图文证明 牛顿-莱布尼茨公式

2023-12-30 23:45:46

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，它描述了函数的导数和不定积分之间的关系。
该公式通常用来计算定积分。设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数
即F’(x) = f(x)。则牛顿-莱布尼茨公式表示为：
∫ a b f ( x ) ? d x = F ( b ) ? F ( a ) \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a) ∫ab?f(x)dx=F(b)?F(a)

这个公式描述的就是 F(b)-F(a) , 等于下方的面积

在这里插入图片描述
下面开始证明:

第一步 F(x)与f(x)联系

任意在F(X) 上找段变化的区域,如下图:
在这里插入图片描述
由拉格朗日中值定理得:
△ ( x ) 区域上必然有一个点切线的斜率等于 tan ? ( α ) \bigtriangleup(x) \hspace{0.5cm}区域上必然有一个点切线的斜率等于 \hspace{0.5cm}\tan(\alpha) △(x)区域上必然有一个点切线的斜率等于tan(α)

所以可以得出 △ ( y ) = △ ( x ) ? f ( n ) \bigtriangleup(y) = \bigtriangleup(x)*f(n) △(y)=△(x)?f(n)

在这里插入图片描述
所以有下图:
在这里插入图片描述
当我们取更多的
在这里插入图片描述

但这显然还没有证完

第二步 取的更密

取的更密之后,我们发现面积的组成,越来越解决贴合在这里插入图片描述
所以我们就可以在其中取无数的点,让其直接贴合
在这里插入图片描述
那我们怎么把这么多的面积和表示为这个呢 ? ∫ a b f ( x ) ? d x 那我们怎么把这么多的面积和表示为这个呢?\\ \int_{a}^{b} f(x) \,dx 那我们怎么把这么多的面积和表示为这个呢?∫ab?f(x)dx

对变化量 △ ( x ) , △ ( y ) 都任意大小的拆为 n 份 , 然后显然展开得下图 : 对变化量\bigtriangleup(x),\bigtriangleup(y)都任意大小的拆为n份,然后显然展开得下图: 对变化量△(x),△(y)都任意大小的拆为n份,然后显然展开得下图:
在这里插入图片描述
最后通过黎曼和可以推出
F ( b ) ? F ( a ) = ∫ a b f ( x ) ? d x F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \,dx F(b)?F(a)=∫ab?f(x)dx

使用定理:

拉格朗日中值定理
黎曼和

参考视频B站

文章来源:https://blog.csdn.net/L2489754250/article/details/135309796
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