【数学建模】《实战数学建模:例题与讲解》第十三讲-相关分析(含Matlab代码)

2023-12-15 16:33:12

本系列侧重于例题实战与讲解,希望能够在例题中理解相应技巧。文章开头相关基础知识只是进行简单回顾,读者可以搭配课本或其他博客了解相应章节,然后进入本文正文例题实战,效果更佳。

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基本概念

  1. 变量类型:在进行相关分析之前,首先要确定所研究的变量类型。这些变量可以是连续的(如身高、体重)或者离散的(如性别、婚姻状况)。
  2. 相关系数:相关分析的核心是计算相关系数,这是一个度量值,表明两个变量之间的关系有多紧密。最常用的相关系数是皮尔逊相关系数(Pearson correlation coefficient),用于度量两个连续变量之间的线性关系。
  3. 线性与非线性关系:皮尔逊相关系数主要用于评估线性关系。对于非线性关系,可能需要使用其他类型的相关系数,如斯皮尔曼等级相关系数(Spearman’s rank correlation coefficient)。
  4. 方向:相关系数的值范围通常在-1到+1之间。一个正的相关系数意味着一个变量增加时,另一个变量也增加;负的相关系数则意味着一个变量增加时,另一个变量减少。
  5. 统计显著性:仅仅计算出相关系数是不够的,还需要评估这种相关性是否具有统计显著性。通常,这通过进行假设检验(如t检验)来实现。
  6. 因果关系:值得注意的是,即使两个变量之间存在强相关性,也不能自动推断出因果关系。相关性只能揭示变量之间的关联,而不是因果。

本文中的相关知识:

典型相关分析

计算两组变量(表示为 X 组和 Y 组)的典型变量,这些典型变量是通过线性组合构成,目的是最大化两组变量间的相关性。
计算原始变量与典型变量之间的相关系数,这展示了原始变量与新构造的典型变量之间的关联强度。
分析典型变量之间的典型相关系数,这反映了两组变量间的整体关联强度。

综合评价模型

用于评估多个指标的综合影响。在这个例子中,使用了无量纲化方法来处理不同单位或量级的数据,使得比较和评估成为可能。
使用欧氏距离和绝对值距离来评估不同湖泊水质的富营养化等级。

对应分析

这是一种用于探索分类数据的多元统计技术,它可以揭示分类变量之间的关系。在这个例子中,通过对应分析可以看出不同地区和指标之间的关系。

因子分析

用于数据简化和变量归约。在这个例子中,通过因子分析将多个变量简化为少数几个因子,从而使得解释变得更加简洁。

聚类分析

包括 R 型和 Q 型聚类,分别用于变量和样本点的分类。通过聚类分析,可以将变量或样本点分为不同的组,从而发现数据的内在结构。

习题10.4

1. 题目要求

image-20230610131437705

2.解题过程

解:

  1. 根据计算,我们得到了 X \mathbf{X} X 组的典型变量为:
    u 1 = 0.7689 x 1 + 0.2721 x 2 u_1=0.7689x_1+0.2721x_2 u1?=0.7689x1?+0.2721x2?

    u 2 = ? 1.4787 x 1 + 1.6443 x 2 u_2=-1.4787x_1+1.6443x_2 u2?=?1.4787x1?+1.6443x2?

  2. 我们也得到了原始变量与 X \mathbf{X} X 组典型变量之间的相关系数(如表 1)、原始变量与 Y \mathbf{Y} Y 组典型变量之间的相关系数(如表 2),以及两组典型变量之间的典型相关系数(如表 3)。

    表 1:原始变量与 X 组典型变量之间的相关系数

    x 1 x_{1} x1? x 2 x_{2} x2? y 1 y_{1} y1? y 2 y_{2} y2? y 3 y_{3} y3?
    u 1 u_{1} u1?0.9865860.8872150.2897050.6757040.35394
    u 2 u_{2} u2?-0.163240.4613560.158162-0.020580.05631

    表 2:原始变量与 Y 组典型变量之间的相关系数

    x 1 x_{1} x1? x 2 x_{2} x2? y 1 y_{1} y1? y 2 y_{2} y2? y 3 y_{3} y3?
    v 1 v_{1} v1?0.678720.6103580.4211150.9822030.514487
    v 2 v_{2} v2?-0.03050.0862120.846397-0.110140.301341

    表 3:两组典型变量之间的典型相关系数

    10.6879
    20.1869

    从这些表中,我们可以看到,两个表示外出活动特性的变量 x 1 x_1 x1? x 2 x_2 x2? u 1 u_1 u1? 的相关系数较大,说明 u 1 u_1 u1? 可以被视为形容外出活动特性的指标。在第一对典型变量中, v 1 v_1 v1? y 2 y_2 y2? (代表家庭年收入)的相关系数较大,因此我们可以认为 v 1 v_1 v1? 主要代表了家庭的年收入。此外, u 1 u_1 u1? v 1 v_1 v1? 之间的典型相关系数为 0.6879,说明这两个典型变量在一定程度上是相关的。

