day48算法训练｜动态规划part09

198.打家劫舍

1. dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。

2.递推公式

决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。

如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。

如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考 虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房，这是很多同学容易混淆的点）

然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);

3.?初始化

由dp公式可知：需要dp[0]=nums[0]，与dp[1]=max(nums[0],nums[1]);

4.遍历顺序

dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

// 动态规划
class Solution {
	public int rob(int[] nums) {
		if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
		if (nums.length == 1) return nums[0];

		int[] dp = new int[nums.length];
		dp[0] = nums[0];
		dp[1] = Math.max(dp[0], nums[1]);
		for (int i = 2; i < nums.length; i++) {
			dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
		}

		return dp[nums.length - 1];
	}
}

还可以用滚动数组来优化空间

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        if (nums.length == 1)  {
            return nums[0];
        }
        // 初始化dp数组
        // 优化空间 dp数组只用2格空间 只记录与当前计算相关的前两个结果
        int[] dp = new int[2];
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[0],nums[1]);
        int res = 0;
        // 遍历
        for (int i = 2; i < nums.length; i++) {
            res = Math.max((dp[0] + nums[i]) , dp[1] );
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = res;
        }
        // 输出结果
        return dp[1];
    }
}

213.打家劫舍II

与1的区别就是把线性问题变成了环形的问题

环形问题我可以再拆成线性问题

对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：来源：代码随想录

• 情况一：考虑不包含首尾元素

• 情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素

• 情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素

而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0)
            return 0;
        int len = nums.length;
        if (len == 1)
            return nums[0];
        return Math.max(robAction(nums, 0, len - 1), robAction(nums, 1, len));
    }

    int robAction(int[] nums, int start, int end) {
        int x = 0, y = 0, z = 0;
        for (int i = start; i < end; i++) {
            y = z;
            z = Math.max(y, x + nums[i]);
            x = y;
        }
        return z;
    }
}

337.打家劫舍 III?代码随想录

结合数组递归的后序遍历，内存储存，来实现动态规划

本题一定是要后序遍历，因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。

关键是要讨论当前节点抢还是不抢

这道题目算是树形dp的入门题目，因为是在树上进行状态转移

以递归三部曲为框架，其中融合动规五部曲的内容来进行讲解

1. 递归函数的参数和返回值

这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组

在递归的过程中，系统栈会保存每一层递归的参数，可以标记每个节点的状态

2.终止条件

如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回

3. 遍历顺序

后序遍历。 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算。

通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。

通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。

4.单层递归的逻辑

相当于是两种转移状态

如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0]; （如果对下标含义不理解就再回顾一下dp数组的含义）

如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);

最后当前节点的状态就是{val2, val1}

其实后序遍历，也就决定了dp的遍历顺序，是从树的下方往上遍历，先求得下方节点的状态值，才能接着去得到他的根节点的状态数组

5. 举例推导dp数组

所谓树形DP就是在树上进行递归公式的推导