管理类联考——数学——真题篇——按知识分类——几何——解析几何

2023-12-16 15:35:34

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解析几何

2023

真题(2023-07)-几何-解析几何-最值-画图求最值-两线相减求最大-联想三角形的“两边差小于第三边”,当为第三边为最大

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解析几何——最值——汇总
斜率型最值:求 y ? b x ? a \frac{y-b}{x-a} x?ay?b?最值:设 k = y ? b x ? a k=\frac{y-b}{x-a} k=x?ay?b?,转化为求定点 ( a , b ) (a,b) (a,b)和动点 ( x , y ) (x,y) (x,y)相连所成直线的斜率范围。
截距型最值=动点在多边形上运动求最值:求 a x ± b y ax±by ax±by最值:设 a x ± b y = c ax±by=c ax±by=c,即 y = ? a b x ± c b y=-\frac{a}{b}x±\frac{c}{b} y=?ba?x±bc?,转化为求动直线截距的最值。或者,边界点处取最值,逐一验证多边形顶点。
两点间距离型最值=动点在多边形上运动求最值:求 ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 (x-a)^2+(y-b)^2 (x?a)2+(y?b)2最值:设 ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 = r 2 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 (x?a)2+(y?b)2=r2,此时,要求的式子可看作是圆的半径的平方。由于 d = ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 d=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} d=(x?a)2+(y?b)2 ?,故所求式子 ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 (x-a)^2+(y-b)^2 (x?a)2+(y?b)2可转化为求定点 ( a , b ) (a,b) (a,b)到动点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的距离的平方。
对称求最值=动点在直线上运动求最值
①同侧求最小(考查形式:已知 A 、 B A、B AB两点在直线l的同侧,在 l l l上找一点 P P P,使得 P A + P B PA+PB PA+PB最小;解法:作点A(或点B)关于直线 l l l的对称点 A 1 A_1 A1?,连接 A 1 B A_1B A1?B,交直线 l l l于点 P P P,则 A 1 B A_1B A1?B即为所求的最小值,有 ( P A + P B ) m i n = A 1 B (PA+PB)_{min}=A_1B (PA+PB)min?=A1?B);
②异侧求最大(考查形式:已知 A 、 B A、B AB两点在直线 l l l异侧,在 l l l上找一点 P P P,使得 P A ? P B PA-PB PA?PB最大;解法:作点A(或点B)关于直线 l l l的对称点 A 1 A_1 A1?,连接 A 1 B A_1B A1?B,交直线 l l l于点 P P P,则 A 1 B A_1B A1?B即为所求的最大值,即 ( P A ? P B ) m a x = A 1 B (PA-PB)_{max}=A_1B (PA?PB)max?=A1?B)。——【同侧加和求最小值,异侧相减求最大值】
圆心求最值=动点在圆上运动求最值
①求圆外或圆内一点A到圆上距离的最值: m a x = O A + r ; m i n = ∣ O A ? r ∣ max=OA+r;min=|OA-r| max=OA+rmin=OA?r
②直线与圆相离,求圆上点到直线距离的最值:求出圆心到直线的距离d,则距离最大值为 d + r d+r d+r,最小值为 d ? r d-r d?r;直线与圆相切,最大值为 2 r 2r 2r,最小值为0;直线与圆相交,最大值为 d + r d+r d+r,最小值为0。
③两圆相离,求两圆上的点的距离的最值:求出圆心距 O 1 O 2 O_1O_2 O1?O2?,则距离最大值为 O 1 O 2 + r 1 + r 2 O_1O_2+r_1+r_2 O1?O2?+r1?+r2?,最小值为 O 1 O 2 ? r 1 ? r 2 O_1O_2-r_1-r_2 O1?O2??r1??r2?
④过圆内一点最长或最短的弦,最长的弦为过该点的直径;最短的弦是以该点为中点的弦(与最长弦垂直)——【①求圆上的点到直线距离的最值求出圆心到直线的距离,再根据圆与直线的位置关系,求解。一般是距离加半径是最大值,距离减半径是最小值。②求两圆上的点的距离的最值。求出圆心距,再减半径或加半径即可。】