  3. 最后,对于原始变量的解释度, u 1 u_1 u1? v 1 v_1 v1? 解释的本组原始变量的比率分别为 0.8803 和 0.4689。这表示 u 1 u_1 u1? v 1 v_1 v1? 在一定程度上能够解释原始变量的变异。而且, X \mathbf{X} X 组的原始变量被 u 1 u_1 u1? u 2 u_2 u2? 完全(100%)解释了,而 Y \mathbf{Y} Y 组的原始变量被 v 1 v_1 v1? v 2 v_2 v2? 解释了 74.2%,说明典型变量确实能够在很大程度上表现出原始变量的特性。

3.程序

求解的MATLAB程序如下:

clc, clear;

% 加载数据
correlation_matrix = load('data104.txt');

% X组和Y组变量的数量
num_X = 2;
num_Y = 3;
num_min = min(num_X, num_Y);

% 提取X与X,Y与Y,Y与X的相关系数
correlation_XX = correlation_matrix([1:num_X], [1:num_X]);
correlation_YX = correlation_matrix([1:num_X], [num_X+1:end]);
correlation_XY = correlation_YX';
correlation_YY = correlation_matrix([num_X+1:end], [num_X+1:end]);

% 计算矩阵M1和M2
matrix_M1 = inv(correlation_XX) * correlation_YX * inv(correlation_YY) * correlation_XY;
matrix_M2 = inv(correlation_YY) * correlation_XY * inv(correlation_XX) * correlation_YX;

% 求M1的特征向量和特征值
[eigVec_M1, eigVal_M1] = eig(matrix_M1);
for i = 1:num_X
    % 特征向量归一化,满足a's1a=1,特征向量乘±1,保证所有分量和为正
    eigVec_M1(:, i) = eigVec_M1(:, i) / sqrt(eigVec_M1(:, i)' * correlation_XX * eigVec_M1(:, i));
    eigVec_M1(:, i) = eigVec_M1(:, i) / sign(sum(eigVec_M1(:, i)));
end
% 计算特征值的平方根,按照从大到小排列
eigVal_M1 = sqrt(diag(eigVal_M1));
[eigVal_M1, ind1] = sort(eigVal_M1, 'descend');

% 取出X组的系数阵和典型相关系数
coef_X = eigVec_M1(:, ind1(1:num_min));
canCorrelation_X = eigVal_M1(1:num_min);

% 求M2的特征向量和特征值
[eigVec_M2, eigVal_M2] = eig(matrix_M2);
for i = 1:num_Y
    % 特征向量归一化,满足b's2b=1,特征向量乘±1,保证所有分量和为正
    eigVec_M2(:, i) = eigVec_M2(:, i) / sqrt(eigVec_M2(:, i)' * correlation_YY * eigVec_M2(:, i));
    eigVec_M2(:, i) = eigVec_M2(:, i) / sign(sum(eigVec_M2(:, i)));
end
% 计算特征值的平方根,按照从大到小排列
eigVal_M2 = sqrt(diag(eigVal_M2));
[eigVal_M2, ind2] = sort(eigVal_M2, 'descend');

% 取出Y组的系数阵和典型相关系数
coef_Y = eigVec_M2(:, ind2(1:num_min));
canCorrelation_Y = eigVal_M2(1:num_min);

% 计算X,u;Y,v;X,v;Y,u的相关系数
correlation_XU = correlation_XX * coef_X;
correlation_YV = correlation_YY * coef_Y;
correlation_XV = correlation_YX * coef_Y;
correlation_YU = correlation_XY * coef_X;

% 计算X组、Y组原始变量被ui、vi解释的方差比例
ratio_XU = sum(correlation_XU.^2) / num_X;
ratio_XV = sum(correlation_XV.^2) / num_X;
ratio_YU = sum(correlation_YU.^2) / num_Y;
ratio_YV = sum(correlation_YV.^2) / num_Y;

% 输出结果
fprintf('X组的原始变量被u1~u%d解释的比例为%f\n', num_min, sum(ratio_XU));
fprintf('Y组的原始变量被v1~v%d解释的比例为%f\n', num_min, sum(ratio_YV));

习题10.5

1. 题目要求

image-20230610134422843

image-20230610134440152

2.解题过程

解:

在进行综合评价之前,首先要对评价的指标进行分析。通常的评价指标分为效益型、成本型和固定型指标。效益型指标是指那些数值越大影响力越大的统计指标(也称为正向型指标);成本型指标是指数值越小越好的指标(亦称为逆向型指标);而固定型指标是指数值越接近某个常数越好的指标(又称为适度型指标)。如果各评价指标的属性不一致,则在进行综合评估时容易发生偏差,必须先对各评价指标统一属性。

