导行电磁波从纵向场分量求其他方向分量的矩阵表示

2023-12-23 06:32:06

导行电磁波从纵向场分量求解其他方向分量的矩阵表示

导行电磁波传播的特点

电磁波在均匀、线性、各向同性的空间中沿着 z z z轴传播，可用分离变量法将时间轴、 z z z轴与 x , y x,y x,y轴分离，电磁波的形式可表示为：
E ? = E ? ( x , y ) e ? γ z e j ω t H ? = H ? ( x , y ) e ? γ z e j ω t \begin{align} \vec E&=\vec E(x,y) \textrm e^{-\gamma z} \textrm e^{j\omega t}\\ \vec H&=\vec H(x,y) \textrm e^{-\gamma z} \textrm e^{j\omega t}\\ \end{align} E H ?=E (x,y)e?γzejωt=H (x,y)e?γzejωt??

纵向场分量的求解导行电磁波的电场和磁场

对于这种波的求解，可以先求出电场、磁场在 z z z轴的分量，然后根据，然后再根据麦克斯韦方程组求出电磁场在 x , y x,y x,y, 由导行电磁波的数学表达式(1), (2)可知， ? ? z H x = ? γ H x \frac{\partial}{\partial z}H_x=-\gamma H_x ?z??Hx?=?γHx?, ? ? z H y = ? γ H y \frac{\partial}{\partial z}H_y=-\gamma H_y ?z??Hy?=?γHy?, ? ? z E x = ? γ E x \frac{\partial}{\partial z}E_x=-\gamma E_x ?z??Ex?=?γEx?, ? ? z E y = ? γ E y \frac{\partial}{\partial z}E_y=-\gamma E_y ?z??Ey?=?γEy?.

从纵向场分量求解其他方向电场和磁场分量及其矩阵表示

麦克斯韦方程组可表示如下：
? × H ? = ? D ? ? t + J ? ? × E ? = ? ? B ? ? t ? ? D ? = ρ ? ? B ? = 0 \begin{align} \nabla \times \vec H &= \frac{\partial \vec D}{\partial t}+\vec J\\ \nabla \times \vec E &= - \frac{\partial \vec B}{\partial t}\\ \nabla \cdotp \vec D &= \rho\\ \nabla \cdotp \vec B &= 0 \end{align} ?×H ?×E ??D ??B ?=?t?D ?+J =??t?B ?=ρ=0??
如果已知 H z , E z H_z, E_z Hz?,Ez?并且知道导行电磁波的形式如公式（1）和（2）所示，并认为传播空间中不存在电荷与电流， J ? = 0 , ρ = 0 \vec J=0, \rho=0 J =0,ρ=0，方程式（3）-（4）可表示为：

? × H ? = [ i j k ? ? x ? ? y ? ? z H x H y H z ] = j ω ε E ? ? × E ? = [ i j k ? ? x ? ? y ? ? z E x E y E z ] = ? j ω μ H ? \begin{align} \nabla \times \vec H &=\begin{bmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ H_x &H_y&H_z \end{bmatrix} = j\omega \varepsilon \vec E\\ \nabla \times \vec E &= \begin{bmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ E_x &E_y&E_z \end{bmatrix} =- j\omega \mu \vec H\\ \end{align} ?×H ?×E ?= ?i?x??Hx??j?y??Hy??k?z??Hz?? ?=jωεE = ?i?x??Ex??j?y??Ey??k?z??Ez?? ?=?jωμH ??
将（7）式 x x x 分量展开得到（9），将（8）式 y y y 分量展开得到（10）
? ? y H z + γ H y = j ω ε E x ? ? x E z + γ E x = j ω μ H y \begin{align} \frac{\partial}{\partial y}H_z+\gamma H_y &=j\omega \varepsilon E_x\\ \frac{\partial}{\partial x}E_z+\gamma E_x &=j\omega \mu H_y\\ \end{align} ?y??Hz?+γHy??x??Ez?+γEx??=jωεEx?=jωμHy???
根据（9）和（10），得到用 H z , E z H_z, E_z Hz?,Ez?表示的 H y , E x H_y, E_x Hy?,Ex?：

[ E x H y ] = ? 1 k c 2 [ γ j ω μ j ω ε γ ] [ ? ? x 0 0 ? ? y ] [ E z H z ] \begin{align} \begin{bmatrix} E_x \\ H_y \end{bmatrix} &= -\frac{1}{k_c^2} \begin{bmatrix} \gamma & j\omega\mu \\ j\omega\varepsilon & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_z \\ H_z \end{bmatrix} \\ \end{align} [Ex?Hy??]?=?kc2?1?[γjωε?jωμγ?][?x??0?0?y???][Ez?Hz??]??

将（7）式 y y y 分量展开得到（12），将（8）式 x x x 分量展开得到（13）
? ? ? x H z ? γ H x = j ω ε E y ? ? y E z + γ E x = j ω μ H x \begin{align} -\frac{\partial}{\partial x}H_z-\gamma H_x &=j\omega \varepsilon E_y\\ \frac{\partial}{\partial y}E_z+\gamma E_x &=j\omega \mu H_x\\ \end{align} ??x??Hz??γHx??y??Ez?+γEx??=jωεEy?=jωμHx???
根据（12）和（13），得到用 H z , E z H_z, E_z Hz?,Ez?表示的 H x , E y H_x, E_y Hx?,Ey?：

[ E y H x ] = ? 1 k c 2 [ γ ? j ω μ ? j ω ε γ ] [ ? ? y 0 0 ? ? x ] [ E z H z ] \begin{align} \begin{bmatrix} E_y \\ H_x \end{bmatrix} &= -\frac{1}{k_c^2} \begin{bmatrix} \gamma & -j\omega\mu \\ -j\omega\varepsilon & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\ 0 & \frac{\partial}{\partial x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_z \\ H_z \end{bmatrix} \\ \end{align} [Ey?Hx??]?=?kc2?1?[γ?jωε??jωμγ?][?y??0?0?x???][Ez?Hz??]??

文章来源:https://blog.csdn.net/johnboat/article/details/135035190
本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。