格密码基础:光滑参数

2024-01-07 18:50:59

目录

一. 铺垫高斯函数

二. 光滑参数图形理解

三. 光滑参数与格基本区

3.1 高斯与均匀分布的统计距离

3.2 光滑参数理解

四. 光滑参数与最短向量

五. 光滑参数与连续最小值

六. 光滑参数与对偶格的上界

七. 光滑参数与格的上界

八. 小结


一. 铺垫高斯函数

定义高斯密度函数如下:

\rho_s(x)=e^{-\pi||x/s||^2}

进一步形成新的高斯密度函数:

v_s(x)=\rho_s(x)/s^n

注意此处的函数输入为N维,也就是x\in R^n。根据高斯函数对长度的限制,可得:

P[||x||\leq \sqrt ns]=1-2^{-\Omega(n)}

二. 光滑参数图形理解

首先,我们均匀选择一些格点,以二维为例子,这些格点处对应的概率大致相等。接着,我们把每个格点外加一个高斯噪声,可得:

当我们增大高斯噪声的方差,图形会变成:

如果继续增大高斯噪声会出现:

很明显当s越来越大后,图形会越来越接近均匀分布。在网络安全中,均匀分布非常重要,格的光滑参数就是研究当s取多大时,此均匀分布会出现。

三. 光滑参数与格基本区

3.1 高斯与均匀分布的统计距离

\Lambda的格基记为B,格基本区写做P(B),基本区上的均匀分布为:

U(x)=\frac{1}{det(\Lambda)}

对偶格的行列式与格的行列式互为倒数,所以可得:

U(x)=\frac{1}{det(\Lambda)}=det(\Lambda^*)

高斯函数记为v_s(x),将高斯函数中的每个点都 模基本区(mod P(B)),可以得到新的函数分布:

第一个等号:Y(x)分布的意义,x'与x在模基本区下相等;

第二个等号:v_s(x)\rho_s(x)之间的关系,另外基本区内的点加上所有的格点,可以遍历整个扩展空间内的点;

利用泊松求和公式以及傅里叶变换的性质,对分布Y(x)进一步运算可得:

如果有人感兴趣这一步的证明,欢迎留言,以后可以补上。

现在我们来计算新得到的分布Y(x)与均匀分布U(x)之间的统计距离,如下:

取该距离的上限,基本区的体积记为格行列式的值,再带入Y(x)的表达式,可得:

指数e^{2\pi i\langle \omega,x\rangle}的取值不会超过1,对偶格的行列式与格的行列式互为倒数,进一步化简可得:

将以上,总结为形式化的定义可得:

3.2 光滑参数理解

以上讨论告诉我们:

\Delta(Y,U)\leq \frac{1}{2}\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)

最小的s,使其满足:

\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)\leq \epsilon

对应的s就被称之为格的光滑参数,记作\eta_\epsilon(\Lambda)

很明显,当s越来越小时,\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)越来越大,也就是:

lim_{s\to 0}\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)=\infty

当s越来越大时,\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)越来越小,也就是:

lim_{s\to \infty}\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)=0

所以可以把\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)看成关于s的函数,并且该函数为连续型且严格单调递减的函数。

以下理解非常重要。

也就是说,当高斯函数的标准差s大于光滑参数时,也就是:

s\geq \eta_\epsilon(\Lambda)

可得高斯函数v_s与均匀分布之间的距离最多为1/2\epsilon(注意两个分布均定义在基本区P(B)上)。光滑参数是连接高斯分布与均匀分布很好的桥梁。

四. 光滑参数与最短向量

\epsilon<1/100时,可得光滑参数的下界:

\eta_\epsilon(\Lambda)\geq \frac{1}{\lambda_1(\Lambda^*)}

证明:

令高斯分布的参数s等于对偶格最短向量的倒数,于是:

s=\frac{1}{\lambda_1(\Lambda^*)}

令y代表对偶格的最短向量,也就是:

y\in \Lambda^*\quad ||y||=\lambda_1(\Lambda^*)

带入运算可得:

证明完毕。

五. 光滑参数与连续最小值

结合转移定理(Banaszczyk transference theorem),以上定理可得:

\epsilon<1/100时,可得光滑参数的下界:

\eta_\epsilon(\Lambda)\geq \frac{1}{n}\lambda_n(\Lambda)

六. 光滑参数与对偶格的上界

\epsilon\geq 2^{-n+1},可得光滑参数的上界:

\eta_\epsilon(\Lambda)\leq \frac{\sqrt n}{\lambda_1(\Lambda^*)}

证明:

令高斯分布的参数s等于:

s=\frac{\sqrt n}{\lambda_1(\Lambda^*)}

带入高斯分布中运算可得:

第一个等号:高斯函数的性质;

第二个不等号:对偶格的性质\lambda_1(s\Lambda^*)\geq \sqrt n

所以可得:

\rho_{1/s}(\Lambda^* \backslash \lbrace0\rbrace)\leq 2^{-n+1}

证明完毕。

七. 光滑参数与格的上界

\epsilon\geq 2^{-n+1},可得光滑参数的上界:

\eta_\epsilon(\Lambda)\leq \sqrt n\lambda_n(\Lambda)

利用转移定理结合上一个性质即可证明。

其实这个界还不够紧致,实际上,当\epsilon\geq n^{-logn}时,光滑参数的上界为:

\eta_\epsilon(\Lambda)\leq logn\cdot \lambda_n(\Lambda)

八. 小结

格理论的研究起源于 17-19 世纪, 数学家 Kepler 和 Gaussian 研究在低维空间中堆放等半径的小球,当所有球的球心构成一个格时,计算得出了堆积球密度的最大值。 在19 世纪中叶,Minkowski 和 Hermit 等数学家逐渐发展了格堆积理论和格覆盖理论。 计算球的最大格堆积密度相当于在格点中求解最短向量问题(Shortest Vector Problem, SVP) , 计算球的最小覆盖密度相当于在格点中求解最近格点问题(Closest Vector Problem, CVP), 两者都是格密码的核心数学难题。

1998 年, Ajtai 证明了SVP在l_2范数下,当近似因子小于\gamma=1+1/2^{n^\epsilon}时是 NP-Hard 的, 即不存在多项式时间的算法可以求解近似版本 SVP(Approximate Shortest Vector Problem,?SVP_\gamma)。在保证SVP在l_0l_\infty范数下是NP-hard的同时,计算出近似因子的上界为2-\epsilonn^{clog(log(n))}。2003年,Dinur等计算出当近似因子为n^{clog(log(n))}时,近似版本 CVP(Approximate Closest Vector Problem)是 NP-hard 的。
算法复杂性理论研究基于求解问题所要花费的时间、 空间资源(比特数、 带数、 逻辑门数) 等。 通过考察求解某个问题的不同算法复杂程度来衡量问题的难易程度. 由此将问题划分为不同的类型:

经典复杂性分类定义
P确定型 单带图灵机在多项式时间内可判定的语言类
NP某个非确定型多项式时间图灵机判定的语言类
NPCNP 问题子集, 可以通过多项式时间算法归约到一个 NP 问题上

格上困难问题是计算复杂性理论的重要研究内容, 基于格的密码方案的可证明安全性依赖格上问题的难解度, 格上许多困难问题在目前已被证明是NP难的, 其中包括最短线性无关向量问题(SIVP) , 短整数解问题(SIS) 。 SIVP 问题和 SIS 问题都可以归约到格上最差情况的困难问题, 所以有些格密码方案是基于上述困难问题设定,其在标准模型下该网络安全方案是具有抗量子的特效。

文章来源:https://blog.csdn.net/forest_LL/article/details/135439250
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