【代数学作业5】理想的分解:高斯整数环中理想的结构,并根据其范数和素数的性质进行分解
【代数学作业5】理想的分解
- 写在最前面
- 题目1
- 相关概念
- 题解分析
- 1. ( 1 + 3 ) = ( 1 ? 3 ) (1 + \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3}) (1+3?)=(1?3?)
- 2. ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 ? 3 ) (4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3}) (4+3?)?=(4?3?)
- 3. ( 33 , 7 ? 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) (33, 7 - 3\sqrt{3}) = (4 + 3\sqrt{3}) (33,7?33?)=(4+33?)
- 4. ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) (13, 7 + 5\sqrt{3}) = (4 + \sqrt{3}) (13,7+53?)=(4+3?)
- 题解
- 题目2
- 相关概念
- 题解
- 1. 求出范为1,2,3,4,5的全部理想
- 2. 求出主理想(2),(3),(4),(5)的素理想分解
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这些分解展示了在高斯整数环中理想的结构,以及如何根据其范数和素数的性质进行分解。
题目1
令域扩展 K = Q ( 3 ) K = \mathbb{Q}(\sqrt{3}) K=Q(3?),证明以下等式在 O K \mathcal{O}_K OK?( K K K 的整环)中的成立:
- ( 1 + 3 ) = ( 1 ? 3 ) (1 + \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3}) (1+3?)=(1?3?)
- ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 ? 3 ) (4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3}) (4+3?)?=(4?3?)
- ( 33 , 7 ? 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) (33, 7 - 3\sqrt{3}) = (4 + 3\sqrt{3}) (33,7?33?)=(4+33?)
- ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) (13, 7 + 5\sqrt{3}) = (4 + \sqrt{3}) (13,7+53?)=(4+3?)
相关概念
-
域扩展(Field Extension): 如果有两个域 F F F 和 K K K,且 F ? K F \subseteq K F?K,则称 K K K 是 F F F 的一个域扩展。在本题中, K = Q ( 3 ) K = \mathbb{Q}(\sqrt{3}) K=Q(3?) 表示包含所有形式为 a + b 3 a + b\sqrt{3} a+b3?(其中 a , b ∈ Q a, b \in \mathbb{Q} a,b∈Q)的数的域,这是有理数域 Q \mathbb{Q} Q 的一个扩展。
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整环(Ring of Integers): 一个整环是一种特殊的环,它是交换的,有单位元素,且没有零因子。对于数域 K K K,其整环 O K \mathcal{O}_K OK? 是 K K K 中所有代数整数的集合。代数整数是指满足某个以整数为系数的首一多项式(其最高次项系数为1)的方程的根。
-
理想(Ideal): 在环论中,一个理想是指一个环中的特定子集,它可以通过环的操作与环中的其他元素相结合而不离开这个子集。
题解分析
1. ( 1 + 3 ) = ( 1 ? 3 ) (1 + \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3}) (1+3?)=(1?3?)
要证明这个等式,我们需要找到一个数 α \alpha α 使得 α ( 1 ? 3 ) = 1 + 3 \alpha(1 - \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3} α(1?3?)=1+3?。我们可以尝试使用数 ? 2 ? 3 -2 - \sqrt{3} ?2?3? 和 ? 2 + 3 -2 + \sqrt{3} ?2+3?:
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这说明 ( 1 + 3 ) (1 + \sqrt{3}) (1+3?) 可以由 ( 1 ? 3 ) (1 - \sqrt{3}) (1?3?) 生成,反之亦然。因此, ( 1 + 3 ) = ( 1 ? 3 ) (1 + \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3}) (1+3?)=(1?3?)。
2. ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 ? 3 ) (4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3}) (4+3?)?=(4?3?)
要证明这个不等式,我们需要证明没有数 α \alpha α 使得 α ( 4 ? 3 ) = 4 + 3 \alpha(4 - \sqrt{3}) = 4 + \sqrt{3} α(4?3?)=4+3?。假设存在这样的数 α = a + b 3 \alpha = a + b\sqrt{3} α=a+b3?,我们得到:
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通过比较实部和虚部,我们得到:
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?*?}? 4a + 3b &= 4 \…
解这个方程组,我们发现没有符合条件的整数解。因此, ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 ? 3 ) (4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3}) (4+3?)?=(4?3?)。
3. ( 33 , 7 ? 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) (33, 7 - 3\sqrt{3}) = (4 + 3\sqrt{3}) (33,7?33?)=(4+33?)
