具体数学复习篇——第三章整值函数01取整（平常作业题中有谱的分割证明，复习仍然还需注意）

（简单回顾）顶和底的概念，极值不等式

顶就是ceiling向上取整，底就是floor向下取整

这两个式子成立的区间有且仅有一个整数（x和x-1相差1，x和x+1也相差1）

ceiling和floor是关于x轴和y轴对称的（先x轴再y轴或先y轴后x轴） 而不是关于y=x对称

例：在后面不等式增多的情况下忘记了可以进行画图现场推导

顶和底的应用1——?f(x)?= ?f(?x?)?

3.7式记忆的方法就是，因为下取整肯定左边要跨等号，那么右边就没有；向上取整也这么记就ok（拿到上取整和下取整不影响两边整数）

顶和底的应用2——求任意两个数区间内整数的个数

对于区间端点都是整数的情况：左开右闭，左闭右开，都开，都闭

对于区间端点是任意实数α和β的情况：将其转化为区间端点都是整数

其推导就按照3.7式进行，x作为任意实数大于等于一个整数那就用下取整，小于等于一个整数那就上取整，看符号情况选择3.7公式的式子

第四种情况：[α，β]左右都闭的情况也同样，动手复习一下（要注意个数是两个整数相减再加1）

例子：求1到1000之间，开立方根之后能被n整除的数个数

注意进行分段处理，设定k从1取到9，最后一行单独处理，能整除k的数转换为了【k平方，k+1)^3除以k）这个区间的长度

顶和底的应用3——实数的谱（spectrum）

由整数组成一个无限重集，α下取整，2α下取整.......

且有性质，两数不同则其谱不同

根2和2+根2的谱对正整数进行了划分（集合A的划分就是划分该集合的每一个子集相交都为空集，但是并起来是这个集合A）

对此证明的过程就是，证明对任意的整数n，根2谱系里小于等于n的数和2+根2谱系里小于等于n的数个数相加为n

?3.7公式里面下取整右边是小于号，而这里是小于等于，于是我们将≤n转化为<n+1去用公式，对于k下限的设置，因为α是任意的所以可能(n+1)/α是小于1的，因此k虽然取1,2，............，k≥1，等价于k>0

因为根2和2+根2是无理数，所有肯定有小数部分，于是可以拆分为整数部分+小数部分，并且上取整减去1为下取整

由于 (n+1)/根2和(n+1)/根2+2 相加是个整数，而整数部分加起来肯定是个整数，所以小数部分相加应该肯定也是整数，而两个小数部分相加范围为大于等于0到小于2，所以这两个小数部分加起来应该是1，证毕。