3 4 + 3 \sqrt{3} 4+33 ? ( 33 , 7 ? 3 3 ) (33, 7 - 3 \sqrt{3}) (33,7?33 ?) 中。接着,我们需要证明 33 33 33 7 ? 3 3 7 - 3 \sqrt{3} 7?33 ? 可以由 ( 4 + 3 3 ) (4 + 3 \sqrt{3}) (4+33 ?) 生成。通过一些计算,我们发现:

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?*?}? (-12 + 9 \sqrt…

这说明 33 33 33 7 ? 3 3 7 - 3 \sqrt{3} 7?33 ? 都在 ( 4 + 3 3 ) (4 + 3 \sqrt{3}) (4+33 ?) 中。因此, ( 33 , 7 ? 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) (33, 7 - 3\sqrt{3}) = (4 + 3\sqrt{3}) (33,7?33 ?)=(4+33 ?)

4. ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) (13, 7 + 5\sqrt{3}) = (4 + \sqrt{3}) (13,7+53 ?)=(4+3 ?)

同样,要证明这个等式,我们需要证明两个理想的每个生成元都可以由另一个理想生成。首先,我们找到一个数 α \alpha α 使得 α ( 13 ) + β ( 7 + 5 3 ) = 4 + 3 \alpha(13) + \beta(7 + 5\sqrt{3}) = 4 + \sqrt{3} α(13)+β(7+53 ?)=4+3 ?。通过解方程,我们发现:

( ? 1 ? 3 ) ( 7 + 5 3 ) + ( ? 2 + 3 ) 13 = 4 + 3 (-1-\sqrt{3})(7+5 \sqrt{3}) + (-2+\sqrt{3}) 13 = 4 + \sqrt{3} (?1?3 ?)(7+53 ?)+(?2+3 ?)13=4+3 ?

这说明 4 + 3 4 + \sqrt{3} 4+3 ? ( 13 , 7 + 5 3 ) (13, 7 + 5 \sqrt{3}) (13,7+53 ?) 中。接着,我们需要证明 13 13 13 7 + 5 3 7 + 5 \sqrt{3} 7+53 ? 可以由 ( 4 + 3 ) (4 + \sqrt{3}) (4+3 ?) 生成。通过一些计算,我们发现:

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?*?}? (4 - \sqrt{3})…

这说明 13 13 13 7 + 5 3 7 + 5 \sqrt{3} 7+53 ? 都在 ( 4 + 3 ) (4 + \sqrt{3}) (4+3 ?) 中。因此, ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) (13, 7 + 5\sqrt{3}) = (4 + \sqrt{3}) (13,7+53 ?)=(4+3 ?)

题解

  1. ∵ ( ? 2 ? 3 ) ( 1 ? 3 ) = 1 + 3 . ( ? 2 + 3 ) ( 1 + 3 ) = 1 ? 3 . \because \begin{aligned} & (-2-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1+\sqrt{3} . \\ & (-2+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=1-\sqrt{3} . \end{aligned} ?(?2?3 ?)(1?3 ?)=1+3 ?.(?2+3 ?)(1+3 ?)=1?3 ?.? ∴ ( 1 + 3 ) 生 成 元 在 ( 1 ? 3 ) 中 , ( 1 ? 3 ) 生 成 元 在 ( 1 + 3 ) 中 。 \therefore(1+\sqrt{3}) 生成元在 (1-\sqrt{3}) 中, (1-\sqrt{3}) 生成元在 (1+\sqrt{3}) 中 。 (1+3 ?)(1?3 ?)(1?3 ?)(1+3 ?) ∴ ( 1 + 3 ) = ( 1 ? 3 ) \therefore(1+\sqrt{3})=(1-\sqrt{3}) (1+3 ?)=(1?3 ?)
  2. ∵ { 4 a + 3 b = 4 a + 4 b = ? 1 ? b = 0 ? { a = 1 a = ? 1 ?矛盾.? \because \left\{\begin{array}{l} 4 a+3 b=4 \\ a+4 b=-1 \end{array} \Rightarrow b=0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} a=1 \\ a=-1 \end{array}\right. \text { 矛盾. }\right. {4a+3b=4a+4b=?1??b=0?{a=1a=?1??矛盾.? ∴ 4 ? 3 3 在 ( 4 + 3 3 ) 中 , ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 ? 3 ) \therefore 4-3 \sqrt{3}在 (4+3 \sqrt{3})中,(4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3}) 4?33 ?(4+33 ?)(4+3 ?)?=(4?3 ?)
  3. ∵ ( ? 2 + 3 ) 33 + 10 ( 7 ? 3 3 ) = 4 + 3 3 \because(-2+ \sqrt{3}) 33+10(7-3 \sqrt{3})=4+3 \sqrt{3} (?2+3 ?)33+10(7?33 ?)=4+33 ? ∴ 4 + 3 3 \therefore 4+3 \sqrt{3} 4+33 ? ( 33 , 7 ? 3 3 ) 中 (33,7-3 \sqrt{3})中 (33,7?33 ?)
    ∵ ( ? 12 + 9 3 ) ( 4 + 3 3 ) = 33 , ( ? 5 + 3 3 ) ( 4 + 3 3 ) = 7 ? 3 3 \because(-12+9 \sqrt{3})(4+3 \sqrt{3})=33, \quad(-5+3 \sqrt{3})(4+3 \sqrt{3})=7-3 \sqrt{3} (?12+93 ?)(4+33 ?)=33,(?5+33 ?)(4+33 ?)=7?33 ?
    ∴ 33 , 7 ? 3 3 \therefore 33,7-3 \sqrt{3} 33,7?33 ? ( 4 + 3 3 ) (4+3 \sqrt{3}) (4+33 ?)
    ∴ ( 33 , 7 ? 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) \therefore(33,7-3 \sqrt{3})=(4+3\sqrt{3}) (33,7?33 ?)=(4+33 ?)
  4. ∵ ( ? 1 ? 3 ) ( 7 + 5 3 ) + ( ? 2 + 3 ) 13 = 4 + 3 \because(-1-\sqrt{3})(7+5 \sqrt{3})+(-2+\sqrt{3}) 13=4+\sqrt{3} (?1?3 ?)(7+53 ?)+(?2+3 ?)13=4+3 ? ∴ 4 + 3 在 ( 13 , 7 + 5 3 ) 中 \therefore4+\sqrt{3} 在 (13,7+5 \sqrt{3}) 中 4+3 ?(13,7+53 ?) ∵ ( 4 ? 3 ) ( 4 + 3 ) = 13 , ( 1 + 3 ) ( 4 + 3 ) = 7 + 5 3 ∴ 13 , 7 + 5 3 ?在? ( 4 + 3 ) 中 ∴ ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) \begin{aligned} & \because(4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3})=13,(1+\sqrt{3})(4+\sqrt{3})=7+5 \sqrt{3} \\ & \therefore \quad 13,7+5 \sqrt{3} \text { 在 }(4+\sqrt{3})中\\ & \therefore \quad(13,7+5 \sqrt{3})=(4+\sqrt{3}) \end{aligned} ?(4?3 ?)(4+3 ?)=13,(1+3 ?)(4+3 ?)=7+53 ?13,7+53 ???(4+3 ?)(13,7+53 ?)=(4+3 ?)?