要证明这个等式,我们需要证明两个理想的每个生成元都可以由另一个理想生成。首先,我们找到一个数 α \alpha α 使得 α ( 33 ) + β ( 7 ? 3 3 ) = 4 + 3 3 \alpha(33) + \beta(7 - 3\sqrt{3}) = 4 + 3\sqrt{3} α(33)+β(7?33?)=4+33?。通过解方程,我们发现:
( ? 2 + 3 ) 33 + 10 ( 7 ? 3 3 ) = 4 + 3 3 (-2+ \sqrt{3}) 33 + 10(7 - 3 \sqrt{3}) = 4 + 3 \sqrt{3} (?2+3?)33+10(7?33?)=4+33?
这说明 4 + 3 3 4 + 3 \sqrt{3} 4+33? 在 ( 33 , 7 ? 3 3 ) (33, 7 - 3 \sqrt{3}) (33,7?33?) 中。接着,我们需要证明 33 33 33 和 7 ? 3 3 7 - 3 \sqrt{3} 7?33? 可以由 ( 4 + 3 3 ) (4 + 3 \sqrt{3}) (4+33?) 生成。通过一些计算,我们发现:
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这说明 33 33 33 和 7 ? 3 3 7 - 3 \sqrt{3} 7?33? 都在 ( 4 + 3 3 ) (4 + 3 \sqrt{3}) (4+33?) 中。因此, ( 33 , 7 ? 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) (33, 7 - 3\sqrt{3}) = (4 + 3\sqrt{3}) (33,7?33?)=(4+33?)。
4. ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) (13, 7 + 5\sqrt{3}) = (4 + \sqrt{3}) (13,7+53?)=(4+3?)
同样,要证明这个等式,我们需要证明两个理想的每个生成元都可以由另一个理想生成。首先,我们找到一个数 α \alpha α 使得 α ( 13 ) + β ( 7 + 5 3 ) = 4 + 3 \alpha(13) + \beta(7 + 5\sqrt{3}) = 4 + \sqrt{3} α(13)+β(7+53?)=4+3?。通过解方程,我们发现:
( ? 1 ? 3 ) ( 7 + 5 3 ) + ( ? 2 + 3 ) 13 = 4 + 3 (-1-\sqrt{3})(7+5 \sqrt{3}) + (-2+\sqrt{3}) 13 = 4 + \sqrt{3} (?1?3?)(7+53?)+(?2+3?)13=4+3?
这说明 4 + 3 4 + \sqrt{3} 4+3? 在 ( 13 , 7 + 5 3 ) (13, 7 + 5 \sqrt{3}) (13,7+53?) 中。接着,我们需要证明 13 13 13 和 7 + 5 3 7 + 5 \sqrt{3} 7+53? 可以由 ( 4 + 3 ) (4 + \sqrt{3}) (4+3?) 生成。通过一些计算,我们发现:
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?*?}? (4 - \sqrt{3})…
这说明 13 13 13 和 7 + 5 3 7 + 5 \sqrt{3} 7+53? 都在 ( 4 + 3 ) (4 + \sqrt{3}) (4+3?) 中。因此, ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) (13, 7 + 5\sqrt{3}) = (4 + \sqrt{3}) (13,7+53?)=(4+3?)。
题解
- ∵ ( ? 2 ? 3 ) ( 1 ? 3 ) = 1 + 3 . ( ? 2 + 3 ) ( 1 + 3 ) = 1 ? 3 . \because \begin{aligned} & (-2-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1+\sqrt{3} . \\ & (-2+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=1-\sqrt{3} . \end{aligned} ∵?(?2?3?)(1?3?)=1+3?.(?2+3?)(1+3?)=1?3?.? ∴ ( 1 + 3 ) 生 成 元 在 ( 1 ? 3 ) 中 , ( 1 ? 3 ) 生 成 元 在 ( 1 + 3 ) 中 。 \therefore(1+\sqrt{3}) 生成元在 (1-\sqrt{3}) 中, (1-\sqrt{3}) 生成元在 (1+\sqrt{3}) 中 。 ∴(1+3?)生成元在(1?3?)中,(1?3?)生成元在(1+3?)中。 ∴ ( 1 + 3 ) = ( 1 ? 3 ) \therefore(1+\sqrt{3})=(1-\sqrt{3}) ∴(1+3?)=(1?3?)