  1. 建立无量纲化实测数据矩阵和评价标准矩阵。实测数据矩阵为 A \mathbf{A} A 和等级标准矩阵为 B \mathbf{B} B,然后建立无量纲化实测数据矩阵 C \mathbf{C} C 和无量纲化等级标准矩阵 D \mathbf{D} D。其中, c i j c_{ij} cij? d k t d_{kt} dkt? 的计算方法如下:

    c i j c_{ij} cij? d k t d_{kt} dkt? 的计算方式:
    c i j = { a i j / max ? i a i j , if? j ≠ 3 min ? i a i j / a i j , if? j = 3 c_{ij} = \begin{cases} a_{ij} / \max_i a_{ij}, & \text{if } j \neq 3 \\ \min_i a_{ij} / a_{ij}, & \text{if } j = 3 \end{cases} cij?={aij?/maxi?aij?,mini?aij?/aij?,?if?j=3if?j=3?

    d k t = { b k t / max ? i b k t , if? k ≠ 3 min ? i b k t / b k t , if? k = 3 d_{kt} = \begin{cases} b_{kt} / \max_i b_{kt}, & \text{if } k \neq 3 \\ \min_i b_{kt} / b_{kt}, & \text{if } k = 3 \end{cases} dkt?={bkt?/maxi?bkt?,mini?bkt?/bkt?,?if?k=3if?k=3?

  2. 计算 D \mathbf{D} D 的各行向量的均值 μ i \mu_i μi?、标准差 s i s_i si? 和变异系数 w i w_i wi?,以及权向量 w \boldsymbol{w} w。计算公式如下:

    μ i \mu_i μi? s i s_i si? w i w_i wi? 的计算方式:
    μ i = 0.2 ∑ j = 1 5 d i j s i = ∑ j = 1 5 ( d i j ? μ i ) 2 4 w i = s i / μ i \mu_i = 0.2 \sum_{j=1}^{5} d_{ij} s_i = \sqrt{\frac{\sum_{j=1}^{5} (d_{ij}-\mu_i)^2}{4}} w_i = s_i / \mu_i μi?=0.2j=15?dij?si?=4j=15?(dij??μi?)2? ?wi?=si?/μi?

    w \boldsymbol{w} w 的计算方式:
    w = [ 0.277 , 0.2447 , 0.2347 , 0.2442 ] \boldsymbol{w} = [0.277,0.2447,0.2347,0.2442] w=[0.277,0.2447,0.2347,0.2442]

  3. 建立综合评价模型,计算 C \mathbf{C} C 中各个行向量到 D \mathbf{D} D 中各个列向量的欧氏距离 x i j x_{ij} xij? 和绝对值距离 y i j y_{ij} yij?。若 x i k = min ? 1 ≤ j ≤ 5 x i j x_{ik}=\min_{1\leq j\leq5}{x_{ij}} xik?=min1j5?xij? y i k = min ? 1 ≤ j ≤ 5 y i j y_{ik}=\min_{1\leq j\leq5}{y_{ij}} yik?=min1j5?yij? 则表明第 i i i 个湖泊属于第 k k k 级。

    然后,我们可以得到以下欧氏距离判别表和绝对值距离判别表。 x i j x_{ij} xij? y i j y_{ij} yij? 的计算方式:
    x i j = ∑ k = 1 4 ( c i k ? d k j ) 2 y i j = ∑ k = 1 4 ∣ c i k ? d k j ∣ x_{ij} = \sqrt{\sum_{k=1}^{4} (c_{ik}-d_{kj})^2}\\ y_{ij} = \sum_{k=1}^{4} |c_{ik}-d_{kj}| xij?=k=14?(cik??dkj?)2 ?yij?=k=14?cik??dkj?

然后,我们可以得到以下欧氏距离判别表和绝对值距离判别表。

欧氏距离判别表

湖泊 x i 1 x_{i1} xi1? x i 2 x_{i2} xi2? x i 3 x_{i3} xi3? x i 4 x_{i4} xi4? x i 5 x_{i5} xi5?级别
杭州西湖1.84721.83121.73741.37690.28815
武汉东湖1.59591.57981.48591.12710.50345
青海湖0.21850.20450.13670.33831.79173
巢湖1.32011.30381.20820.83920.95914
滇池1.07931.06500.98670.73281.34504

绝对值距离判别表

湖泊 y i 1 y_{i1} yi1? y i 2 y_{i2} yi2? y i 3 y_{i3} yi3? y i 4 y_{i4} yi4? y i 5 y_{i5} yi5?级别
杭州西湖3.66313.63033.43742.67830.32315
武汉东湖3.14363.11082.91782.15870.84275
青海湖0.40620.37340.21100.57873.58003
巢湖2.40712.37432.18141.42231.57914
滇池1.67011.63741.44441.06602.31614

从上面的计算可知,尽管欧几里得距离与绝对值距离意义不同,但是对各湖泊水质的富营养化的评价等级是一样的,表明此处给出的方法具有稳定性。

3.程序

求解的MATLAB程序如下:

% 清除环境变量
clc; clear;