题目2

在这里插入图片描述

令域扩展 K = Q ( ? 1 ) K = \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) K=Q(?1 ?),试在 O K \mathcal{O}_K OK? K K K 的整环)中:

  1. 求出范为1,2,3,4,5的全部理想;
  2. 求出主理想(2),(3),(4),(5)的素理想分解。

相关概念

  1. (题1) K = Q ( ? 1 ) K = \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) K=Q(?1 ?) 的整环 O K \mathcal{O}_K OK? 是高斯整数环 Z [ ? 1 ] \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] Z[?1 ?]。高斯整数环是由形式为 a + b ? 1 a + b\sqrt{-1} a+b?1 ? 的数构成的环,其中 a , b ∈ Z a, b \in \mathbb{Z} a,bZ

  2. (题1)范(Norm) 的定义:对于高斯整数 α = a + b ? 1 \alpha = a + b\sqrt{-1} α=a+b?1 ?,其范定义为 N ( α ) = a 2 + b 2 N(\alpha) = a^2 + b^2 N(α)=a2+b2

  3. (题2)在 Z [ ? 1 ] \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] Z[?1 ?] 中进行素理想分解,首先需要了解该环的素元素。高斯整数环中的素元素可以是:

    • 普通素数 p p p,如果 p ≡ 3 m o d ?? 4 p \equiv 3 \mod 4 p3mod4
    • 两个高斯整数的乘积,如果普通素数 p ≡ 1 m o d ?? 4 p \equiv 1 \mod 4 p1mod4
    • 1 + ? 1 1 + \sqrt{-1} 1+?1 ? 和其共轭。

题解

1. 求出范为1,2,3,4,5的全部理想

  1. 范为1的理想:只有单位理想和整环本身。
  2. 范为2的理想:包括 ( 1 + ? 1 ) (1 + \sqrt{-1}) (1+?1 ?) 和它的共轭 ( 1 ? ? 1 ) (1 - \sqrt{-1}) (1??1 ?)
  3. 范为3的理想:无,因为没有高斯整数的范为3。
  4. 范为4的理想:包括 ( 2 ) (2) (2), ( 2 ? 1 ) (2\sqrt{-1}) (2?1 ?)
  5. 范为5的理想:无,因为没有高斯整数的范为5。

2. 求出主理想(2),(3),(4),(5)的素理想分解

  1. (2) 的素理想分解 ( 2 ) (2) (2) 本身就是一个素理想,因为 2 = ( 1 + ? 1 ) ( 1 ? ? 1 ) 2 = (1 + \sqrt{-1})(1 - \sqrt{-1}) 2=(1+?1 ?)(1??1 ?),而 1 ± ? 1 1 \pm \sqrt{-1} 1±?1 ? Z [ ? 1 ] \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] Z[?1 ?] 中是不可约的。
  2. (3) 的素理想分解 ( 3 ) (3) (3) 是素理想,因为 3 是普通素数且 3 ≡ 3 m o d ?? 4 3 \equiv 3 \mod 4 33mod4
  3. (4) 的素理想分解 ( 4 ) = ( 2 ) 2 (4) = (2)^2 (4)=(2)2。由于 ( 2 ) (2) (2) 已经是素理想,因此 ( 4 ) (4) (4) 的分解就是 ( 2 ) (2) (2) 的平方。
  4. (5) 的素理想分解:对于 ( 5 ) (5) (5),由于 5 ≡ 1 m o d ?? 4 5 \equiv 1 \mod 4 51mod4,它可以分解为两个不同的高斯整数的乘积。具体来说, 5 = ( 2 + ? 1 ) ( 2 ? ? 1 ) 5 = (2 + \sqrt{-1})(2 - \sqrt{-1}) 5=(2+?1 ?)(2??1 ?),因此 ( 5 ) = ( 2 + ? 1 ) ( 2 ? ? 1 ) (5) = (2 + \sqrt{-1})(2 - \sqrt{-1}) (5)=(2+?1 ?)(2??1 ?)。其中 ( 2 ± ? 1 ) (2 \pm \sqrt{-1}) (2±?1 ?) 都是素理想。

文章来源:https://blog.csdn.net/wtyuong/article/details/135219416
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