- ∵ { 4 a + 3 b = 4 a + 4 b = ? 1 ? b = 0 ? { a = 1 a = ? 1 ?矛盾.? \because \left\{\begin{array}{l} 4 a+3 b=4 \\ a+4 b=-1 \end{array} \Rightarrow b=0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} a=1 \\ a=-1 \end{array}\right. \text { 矛盾. }\right. ∵{4a+3b=4a+4b=?1??b=0?{a=1a=?1??矛盾.? ∴ 4 ? 3 3 在 ( 4 + 3 3 ) 中 , ( 4 + 3 ) ≠ ( 4 ? 3 ) \therefore 4-3 \sqrt{3}在 (4+3 \sqrt{3})中,(4 + \sqrt{3}) \neq (4 - \sqrt{3}) ∴4?33?在(4+33?)中,(4+3?)?=(4?3?)
-
∵
(
?
2
+
3
)
33
+
10
(
7
?
3
3
)
=
4
+
3
3
\because(-2+ \sqrt{3}) 33+10(7-3 \sqrt{3})=4+3 \sqrt{3}
∵(?2+3?)33+10(7?33?)=4+33?,
∴
4
+
3
3
\therefore 4+3 \sqrt{3}
∴4+33? 在
(
33
,
7
?
3
3
)
中
(33,7-3 \sqrt{3})中
(33,7?33?)中
∵ ( ? 12 + 9 3 ) ( 4 + 3 3 ) = 33 , ( ? 5 + 3 3 ) ( 4 + 3 3 ) = 7 ? 3 3 \because(-12+9 \sqrt{3})(4+3 \sqrt{3})=33, \quad(-5+3 \sqrt{3})(4+3 \sqrt{3})=7-3 \sqrt{3} ∵(?12+93?)(4+33?)=33,(?5+33?)(4+33?)=7?33?
∴ 33 , 7 ? 3 3 \therefore 33,7-3 \sqrt{3} ∴33,7?33? 在 ( 4 + 3 3 ) (4+3 \sqrt{3}) (4+33?) 中
∴ ( 33 , 7 ? 3 3 ) = ( 4 + 3 3 ) \therefore(33,7-3 \sqrt{3})=(4+3\sqrt{3}) ∴(33,7?33?)=(4+33?) - ∵ ( ? 1 ? 3 ) ( 7 + 5 3 ) + ( ? 2 + 3 ) 13 = 4 + 3 \because(-1-\sqrt{3})(7+5 \sqrt{3})+(-2+\sqrt{3}) 13=4+\sqrt{3} ∵(?1?3?)(7+53?)+(?2+3?)13=4+3?, ∴ 4 + 3 在 ( 13 , 7 + 5 3 ) 中 \therefore4+\sqrt{3} 在 (13,7+5 \sqrt{3}) 中 ∴4+3?在(13,7+53?)中 ∵ ( 4 ? 3 ) ( 4 + 3 ) = 13 , ( 1 + 3 ) ( 4 + 3 ) = 7 + 5 3 ∴ 13 , 7 + 5 3 ?在? ( 4 + 3 ) 中 ∴ ( 13 , 7 + 5 3 ) = ( 4 + 3 ) \begin{aligned} & \because(4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3})=13,(1+\sqrt{3})(4+\sqrt{3})=7+5 \sqrt{3} \\ & \therefore \quad 13,7+5 \sqrt{3} \text { 在 }(4+\sqrt{3})中\\ & \therefore \quad(13,7+5 \sqrt{3})=(4+\sqrt{3}) \end{aligned} ?∵(4?3?)(4+3?)=13,(1+3?)(4+3?)=7+53?∴13,7+53??在?(4+3?)中∴(13,7+53?)=(4+3?)?
