微积分-三角函数2

三角函数

在上一节中，讨论了如何在直角三角形中定义三角函数，限制让我们扩展三角函数的定义域。
事实上我们可以取任意角的正弦和余弦，而不只是局限于$0$~$\frac{\pi }{2}$当中。
当然需要注意的是，正切函数对不是对任意角都成立。如$tan(\frac{\pi }{2})$就是无定义的。

我们先从$0$~$2\pi$之间的角开始。我们需要从坐标平面中来定义三角函数。

坐标轴将坐标平面分成了四个象限。分别称为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。我们可以看到象限标记的走向是逆时针。大家可能已经注意到了坐标轴上的数字了。我想大家已经猜出它们是什么了。它们表示的是标记表示的从原点出发射线与x正半轴的夹角的弧度。或者说是从原点出发射线在x轴正半轴逆时针转动的弧度。

如果顺时针转动则弧度是负的

让我们取某个角$\theta$，并在坐标平面中画出来

这里要注意，这里是将射线标记为θ，而不是角本身。我们在射线θ上选取一点$(x,y)并从该点画一条垂线至x。

图片中标记出了三个量。该点的x坐标和y坐标，以及该点到原点的距离r。有了这三个点我们便可以定义如下的三角函数：
$$sin(\theta )=\frac{y}{r},cos(\theta )=\frac{x}{r},tan(\theta )=\frac{y}{x}$$
这与上一节的公式是一样的。上图中我们构造了一个直角三角形，其中x、y、r分别是邻边、对比、斜边。

为了方便计算，我们常常假设$r=1$。这样得到的点$(x,y)$就会落在单位圆上。上述的公式也可以简化为
$$sin(\theta )=y,cos(\theta )=x,tan(\theta )=\frac{y}{x}$$
我们怎么求解三角函数呢？让我们来看一个具体的例子，求$sin(\frac{4\pi }{3})$。让我们画出它的图像。

我们知道$sin(\theta )=y$,所以求$sin(\frac{4\pi }{3})$就需要求出$y$多少。让我们把目光放在图像中构造出来三角形中。$y$的绝对值就是这个三角形θ角的对边的长度。上一节中我们说过$sin(\theta )=\frac{对边}{斜边}$，我们已经假设了$r=1$。所以$|y|=sin(\alpha )$。

$\alpha$是角$\frac{4\pi }{3}$的射线与x轴负半轴的夹角。所以我们有$\alpha =\pi ?\frac{4\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$。
我们有$|sin(\frac{4\pi }{3})|=sin(\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

我们怎么确定它的符号呢？很简单看象限就可以了。角$\frac{4\pi }{3}$在第三象限，所以$y<0$。最终我们可以得到$sin(\frac{4\pi }{3})=?sin(\frac{\pi }{3})=?\frac{\sqrt{3}}{2}$

这个小角称为参考角，一般来说参考角是角$\theta$的射线与x轴之间最小的角。它介于0~$2\pi$之间。角$\theta$的三角函数的绝对值与参考角的三角函数值一致。角$\theta$的符号取决于它射线所在的象限。