% 初始化实测数据矩阵
rawData = [130,10.3,0.35,2.76;
    105,10.7,0.4,2.0;
    20,1.4,4.5,0.22;
    30,6.26,0.25,1.67;
    20,10.13,0.5,0.23];

% 初始化等级标准矩阵
standardMatrix = [1,4,23,110,660;
    0.09,0.36,1.8,7.1,27.1;
    37,12.,2.4,0.55,0.17;
    0.02,0.06,0.31,1.2,4.6];

% 进行无量纲化处理
normalizedRawData = rawData ./ repmat(max(rawData), size(rawData, 1), 1);
normalizedRawData(:, 3) = min(rawData(:, 3)) ./ rawData(:, 3);

normalizedStandardMatrix = standardMatrix ./ repmat(max(standardMatrix, [], 2), 1, size(standardMatrix, 2));
normalizedStandardMatrix(3, :) = min(standardMatrix(3, :)) ./ standardMatrix(3, :);

% 计算均值和标准差
average = mean(standardMatrix, 2);
standardDeviation = std(standardMatrix, [], 2);

% 计算权重
weights = standardDeviation ./ average;
weights = weights / sum(weights);

% 计算欧式距离
euclideanDistances = dist(normalizedRawData, normalizedStandardMatrix);

% 计算绝对值距离
absoluteDistances = mandist(normalizedRawData, normalizedStandardMatrix);

习题10.6(1)

1. 题目要求

image-20230531204044096

2.解题过程——对应分析

解:

分别用 i = 1 , … , 16 i=1,\dots,16 i=1,,16 表示,以 a i j a_{ij} aij? 表示第 i 个地区第 j 个指标变量 x j x_j xj? 的取值。

记:
A = ( a i j ) 16 × 6 \mathbf{A}=(a_{ij})_{16\times6} A=(aij?)16×6?
记:
a i ? = ∑ j = 1 6 a i j , a ? j = ∑ i = 1 16 a i j a_{i\cdot}=\sum_{j=1}^{6}a_{ij},a_{\cdot j}=\sum_{i=1}^{16}a_{ij} ai??=j=16?aij?,a?j?=i=116?aij?
首先把 A \mathbf{A} A 化为规格化的“概率”矩阵 P \mathbf{P} P , 记 P = ( p i j ) 16 × 6 \mathbf{P}=(p_{ij})_{16\times6} P=(pij?)16×6? ,其中 p i j = a i j / T p_{ij}=a_{ij}/\mathbf{T} pij?=aij?/T T = ∑ i = 1 16 ∑ j = 1 6 a i j \mathbf{T}=\sum_{i=1}^{16}\sum_{j=1}^{6}a_{ij} T=i=116?j=16?aij?。再对数据进行对应变换,令 B = ( b i j ) 16 × 6 \mathbf{B}=(b_{ij})_{16\times6} B=(bij?)16×6? ,其中:
b i j = p i j ? p i ? p ? j p i ? p ? j = a i j ? a i ? a ? j / T a i ? a ? j , i = 1 , 2 , … , 16 , j = 1 , 2 , … , 6. b_{ij}=\frac{p_{ij}-p_{i\cdot}p_{\cdot j}}{\sqrt{p_{i\cdot}p_{\cdot j}}} = \frac{a_{ij}-a_{i\cdot}a_{\cdot j}/\mathbf{T}}{\sqrt{a_{i\cdot}a_{\cdot j}}}, i=1,2,\dots, 16,j=1,2,\dots,6. bij?=pi??p?j? ?pij??pi??p?j??=ai??a?j? ?aij??ai??a?j?/T?,i=1,2,,16,j=1,2,,6.
B \mathbf{B} B 进行奇异值分解, B = U Λ V T \mathbf{B}=\mathbf{U}\varLambda \mathbf{V}^{\mathbf{T}} B=UΛVT,其中 U \mathbf{U} U 16 × 16 16\times 16 16×16 正交矩阵, V \mathbf{V} V 6 × 6 6\times6 6×6 正交矩阵, Λ = [ Λ m 0 0 0 ] \varLambda =\begin{bmatrix} \varLambda_m &0\\ 0&0 \end{bmatrix} Λ=[Λm?0?00?],这里 $ \varLambda_m=diag(d_1,\dots,d_m) $ ,其中 d i ( i = 1 , 2 , … , m ) d_i(i=1,2,\dots,m) di?(i=1,2,,m) B \mathbf{B} B 的奇异值。

U = [ U 1 ? U 2 ] , V = [ V 1 ? V 2 ] \mathbf{U}=[\mathbf{U_1} \vdots \mathbf{U_2}],\mathbf{V}=[\mathbf{V_1} \vdots \mathbf{V_2}] U=[U1??U2?],V=[V1??V2?] ,其中 U 1 \mathbf{U_1} U1? 16 × m 16\times m 16×m 的列正交矩阵, V 1 \mathbf{V_1} V1? 6 × m 6\times m 6×m 的列正交矩阵,则 B \mathbf{B} B 的奇异值分解式等价于 B = U 1 Λ V 1 T \mathbf{B}=\mathbf{U_1}\varLambda\mathbf{V_1}^T B=U1?ΛV1?T