真题(2023-19)-几何-解析几何-最值-画图求最值-圆方程画出圆的形状-两点间距离型最值=动点在多边形上运动求最值:求 ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 (x-a)^2+(y-b)^2 (x?a)2+(y?b)2最值:设 ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 = r 2 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 (x?a)2+(y?b)2=r2,此时,要求的式子可看作是圆的半径的平方。由于 d = ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 d=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} d=(x?a)2+(y?b)2 ?,故所求式子 ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 (x-a)^2+(y-b)^2 (x?a)2+(y?b)2可转化为求定点 ( a , b ) (a,b) (a,b)到动点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的距离的平方。

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真题(2023-20)-几何-解析几何-画图求最值-圆方程画出圆的形状-举反例

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2022

2021

真题(2021-10)-几何-解析几何-最值-画图求最值-若四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD,则 S A B C D = 1 2 A C ? B D S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD SABCD?=21?AC?BD

10.已知ABCD是圆 x 2 + y 2 = 25 x^2+y^2=25 x2+y2=25的内接四边形,若 A , C A,C A,C是直线 x = 3 x =3 x=3与圆 x 2 + y 2 = 25 x^2+y^2=25 x2+y2=25的交点,则四边形ABCD面积的最大值为( )。
A.20
B.24
C.40
D.48
E.80
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真题(2021-20)-几何-解析几何-位置-线圆位置-相切-圆求出圆心转为点到直线的距离公式: l : a x + b y + c = 0 l:ax+by+c=0 l:ax+by+c=0,点( x 0 , y 0 x_0,y_0 x0?,y0?)到 l l l的距离为 d = ∣ a x 0 + b y 0 + c ∣ a 2 + b 2 d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} d=a2+b2 ?ax0?+by0?+c?

20.设a为实数,圆C: x 2 + y 2 = a x + a y x^2+y^2=ax+ay x2+y2=ax+ay,则能确定圆C的方程。
(1)直线 x + y = 1 x +y=1 x+y=1与圆C相切。
(2)直线 x ? y = 1 x-y =1 x?y=1与圆C相切。

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真题(2021-21)-几何-解析几何-位置-线圆位置-相离-也还是转为圆心点到直线的距离公式

21.设x ,y为实数,则能确定 x ≤ y x≤y xy
(1) x 2 ≤ y ? 1 x^2≤y-1 x2y?1
(2) x 2 + ( y ? 2 ) 2 ≤ 2 x^2+(y-2)^2≤2 x2+(y?2)22
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2020

真题(2020-07)-几何-解析几何-最值-画图求最值-圆方程画出圆的形状;-算术-绝对值-绝对值号、一个等号和两个未知数=函数画图;算术-绝对值不等式函数-图像;-前10题可以特值法,设未知数;

7、设实数 x, y 满足 ∣ x ? 2 ∣ + ∣ y ? 2 ∣ ≤ 2 |x-2|+|y-2|≤2 x?2∣+y?2∣2,则 x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2的取值范围是( )
A.[2,18]
B.[2, 20]
C.[2, 36]
D.[4,18]
E.[4, 20]
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真题(2020-17)-几何-解析几何-位置-线圆位置-相切-圆心点到直线距离公式 d = ∣ a x 0 + b y 0 + c ∣ a 2 + b 2 d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} d=a2+b2 ?ax0?+by0?+c?

