代码随想录算法训练营 | day53 动态规划 1143.最长公共子序列，1035.不相交的线，53.最大子序和

刷题

1143.最长公共子序列

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题目：给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

• 输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"

• 输出：3

• 解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。

示例 2:

• 输入：text1 = "abc", text2 = "abc"

• 输出：3

• 解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。

示例 3:

• 输入：text1 = "abc", text2 = "def"

• 输出：0

• 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。

提示:

• 1 <= text1.length <= 1000

• 1 <= text2.length <= 1000 输入的字符串只含有小写英文字符。

思路及实现

本题和动态规划：718. 最长重复子数组?区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序，即："ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

继续动规五部曲分析如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i] [j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dpi

有同学会问：为什么要定义长度为[0, i - 1]的字符串text1，定义为长度为[0, i]的字符串text1不香么？

这样定义是为了后面代码实现方便，如果非要定义为长度为[0, i]的字符串text1也可以，我在 动态规划：718. 最长重复子数组中的「拓展」里 详细讲解了区别所在，其实就是简化了dp数组第一行和第一列的初始化逻辑。

2.确定递推公式

主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。

即：dp[i] [j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i] [j - 1]);

代码如下：

if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
 ? ?dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
 ? ?dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}

3.dp数组如何初始化

先看看dp[i] [0]应该是多少呢？

test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dpi = 0;

同理dp[0] [j]也是0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

4.确定遍历顺序

从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i] [j]，如图：

那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

5.举例推导dp数组

以输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图：

最后红框dp[text1.size()] [text2.size()]为最终结果

以上分析完毕，代码如下：

/*
    二维dp数组
*/
class Solution {
 ? ?public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
 ? ? ? ?// char[] char1 = text1.toCharArray();
 ? ? ? ?// char[] char2 = text2.toCharArray();
    // 可以在一開始的時候就先把text1, text2 轉成char[]，之後就不需要有這麼多爲了處理字串的調整
    // 就可以和卡哥的code更一致
    
 ? ? ? ?int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1]; // 先对dp数组做初始化操作
 ? ? ? ?for (int i = 1 ; i <= text1.length() ; i++) {
 ? ? ? ? ? ?char char1 = text1.charAt(i - 1);
 ? ? ? ? ? ?for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
 ? ? ? ? ? ? ? ?char char2 = text2.charAt(j - 1);
 ? ? ? ? ? ? ? ?if (char1 == char2) { // 开始列出状态转移方程
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
 ? ? ? ? ? ? ?  } else {
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
 ? ? ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?return dp[text1.length()][text2.length()];
 ?  }
}
?
?
?
/**
    一维dp数组
*/
class Solution {
 ? ?public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
 ? ? ? ?int n1 = text1.length();
 ? ? ? ?int n2 = text2.length();
?
 ? ? ? ?// 多从二维dp数组过程分析 ?
 ? ? ? ?// 关键在于  如果记录  dp[i - 1][j - 1]
 ? ? ? ?// 因为 dp[i - 1][j - 1]  <!=>  dp[j - 1]  <=>  dp[i][j - 1]
 ? ? ? ?int [] dp = new int[n2 + 1];
?
 ? ? ? ?for(int i = 1; i <= n1; i++){
?
 ? ? ? ? ? ?// 这里pre相当于 dp[i - 1][j - 1]
 ? ? ? ? ? ?int pre = dp[0];
 ? ? ? ? ? ?for(int j = 1; j <= n2; j++){
?
 ? ? ? ? ? ? ? ?//用于给pre赋值
 ? ? ? ? ? ? ? ?int cur = dp[j];
 ? ? ? ? ? ? ? ?if(text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)){
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?//这里pre相当于dp[i - 1][j - 1] ? 千万不能用dp[j - 1] !!
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[j] = pre + 1;
 ? ? ? ? ? ? ?  } else{
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?// dp[j] ? ? 相当于 ? dp[i - 1][j]
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?// dp[j - 1] 相当于 ? dp[i][j - 1]
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1]);
 ? ? ? ? ? ? ?  }
?
 ? ? ? ? ? ? ? ?//更新dp[i - 1][j - 1], 为下次使用做准备
 ? ? ? ? ? ? ? ?pre = cur;
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ?  }
?
 ? ? ? ?return dp[n2];
 ?  }
}

1035.不相交的线

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题目：我们在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 A 和 B 中的整数。

现在，我们可以绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且我们绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

以这种方法绘制线条，并返回我们可以绘制的最大连线数。

思路及实现

绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交！

直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。

拿示例一A = [1,4,2], B = [1,2,4]为例，相交情况如图：

其实也就是说A和B的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）

这么分析完之后，大家可以发现：本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！

那么本题就和题目动态规划：1143.最长公共子序列?就是一样一样的了。

代码如下：

class Solution {
 ? ?public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
 ? ? ? ?int len1 = nums1.length;
 ? ? ? ?int len2 = nums2.length;
 ? ? ? ?int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
?
 ? ? ? ?for (int i = 1; i <= len1; i++) {
 ? ? ? ? ? ?for (int j = 1; j <= len2; j++) {
 ? ? ? ? ? ? ? ?if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
 ? ? ? ? ? ? ?  } else {
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
 ? ? ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ?  }
?
 ? ? ? ?return dp[len1][len2];
 ?  }
}

53.最大子序和

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题目：给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

• 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

• 输出: 6

• 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

思路及实现

动规五部曲如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

2.确定递推公式

dp[i]只有两个方向可以推出来：

• dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和

• nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

3.dp数组如何初始化

从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。

dp[0]应该是多少呢?

根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

4.确定遍历顺序

递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。

5.举例推导dp数组

以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：

注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]！ ，而是dp[6]。

在回顾一下dp[i]的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。

那么我们要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。

所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]。

以上动规五部曲分析完毕，完整代码如下：

public static int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }

        int res = nums[0];
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            res = res > dp[i] ? res : dp[i];
        }
        return res;
    }