题目2
令域扩展 K = Q ( ? 1 ) K = \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) K=Q(?1?),试在 O K \mathcal{O}_K OK?( K K K 的整环)中:
- 求出范为1,2,3,4,5的全部理想;
- 求出主理想(2),(3),(4),(5)的素理想分解。
相关概念
-
(题1) K = Q ( ? 1 ) K = \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) K=Q(?1?) 的整环 O K \mathcal{O}_K OK? 是高斯整数环 Z [ ? 1 ] \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] Z[?1?]。高斯整数环是由形式为 a + b ? 1 a + b\sqrt{-1} a+b?1? 的数构成的环,其中 a , b ∈ Z a, b \in \mathbb{Z} a,b∈Z。
-
(题1)范(Norm) 的定义:对于高斯整数 α = a + b ? 1 \alpha = a + b\sqrt{-1} α=a+b?1?,其范定义为 N ( α ) = a 2 + b 2 N(\alpha) = a^2 + b^2 N(α)=a2+b2。
-
(题2)在 Z [ ? 1 ] \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] Z[?1?] 中进行素理想分解,首先需要了解该环的素元素。高斯整数环中的素元素可以是:
- 普通素数 p p p,如果 p ≡ 3 m o d ?? 4 p \equiv 3 \mod 4 p≡3mod4。
- 两个高斯整数的乘积,如果普通素数 p ≡ 1 m o d ?? 4 p \equiv 1 \mod 4 p≡1mod4。
- 1 + ? 1 1 + \sqrt{-1} 1+?1? 和其共轭。
题解
1. 求出范为1,2,3,4,5的全部理想
- 范为1的理想:只有单位理想和整环本身。
- 范为2的理想:包括 ( 1 + ? 1 ) (1 + \sqrt{-1}) (1+?1?) 和它的共轭 ( 1 ? ? 1 ) (1 - \sqrt{-1}) (1??1?)。
- 范为3的理想:无,因为没有高斯整数的范为3。
- 范为4的理想:包括 ( 2 ) (2) (2), ( 2 ? 1 ) (2\sqrt{-1}) (2?1?)。
- 范为5的理想:无,因为没有高斯整数的范为5。
2. 求出主理想(2),(3),(4),(5)的素理想分解
- (2) 的素理想分解: ( 2 ) (2) (2) 本身就是一个素理想,因为 2 = ( 1 + ? 1 ) ( 1 ? ? 1 ) 2 = (1 + \sqrt{-1})(1 - \sqrt{-1}) 2=(1+?1?)(1??1?),而 1 ± ? 1 1 \pm \sqrt{-1} 1±?1? 在 Z [ ? 1 ] \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] Z[?1?] 中是不可约的。
- (3) 的素理想分解: ( 3 ) (3) (3) 是素理想,因为 3 是普通素数且 3 ≡ 3 m o d ?? 4 3 \equiv 3 \mod 4 3≡3mod4。
- (4) 的素理想分解: ( 4 ) = ( 2 ) 2 (4) = (2)^2 (4)=(2)2。由于 ( 2 ) (2) (2) 已经是素理想,因此 ( 4 ) (4) (4) 的分解就是 ( 2 ) (2) (2) 的平方。
- (5) 的素理想分解:对于 ( 5 ) (5) (5),由于 5 ≡ 1 m o d ?? 4 5 \equiv 1 \mod 4 5≡1mod4,它可以分解为两个不同的高斯整数的乘积。具体来说, 5 = ( 2 + ? 1 ) ( 2 ? ? 1 ) 5 = (2 + \sqrt{-1})(2 - \sqrt{-1}) 5=(2+?1?)(2??1?),因此 ( 5 ) = ( 2 + ? 1 ) ( 2 ? ? 1 ) (5) = (2 + \sqrt{-1})(2 - \sqrt{-1}) (5)=(2+?1?)(2??1?)。其中 ( 2 ± ? 1 ) (2 \pm \sqrt{-1}) (2±?1?) 都是素理想。
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