17、曲线 上的点到 x 2 + y 2 = 2 x + 2 y x^2+y^2=2x+2y x2+y2=2x+2y上的点到 a x + b y + 2 = 0 ax+by+\sqrt2=0 ax+by+2 ?=0的距离最小值大于 1。
(1) a 2 + b 2 = 1 a^2+b^2=1 a2+b2=1
(2) a > 0 , b > 0 a>0,b>0 a0b0
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2019

真题(2019-05)-几何-解析几何-对称-点与直线的对称点坐标公式: l : a x + b y + c = 0 l:ax+by+c=0 l:ax+by+c=0,点( x 0 , y 0 x_0,y_0 x0?,y0?)关于 l l l的对称点的坐标公式: ( x 0 ? 2 a a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2 , y 0 ? 2 b a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2 ) (x_0-2a\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2},y_0-2b\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}) (x0??2aa2+b2ax0?+by0?+c?,y0??2ba2+b2ax0?+by0?+c?)

5、设圆C与圆 ( x ? 5 ) 2 + y 2 = 2 (x-5)^2+y^2=2 x?52+y2=2关于 y = 2 x y=2x y=2x 对称,则圆 C 方程为( )
A. ( x ? 3 ) 2 + ( y ? 4 ) 2 = 2 (x-3)^2+(y-4)^2=2 x?32+y?42=2
B. ( x + 4 ) 2 + ( y ? 3 ) 2 = 2 (x+4)^2+(y-3)^2=2 x+42+y?32=2
C. ( x ? 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 2 (x-3)^2+(y+4)^2=2 x?32+y+42=2
D. ( x + 3 ) 2 + ( y ? 3 ) 2 = 2 (x+3)^2+(y-3)^2=2 x+32+y?32=2
E. ( x + 3 ) 2 + ( y ? 4 ) 2 = 2 (x+3)^2+(y-4)^2=2 x+32+y?42=2
对称问题
( x ? 5 ) 2 + y 2 = 2 (x-5)^2+y^2=2 (x?5)2+y2=2的圆心为(5,0),关于直线y=2x的对称点设为(x,y),则
{ y 2 = 2 ? x + 5 12 , y x ? 5 = ? 1 2 , \begin{cases} \frac{y}{2}=2·\frac{x+5}{12}, \\ \frac{y}{x-5}=-\frac{1}{2}, \end{cases} {2y?=2?12x+5?x?5y?=?21?,?
解得: { x = ? 3 y = 4 \begin{cases} x=-3 \\ y=4 \end{cases} {x=?3y=4?
所以圆C的方程为 ( x + 3 ) 2 + ( y ? 4 ) 2 = 2 (x+3)^2+(y-4)^2=2 (x+3)2+(y?4)2=2

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真题(2019-18)-几何-解析几何-位置-相交-线圆相交-圆方程化为标准圆方程求出圆心,求圆心点直线距离公式。

18、直线 y = k x y =kx y=kx 与圆 x 2 + y 2 ? 4 x + 3 = 0 x^{2}+ y^2?4x+3 =0 x2+y2?4x+3=0 有两个交点
(1) ? 3 3 < k < 0 -{\sqrt{3}\over3}<k<0 ?33 ??k0
(2) 0 < k < 2 2 0<k<{\sqrt{2}\over2} 0k22 ??

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真题(2019-24)-几何-解析几何-最值-这一题考试遇到就跳过了。_。-解析几何求最值画图-

24、设三角区域D由直线 x + 8 y ? 56 = 0 , x ? 6 y + 42 = 0 x+8y-56=0,x-6y+42=0 x+8y?56=0,x?6y+42=0 k x ? y + 8 ? 6 k = 0 ( k < 0 ) kx-y+8-6k=0(k<0) kx?y+8?6k=0(k0)围成,则对任意的 ( x , y ) (x,y) (x,y) l g ( x 2 + y 2 ) ≤ 2 lg(x^2+y^2)≤2 lg(x2+y2)2

(1) k ∈ ( ? ∞ , ? 1 ] k∈(-∞,-1] k(?,?1]
(2) k ∈ [ ? 1 , ? 1 8 ) k∈[-1,-{1\over8}) k[?1,?81?)
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2018

真题(2018-10)-几何-解析几何-位置-线圆位置-相切转为圆心点到直线距离公式 d = ∣ a x 0 + b y 0 + c ∣ a 2 + b 2 d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} d=a2+b2 ?ax0?+by0?+c?