D r = d i a g ( p 1 ? , p 2 ? , … , p 16 ? ) , D c = d i a g ( p ? 1 , p ? 2 , … , p ? 6 ) \mathbf{D_r}=diag(p_{1\cdot},p_{2\cdot},\dots,p_{16\cdot}),\mathbf{D_c}=diag(p_{\cdot1},p_{\cdot2},\dots,p_{\cdot6}) Dr?=diag(p1??,p2??,,p16??),Dc?=diag(p?1?,p?2?,,p?6?) ,其中 p i ? = ∑ j = 1 6 p i j p_{i\cdot}=\sum_{j=1}^{6}p_{ij} pi??=j=16?pij? p ? j = ∑ i = 1 16 p i j p_{\cdot j}=\sum_{i=1}^{16}p_{ij} p?j?=i=116?pij?。则列轮廓的坐标为 F = D c ? 1 / 2 V 1 Λ m \mathbf{F}=\mathbf{D}_{c}^{-1/2}\mathbf{V_1}\varLambda_m F=Dc?1/2?V1?Λm? ,行轮廓的坐标为 G = D r ? 1 / 2 V 1 Λ m \mathbf{G}=\mathbf{D}_{r}^{-1/2}\mathbf{V_1}\varLambda_m G=Dr?1/2?V1?Λm? 。最后通过贡献率的比较确定需要截取的维数,形成对应分析图。

计算 B T B \mathbf{B^T}\mathbf{B} BTB 的特征值,惯量,表示相应维数对各类别的解释量,最大维数 m = min ? 16 ? 1 , 6 ? 1 m=\min{16-1,6-1} m=min16?1,6?1 ,本例最多可以产生5个维数。从下表可看出,第一维数的解释量达 77.4% ,前两个维数的解释度已达92.1%。

维数奇异值惯量贡献率累积贡献率
10.1898930.0360590.7737640.773764
20.0828310.0068610.1472240.920988
30.0471380.0022220.0476180.968669
40.031130.0009690.0207950.989464
50.0221590.0004910.0105361

行坐标

北京天津河北山西内蒙古辽宁
第一维-0.07905-0.06783-0.263540.4577660.07715-0.13567
第二维-0.03540.138818-0.10045-0.057150.156316-0.08455
吉林黑龙江上海江苏浙江安徽
第一维-0.27126-0.197570.3868090.0869550.079122-0.14212
第二维-0.000740.045985-0.07833-0.04222-0.01969-0.14225
福建江西山东河南
第一维-0.17469-0.188590.069823-0.1462
第二维-0.11317-0.15270.1003180.032858

列坐标

x1x2x3x4x5x6
第一维-0.07905-0.06783-0.263540.4577660.07715-0.13567
第二维-0.03540.138818-0.10045-0.057150.156316-0.08455

在下图中,给出16个地区和6个指标在相同坐标系上绘制的散布图。

image-20230601004111514

从图中可以看出,地区和指标点可以分为两类,

第一类包括指标点 x 4 , x 5 x_4,x_5 x4?,x5? ,地区点为北京、天津、河北、上海、江苏、浙江、山东;

第二类包括指标点 x 1 , x 2 , x 3 , x 6 x_1,x_2,x_3,x_6 x1?,x2?,x3?,x6? ,地区点为其余地区。

3.程序

求解的MATLAB程序如下:

clc, clear

% 原始数据,其中包含了16个地区的6项指标
originalData = [190.33, 43.77, 9.73, 60.54, 49.01, 9.04; ...
    135.20, 36.40, 10.47, 44.16, 36.49, 3.94; ...
    95.21, 22.83, 9.30, 22.44, 22.81, 2.80; ...
    104.78, 25.11, 6.40, 9.89, 18.17, 3.25; ...
    128.41, 27.63, 8.94, 12.58, 23.99, 3.27; ...
    145.68, 32.83, 17.79, 27.29, 39.09, 3.47; ...
    159.37, 33.38, 18.37, 11.81, 25.29, 5.22; ...
    116.22, 29.57, 13.24, 13.76, 21.75, 6.04; ...
    221.11, 38.64, 12.53, 115.65, 50.82, 5.89; ...
    144.98, 29.12, 11.67, 42.60, 27.30, 5.74; ...
    169.92, 32.75, 12.72, 47.12, 34.35, 5.00; ...
    153.11, 23.09, 15.62, 23.54, 18.18, 6.39; ...
    144.92, 21.26, 16.96, 19.52, 21.75, 6.73; ...
    140.54, 21.50, 17.64, 19.19, 15.97, 4.94; ...
    115.84, 30.26, 12.20, 33.61, 33.77, 3.85; ...
    101.18, 23.26, 8.46, 20.20, 20.50, 4.30];

