基础数论之gcd和lcm【C++算法竞赛】

????????1.10就要去讲课了我ppt还没做，直接一个跪滑———

? ? ? ? 讲课还得8：30起床

? ? ? ? 8：30开始讲课，提前到场调试设备，合着我7：20就得从床上坐起来……

? ? ? ? 这让我一个日常11：30睁眼，12：30下床的人怎么活啊！！！

最大公约数 gcd

? ? ? ? 现抄一段百度百科的概念，证明我讲了概念：

????????最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

? ? ? ?判断/求最大公因数是非常常见的算法，常用度仅次于素数（但是难度相比素数筛要低很多），概念非常简单，甚至可以说几乎没有什么公式需要记，所以在这里，直接简单粗暴的分享几种计算方法。

暴力枚举

? ? ? ? 仅仅需要用循环变量i直接从A，B中的小值直接反向枚举到1，如果能同时被A，B整除，直接输出i就行了。

int gcd(int a,int b)
{
	for(int i=min(a,b);i>=1;i--)
		if(a%i==0&&b%i==0) 
            return i;
}

? ? ? ? 这种算法的时间复杂度是O(min(a,b))，因此一旦A，B都特别大的时候(比如说都是2的31次方)，这种方法的运行速度将会比乌龟还慢，自然会时间超限(TLE)。

辗转相除法

????????欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。
????????例如：a和b（a>b）的最大公约数是a%b和b的最大公约数

????????辗转相除法就是定义一个变量R来储存A模B的值，再将A的值设为B，B的值设为R。以此类推，直到B=0为止。然后直接输出A就行了。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a, b;
int gcd(int a, int b)
{
	int n = max(a, b);
	int m = min(a, b);
	if (n % m == 0)
		return m;
	return gcd(n % m, m);
}
int main() 
{
	cin >> a >> b;
	cout << gcd(a, b) << endl;

	return 0;
}

更相减损法

????????更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。
????????例如：a和b（a>b）的最大公约数是a-b和b的最大公约数

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
int a, b;
int gcd(int a, int b)
{
	int n = max(a, b);
	int m = min(a, b);
	if (n % m == 0)
		return m;
	return gcd(n - m, m);
}
int main() 
{
	cin >> a >> b;
	cout << gcd(a, b) << endl;

	return 0;
}

递归

????????用递归写最大公因数，还是基于辗转相除法。这样写，当A模B等于0时，返回B；否则返回递归求解B和A模B的最大公因数的值。

? ? ? ? 当时递归有一点很容易写错，因为 根据辗转相除法的性质，应该是在B等于0是返回此时A的值，而不是在当A模B等于0时返回B的值。

? ? ? ? 所以正确的写法是：

int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

? ? ? ? 而容易被误导的写法（就是我上面提到的错误点为：）

int gcd(int a,int b)
{
    if(a%b==0) return b;
    else return gcd(b,a%b);
}

__gcd(a,b)

? ? ? ? 最后就是STL库的特点，一种非常作弊的方法：__gcd(a,b)函数
????????用于求a，b的最大公约数。a,b不能是浮点数
????????头文件：#include< algorithm>

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<__gcd(a,b)<<endl;
}

最小公倍数

概念先行

? ? ? ? 直接抄百度：

????????两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。

? ? ? ? 求最小公倍数也是十分常见的题，常见到百度百科《最小公倍数》词条中就有各个语言的代码。

暴力枚举

? ? ? ? 在每一种题型上，大多都有暴力枚举这种方法，而且每次都会讲，但其实这并不是说鼓励同学们做什么题都用暴力，毕竟经常会卡时间，但是也是再告诉同学们，如果实在没有办法，是可以暴力的，万一时间够用呢？

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int a, b;
    while(cin >> a >> b)
    {
        int m = max(a, b);//a,b中的较大值
        while(1)
        {
            if(m % a == 0 && m % b == 0)
            {
                cout << m <<endl;
                break;
            }
            m++;//从较大的数开始,一个数一个数往后判断
        }
    }
    return 0;
}

数学方法

????????最小公倍数 = 两数之积除以最大公约数

#include<iostream>
using namespace std;

//求最大公约数
int gcb(int a, int b)
{
    int c = 0;
    while(c = a % b)
    {
        a = b;
        b = c;
    }
    return b;
}

int main()
{
    int a, b;
    while(cin >> a >> b)
    {
        //最小公倍数 = 两数之积除以最大公约数
        cout << a * b / gcb(a, b) << endl;
    }
    return 0;
}

推荐课后例题

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