10.已知圆C : x 2 + ( y ? a ) 2 = b x^2+(y-a)^2=b x2+(y?a)2=b,若圆C 在点(1,2)处的切线与 y 轴交点为(0,3),则ab =( )
A.-2
B.-1
C.0
D.1
E.2
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真题(2018-22)-几何-解析几何-线性规划-先看边界再取整

22.已知点 P ( m , 0 ) P(m,0) P(m,0) A ( 1 , 3 ) A(1,3) A(1,3) B ( 2 , 1 ) , B(2,1), B(2,1) ( x , y ) (x,y) (x,y)在三角形 P A B PAB PAB上,则 x ? y x- y x?y的最小值与最大值分别为 ? 2 -2 ?2 1 1 1
(1) m ≤ 1 m ≤ 1 m1
(2) m ≥ ? 2 m ≥ -2 m?2
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解题方法
第一步:根据题目写出限定条件对应的不等式组。
第二步:“先看边界”,将不等式直接取等号,求得未知数的解。
第三步:“再取整数”,若所求解为整数,则此整数解即为方程的解;若所求解为小数,则取其左右相邻的整数。进行验证,求出最值。
【注意】这种方法并不严谨,但对于绝大多数选择题来说可以快速得分。
口诀:线性规划问题:先看边界再取整

真题(2018-24)–A-几何-解析几何-位置-线圆位置-转换为圆心点到直线距离公式

24.设a, b 实数,则圆 x 2 + y 2 = 2 y x^2+y^2=2y x2+y2=2y与直线 x + a y = b x+ay=b x+ay=b不相交。
(1) ∣ a ? b ∣ > 1 + a 2 |a-b|>\sqrt{1+a^2} a?b1+a2 ?
(2) ∣ a + b ∣ > 1 + a 2 |a+b|>\sqrt{1+a^2} a+b1+a2 ?
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2017

真题(2017-17)-A-几何-解析几何-圆的方程

17.圆 x 2 + y 2 ? a x ? b y + c = 0 x^2+y^2-ax-by+c=0 x2+y2?ax?by+c=0与 x 轴相切,则能确定c 的值。
(1)已知a 的值
(2)已知b 的值
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2016

真题(2016-10)-几何-解析几何-画图-中点坐标公式

10.圆 x 2 + y 2 ? 6 x + 4 y = 0 x^2+y^2-6x+4y=0 x2+y2?6x+4y=0上到原点距离最远的点是( )
A.(-3,2)
B.(3,-2)
C.(6,4)
D.(-6,4)
E.(6,-4)
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真题(2016-11)-几何-解析几何-最值-截距型最值-有x,y转为斜截式,根据图像判断最值;-解析几何求最值,需要转为函数,如直线方程,圆方程等画图判断最值。

11.如图 4 所示,点 A,B,O 的坐标分别为(4,0)、(0,3)、(0,0),若(x, y) 是△AOB中的点,则 2 x + 3 y 2x+3y 2x+3y的最大值为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
E.12
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真题(2016-22)-几何-图像的判断

22.已知M是一个平面有限点集,则平面上存在到M中各点距离相等的点。
(1)M中只有三个点。
(2)M中的任意三点都不共线。

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2015

真题(2015-11)-几何-解析几何-直线与圆的位置关系

11.若直线 y = ax 与圆 ( x ? a ) 2 + y 2 = 1 (x-a)^2+y^2=1 (x?a)2+y2=1相切,则 a 2 a^2 a2 = ( )
A. 1 + 3 2 \frac{1+\sqrt{3}}{2} 21+3 ??
B. 1 + 3 2 1+\frac{\sqrt{3}}{2} 1+23 ??
C. 5 2 \frac{\sqrt{5}}{2} 25 ??
D. 1 + 5 2 1+\frac{\sqrt{5}}{2} 1+25 ??
E. 1 + 5 2 \frac{1+\sqrt{5}}{2} 21+5 ??
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真题(2015-16)-D-几何-解析几何-直线与圆的位置关系