% 计算原始数据的总和
totalSum = sum(sum(originalData));

% 计算原始数据的比例
ratioData = originalData / totalSum;

% 计算行和列的比例
rowRatio = sum(ratioData, 2);
columnRatio = sum(ratioData);

% 计算行剖面数据
Row_prifile = originalData ./ repmat(sum(originalData, 2), 1, size(originalData, 2));

% 计算B(B为对应分析的基础矩阵)
B = (ratioData - rowRatio * columnRatio) ./ sqrt(rowRatio*columnRatio);

% 对B矩阵进行奇异值分解,得到U,S,V矩阵
[U, S, V] = svd(B, 'econ');

% 对V矩阵列求和并根据其符号调整权重
W1 = sign(repmat(sum(V), size(V, 1), 1));

% 对U矩阵列求和并根据其符号调整权重
W2 = sign(repmat(sum(V), size(U, 1), 1));

% 应用权重调整V和U矩阵
V_adjusted = V .* W1;
U_adjusted = U .* W2;

% 计算lambda(特征值的平方)
lambda = diag(S).^2;

% 计算卡方统计量
chi2Square = totalSum * (lambda);

% 计算总的卡方统计量
totalChi2Square = sum(chi2Square);

% 计算贡献率
contributionRate = lambda / sum(lambda);

% 计算累计贡献率
cumulativeRate = cumsum(contributionRate);

% 计算行轮廓坐标
beta = diag(rowRatio.^(-1 / 2)) * U_adjusted;
G = beta * S

% 计算列轮廓坐标
alpha = diag(columnRatio.^(-1 / 2)) * V_adjusted;
F = alpha * S

% 计算样本点的个数
numOfSample = size(G, 1);

% 计算坐标的取值范围
range = minmax(G(:, [1, 2])');

% 画图略

4.结果

image-20230601003301320

详见上文分析过程,地区和指标点可以分为两类,

第一类包括指标点 x 4 , x 5 x_4,x_5 x4?,x5? ,地区点为北京、天津、河北、上海、江苏、浙江、山东;

第二类包括指标点 x 1 , x 2 , x 3 , x 6 x_1,x_2,x_3,x_6 x1?,x2?,x3?,x6? ,地区点为其余地区。

习题10.6(2)

1. 题目要求

同上。

2.解题过程——R型因子分析

解:

对数据进行标准化处理。

计算变量间的相关系数得出相关矩阵 R \mathbf{R} R ,然后计算初等载荷矩阵 Λ 1 \mathbf{\Lambda_1} Λ1?

计算得到特征根与各因子的贡献如下表所示。

valuex1x2x3x4x5x6
特征值3.558421.3162520.6082390.3733830.1071780.036527
贡献率59.3070121.9375410.137326.2230521.7862950.608786
累积贡献率59.3070181.2445491.3818797.6049299.39121100

选择 m ( m ≤ 6 ) m(m\leq6) m(m6) 个主因子,构造因子模型:
{ x ~ 1 = α 11 F ~ 1 + α 12 F ~ 2 + α 13 F ~ 3 ? x ~ 7 = α 71 F ~ 1 + α 72 F ~ 2 + α 73 F ~ 3 \begin{align*} \begin{cases} \widetilde{x}_1=\alpha_{11}\widetilde{F}_1+\alpha_{12}\widetilde{F}_2+\alpha_{13}\widetilde{F}_3 \\ \vdots\\ \widetilde{x}_7=\alpha_{71}\widetilde{F}_1+\alpha_{72}\widetilde{F}_2+\alpha_{73}\widetilde{F}_3 \end{cases}\end{align*} ? ? ??x 1?=α11?F 1?+α12?F 2?+α13?F 3??x 7?=α71?F 1?+α72?F 2?+α73?F 3???
求得因子载荷等估计。

最终,通过表格,可以看出,得到了3个因子,第一个因子是穿住用因子,第二个因子是燃料因子,第3个因子是文化因子。

第(1)问中得到 x 4 , x 5 x_4,x_5 x4?,x5? 是一类变量,这里得到 x 2 , x 4 , x 5 x_2,x_4,x_5 x2?,x4?,x5? 是一类变量,略有差异。

3.程序

求解的MATLAB程序如下:

clc, clear 

% 原始数据,包含了16个地区的6项指标
originalData = [190.33, 43.77, 9.73, 60.54, 49.01, 9.04; ...
    135.20, 36.40, 10.47, 44.16, 36.49, 3.94; ...
    95.21, 22.83, 9.30, 22.44, 22.81, 2.80; ...
    104.78, 25.11, 6.40, 9.89, 18.17, 3.25; ...
    128.41, 27.63, 8.94, 12.58, 23.99, 3.27; ...
    145.68, 32.83, 17.79, 27.29, 39.09, 3.47; ...
    159.37, 33.38, 18.37, 11.81, 25.29, 5.22; ...
    116.22, 29.57, 13.24, 13.76, 21.75, 6.04; ...
    221.11, 38.64, 12.53, 115.65, 50.82, 5.89; ...
    144.98, 29.12, 11.67, 42.60, 27.30, 5.74; ...
    169.92, 32.75, 12.72, 47.12, 34.35, 5.00; ...
    153.11, 23.09, 15.62, 23.54, 18.18, 6.39; ...
    144.92, 21.26, 16.96, 19.52, 21.75, 6.73; ...
    140.54, 21.50, 17.64, 19.19, 15.97, 4.94; ...
    115.84, 30.26, 12.20, 33.61, 33.77, 3.85; ...
    101.18, 23.26, 8.46, 20.20, 20.50, 4.30];

