matlab笔记-椭圆方程的参数拟合及长短轴和面积计算

1.椭圆一般方程：

椭圆的一般方程可以表示为：
$$A?x^2+B?x?y+C?y^2+D?x+E?y+F=0$$
其中，x，y分别是x轴坐标值，y轴坐标值两个变量；ABCDEF是常量系数；
一般为了便于计算，会化简成：
$$A?x^2+B?x?y+C?y^2+D?x+E?y+1=0$$

2. 参数拟合

参数拟合，即假定已知了很多组x,y的坐标数据，并发现数据的分布规律和椭圆类似，我们先假设有一个方程表达式为Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+1=0的椭圆，参数ABCDEF未知待求。那么就可以通过matlab自带的非线性拟合函数nlinfit，带入离散的xy数据，反向求出ABCDEF这6个系数的值，这样，你就得到了最可以符合数据分布的一个椭圆方程。
matlab代码如下：

clc;clear all;
%% 数据配置
x = [2.85,  2.56,   1.45,   0.06,   -1.34,  -2.28,  -2.59,  -2.22,  -1.28,  0.03,   1.22,   2.22]';%x坐标数据
y = [0.00,  1.51,   2.42,   2.88,   2.36,   1.37,   0.06,   -1.22,  -2.14,  -2.34,  -2.14,  -1.31]';%y坐标数据
xy = [x,y];
A0=0.005;B0=0.005;C0=0.005;D0=0.005;E0=0.005;F0=0.005;
p_init=[A0 B0 C0 D0 E0 F0];
%% 拟合求解
func=@(param,xy)param(1)*xy(:,1).^2+param(2)*xy(:,1).*xy(:,2)+param(3)*xy(:,2).^2+param(4)*xy(:,1)+param(5)*xy(:,2)+param(6);
param=nlinfit([x,y],zeros(size(x,1),1),func,p_init);
A=param(1)/param(6);
B=param(2)/param(6);
C=param(3)/param(6);
D=param(4)/param(6);
E=param(5)/param(6);
F=param(6)/param(6);

这里已经将拟合出来的椭圆方程系数并化简成标准形式,F=1。绘制出来的拟合结果如下图：

3. 长短轴和面积计算

计算出ABCDEF这6个系数的值后，椭圆的一般方程就确立了。即可以根据通用公式计算椭圆长短轴和面积。
对于一个ABCDEF这6个系数已知，并化简成标准形式的椭圆方程：
$$A?x^2+B?x?y+C?y^2+D?x+C?y+1=0$$
有：
中心坐标的公式为：
$$x0=(B?E?2?C?D)/(4?A?C?B^2);$$
$$y0=(B?D?2?A?E)/(4?A?C?B^2);$$
长半轴的公式为：
$$a=\sqrt{\frac{2?(A?x{0}^2+C?y{0}^2+B?x0?y0?1}{A+C+\sqrt{(A?C{)}^2+B^2}}}$$
短半轴的公式为：
$$b=\sqrt{\frac{2?(A?x{0}^2+C?y{0}^2+B?x0?y0?1}{A+C?\sqrt{(A?C{)}^2+B^2}}}$$
面积公式为：
$$s=\pi ?a?b$$
matlab代码如下：

%根据公式求椭圆中心
x0 = (B*E-2*C*D)/(4*A*C - B^2);
y0 = (B*D-2*A*E)/(4*A*C - B^2);
%%根据公式求椭圆长半轴
a= sqrt(2*(A*(x0^2)+C*(y0^2)+B*x0*y0-1)/(A+C+sqrt(((A-C)^2+B^2))));
%%根据公式求椭圆短半轴
b= sqrt(2*(A*(x0^2)+C*(y0^2)+B*x0*y0-1)/(A+C-sqrt(((A-C)^2+B^2))));
%面积s=π*a*b
s = pi*a*b;