16.圆盘 x 2 + y 2 ≤ 2 ( x + y ) x^2+y^2≤2(x+y) x2+y22(x+y)被直线 L 分成面积相等的两部分。
(1) L: x + y = 2 x + y = 2 x+y=2
(2) L: 2 x ? y = 1 2x-y= 1 2x?y=1
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2014

真题(2014-11)-几何-解析几何-圆方程

11.已知直线 l l l是圆 x 2 + y 2 = 5 x^2+y^2=5 x2+y2=5在点(1,2)处的切线,则 l l l在 y 轴上的截距为( )
A. 2 5 \frac{2}{5} 52?
B. 2 3 \frac{2}{3} 32?
C. 3 2 \frac{3}{2} 23?
D. 5 2 \frac{5}{2} 25?
E.5
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真题(2014-25)-A-几何-解析几何-最值-两点间距离型最值=动点在多边形上运动求最值:求 ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 (x-a)^2+(y-b)^2 (x?a)2+(y?b)2最值:设 ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 = r 2 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 (x?a)2+(y?b)2=r2,此时,要求的式子可看作是圆的半径的平方。由于 d = ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 d=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} d=(x?a)2+(y?b)2 ?,故所求式子 ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 (x-a)^2+(y-b)^2 (x?a)2+(y?b)2可转化为求定点 ( a , b ) (a,b) (a,b)到动点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的距离的平方。

25.已知 x, y 为实数,则 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1
(1) 4 y ? 3 x ≥ 5 4y - 3x ≥ 5 4y?3x5
(2) ( x ? 1 ) 2 + ( y ? 1 ) 2 ≥ 5 (x-1)^2+(y-1)^2≥5 (x?1)2+(y?1)25
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2013

真题(2013-08)-几何-解析几何-对称-点与直线的对称点坐标公式: l : a x + b y + c = 0 l:ax+by+c=0 l:ax+by+c=0,点( x 0 , y 0 x_0,y_0 x0?,y0?)关于 l l l的对称点的坐标公式: ( x 0 ? 2 a a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2 , y 0 ? 2 b a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2 ) (x_0-2a\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2},y_0-2b\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}) (x0??2aa2+b2ax0?+by0?+c?,y0??2ba2+b2ax0?+by0?+c?)

8.点 ( 0 , 4 ) (0,4) 0,4关于直线 2 x + y + 1 = 0 2x+y+1=0 2x+y+1=0的对称点为( )。
A. ( 2 , 0 ) (2,0) 2,0
B. ( ? 3 , 0 ) (-3,0) ?3,0
C. ( ? 6 , 1 ) (-6,1) ?6,1
D. ( 4 , 2 ) (4,2) 4,2
E. ( ? 4 , 2 ) (-4,2) ?4,2
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真题(2013-16)-几何-解析几何-面积

16.已知平面区域D1={ ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ≤ 9 {(x,y)|x^2+y^2≤9} (x,y)x2+y29},D2={ ( x , y ) ∣ ( x ? x 0 ) 2 + ( y ? y 0 ) 2 ≤ 9 {(x,y)|(x-x_0)^2+(y-y_0)^2≤9} (x,y)(x?x0?)2+(y?y0?)29},则 D 1 , D 2 D1,D2 D1D2覆盖区域的边界长度为 8 π 8π 8π
(1) x 0 2 + y 0 2 = 9 x_0^2+y_0^2=9 x02?+y02?=9
(2) x 0 + y 0 = 3 x_0+y_0=3 x0?+y0?=3
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文章来源:https://blog.csdn.net/stqer/article/details/135033086
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