% 数据标准化
standardizedData = zscore(originalData);

% 计算相关性矩阵
correlationMatrix = corrcoef(standardizedData);

% 使用主成分分析方法对相关性矩阵进行处理,得到特征向量、特征值和贡献率
[eigenvectors, eigenvalues, contribution] = pcacov(correlationMatrix);

% 计算累积贡献率
cumulativeContribution = cumsum(contribution);

% 根据特征向量的符号进行调整
adjustedSigns = repmat(sign(sum(eigenvectors)), size(eigenvectors, 1), 1);
adjustedEigenvectors = eigenvectors .* adjustedSigns;

% 根据特征值进行缩放
scaledFactors = repmat(sqrt(eigenvalues)', size(adjustedEigenvectors, 1), 1);
scaledEigenvectors = adjustedEigenvectors .* scaledFactors;

% 计算贡献率
contribution1 = sum(scaledEigenvectors.^2);

% 选择的因子数量
factorNum = 3;

% 根据选择的因子数量得到对应的因子
selectedFactors = scaledEigenvectors(:, [1:factorNum]);

% 使用方差最大法进行因子旋转
[rotatedFactors, factorMatrix] = rotatefactors(selectedFactors, 'method', 'varimax')

% 合并旋转后的因子和其他因子
mergedFactors = [rotatedFactors, scaledEigenvectors(:, [factorNum + 1:end])];

% 计算因子载荷量
factorLoads = sum(rotatedFactors.^2, 2)

% 计算贡献率
contribution2 = sum(mergedFactors.^2)

% 计算每个因子的贡献率
contributionRate = contribution2(1:factorNum) / sum(contribution2);

% 计算因子得分系数矩阵
factorScoreCoefficients = inv(correlationMatrix) * rotatedFactors;

4.结果

image-20230601010950325

求得因子载荷等估计如下表所示。

image-20230531234337263

可以看出,得到了3个因子,第一个因子是穿住用因子,第二个因子是燃料因子,第3个因子是文化因子。

第(1)问中得到 x 4 , x 5 x_4,x_5 x4?,x5? 是一类变量,这里得到 x 2 , x 4 , x 5 x_2,x_4,x_5 x2?,x4?,x5? 是一类变量,略有差异。

习题10.6(3)

1. 题目要求

同上。

2.解题过程——聚类分析

解:

首先计算变量间的相关系数。用两变量 x j x_j xj? x k x_k xk?的相关系数作为它们的相似性度量,即 x j x_j xj? x k x_k xk?的相似系数为
r j k = ∑ i = 1 16 ( a i j ? μ j ) ( a i k ? μ k ) [ ∑ i = 1 16 ( a i j ? μ j ) 2 ∑ i = 1 16 ( a i k ? μ k ) 2 ] 1 / 2 , j , k = 1 , … , 6. r_{jk} = \frac{\sum_{i=1}^{16}(a_{ij}-\mu_{j})(a_{ik}-\mu_k)} {[\sum_{i=1}^{16}(a_{ij}-\mu_{j})^2\sum_{i=1}^{16}(a_{ik}-\mu_k)^2]^{1/2}},j,k=1,\dots,6. rjk?=[i=116?(aij??μj?)2i=116?(aik??μk?)2]1/2i=116?(aij??μj?)(aik??μk?)?,j,k=1,,6.
然后计算6个变量两两之间的距离,构造距离矩阵。

接着使用最短距离法来测量类与类之间的距离,记类 G p G_{p} Gp? G q G_{q} Gq?之间的距离:
D ( G p , G q ) = min ? i ∈ G p , k ∈ G q d i k . D(G_p,G_q) = \min_{i\in G_p,k\in G_q }{d_{ik}}. D(Gp?,Gq?)=iGp?,kGq?min?dik?.
变量聚类的结果是变量 x 3 x_3 x3?自成一类,其他变量为一类。画出的变量聚类图如下图所示。

image-20230601011949010

最后进行样本点聚类的 Q \mathbf{Q} Q型聚类分析。

计算16个样本点之间的两两马氏距离。

类与类间相似性度量。

画聚类图,并对样本点进行分类。

样本点的聚类结果如下图所示。通过聚类图,可以把地区分成4类,北京自成一类,吉林自成一类,上海自成一类,其他地区为一类。

image-20230601012106567

3.程序

求解的MATLAB程序如下:R型聚类

clc, clear 

% 原始数据,包含了16个地区的6项指标
originalData = [190.33, 43.77, 9.73, 60.54, 49.01, 9.04; ...
    135.20, 36.40, 10.47, 44.16, 36.49, 3.94; ...
    95.21, 22.83, 9.30, 22.44, 22.81, 2.80; ...
    104.78, 25.11, 6.40, 9.89, 18.17, 3.25; ...
    128.41, 27.63, 8.94, 12.58, 23.99, 3.27; ...
    145.68, 32.83, 17.79, 27.29, 39.09, 3.47; ...
    159.37, 33.38, 18.37, 11.81, 25.29, 5.22; ...
    116.22, 29.57, 13.24, 13.76, 21.75, 6.04; ...
    221.11, 38.64, 12.53, 115.65, 50.82, 5.89; ...
    144.98, 29.12, 11.67, 42.60, 27.30, 5.74; ...
    169.92, 32.75, 12.72, 47.12, 34.35, 5.00; ...
    153.11, 23.09, 15.62, 23.54, 18.18, 6.39; ...
    144.92, 21.26, 16.96, 19.52, 21.75, 6.73; ...
    140.54, 21.50, 17.64, 19.19, 15.97, 4.94; ...
    115.84, 30.26, 12.20, 33.61, 33.77, 3.85; ...
    101.18, 23.26, 8.46, 20.20, 20.50, 4.30];

% 计算相关性矩阵
correlationMatrix = corrcoef(originalData);

% 计算距离矩阵
distanceMatrix = 1 - abs(correlationMatrix);
distanceMatrix = tril(distanceMatrix);

% 将距离矩阵转为一维向量
distanceVector = nonzeros(distanceMatrix);
distanceVector = distanceVector';

% 使用层次聚类算法进行聚类
linkageCluster = linkage(distanceVector);

% 选择最大聚类数量为2,得到每个样本的类别
clusterLabels = cluster(linkageCluster, 'maxclust', 2);

% 找到属于第一类的样本
index1 = find(clusterLabels == 1); 
index1 = index1'

% 找到属于第二类的样本
index2 = find(clusterLabels == 2); 
index2 = index2'

% 生成树状图
h = dendrogram(linkageCluster);

% 设置树状图的颜色和线条宽度
set(h, 'Color', 'k', 'LineWidth', 1.3)

求解的MATLAB程序如下:Q型聚类

clc, clear 

% 原始数据,包含了16个地区的6项指标
originalData = [190.33, 43.77, 9.73, 60.54, 49.01, 9.04; ...
    135.20, 36.40, 10.47, 44.16, 36.49, 3.94; ...
    95.21, 22.83, 9.30, 22.44, 22.81, 2.80; ...
    104.78, 25.11, 6.40, 9.89, 18.17, 3.25; ...
    128.41, 27.63, 8.94, 12.58, 23.99, 3.27; ...
    145.68, 32.83, 17.79, 27.29, 39.09, 3.47; ...
    159.37, 33.38, 18.37, 11.81, 25.29, 5.22; ...
    116.22, 29.57, 13.24, 13.76, 21.75, 6.04; ...
    221.11, 38.64, 12.53, 115.65, 50.82, 5.89; ...
    144.98, 29.12, 11.67, 42.60, 27.30, 5.74; ...
    169.92, 32.75, 12.72, 47.12, 34.35, 5.00; ...
    153.11, 23.09, 15.62, 23.54, 18.18, 6.39; ...
    144.92, 21.26, 16.96, 19.52, 21.75, 6.73; ...
    140.54, 21.50, 17.64, 19.19, 15.97, 4.94; ...
    115.84, 30.26, 12.20, 33.61, 33.77, 3.85; ...
    101.18, 23.26, 8.46, 20.20, 20.50, 4.30];

% 计算原始数据的协方差
covarianceMatrix = cov(originalData);

% 初始化距离矩阵
distanceMatrix = zeros(size(originalData, 1));

% 计算Q型距离
for j = 1:15
    for i = j+1:16
        distanceMatrix(i,j) = sqrt((originalData(i,:) - originalData(j,:)) * inv(covarianceMatrix) * (originalData(i,:) - originalData(j,:))');
    end
end

% 将距离矩阵转为一维向量
distanceVector = nonzeros(distanceMatrix);
distanceVector = distanceVector';

% 使用层次聚类算法进行聚类
linkageCluster = linkage(distanceVector);

% 生成树状图
dendro = dendrogram(linkageCluster);

% 设置树状图的颜色和线条宽度
set(dendro,'Color','k','LineWidth',1.3)

4.结果

image-20230601012351955

image-20230601012407174

变量 x 3 x_3 x3?自成一类,其他变量为一类。

北京自成一类,吉林自成一类,上海自成一类,其他地区为一类。

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文章来源:https://blog.csdn.net/zhushatong/article/details/135017392
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