图文证明 洛必达法则

2024-01-09 07:02:51

洛必达法则

洛必达法则:
如果在极限计算中遇到 0 0 \frac{0}{0} 00? ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ?的形式,可以使用该法则进行简化。

lim ? x → a f ( x ) g ( x ) = lim ? x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{{x \to a}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to a}} \frac{f'(x)}{g'(x)} xalim?g(x)f(x)?=xalim?g(x)f(x)?

其中, f ′ ( x ) f'(x) f(x) g ′ ( x ) g'(x) g(x)分别表示 f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x)的导数。

可见,洛必达法则的核心功能就是,大大简化了极限运算。

  • 为什么洛必达法则对于 0 0 \frac{0}{0} 00?型和 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ?
    生效?
  • 洛必达法则对于别的类型是否生效?

引入切线

斜率的概念;
a 点的斜率可以表示为:
lim ? x → a f ( x ) ? f ( a ) x ? a \lim_{{x \to a}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} xalim?x?af(x)?f(a)?
请添加图片描述
由图可以看出,B靠近a点时候的变化
割线的极限即是切线

构建关键函数

令函数: u ( x ) = u ( g ( x ) , f ( x ) ) u(x)=u(g(x),f(x)) u(x)=u(g(x),f(x))
根据切线的表示方法g(x) 为 x,f(x) 为 y,可以得a处的斜率为:
u ′ ( a ) = f ( x ) ? f ( a ) g ( x ) ? g ( a ) u'(a) = \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} u(a)=g(x)?g(a)f(x)?f(a)?
对上下同时除 x-a:
u ′ ( a ) = f ( x ) ? f ( a ) x ? a ? x ? a g ( x ) ? g ( a ) u'(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot \frac{x-a}{g(x)-g(a)} u(a)=x?af(x)?f(a)??g(x)?g(a)x?a?
我们将前后分开看,还是根据斜率表达式可得:
u ′ ( a ) = f ′ ( a ) ? 1 g ′ ( a ) u'(a)=f'(a) \cdot \frac{1}{g'(a)} u(a)=f(a)?g(a)1?
所以得出一点的斜率为:
u ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ′ ( x ) u'(x)= \frac{f'(x)}{g'(x)} u(x)=g(x)f(x)?

对于函数u(x)上任意一点和原点的连线 l l l 的斜率:
请添加图片描述

l ′ ( x ) = f ( x ) g ( x ) l'(x)= \frac{f(x)}{g(x)} l(x)=g(x)f(x)?
我们要证明这个:
lim ? x → a f ( x ) g ( x ) = lim ? x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{{x \to a}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to a}} \frac{f'(x)}{g'(x)} xalim?g(x)f(x)?=xalim?g(x)f(x)?
现在已经有了 f ( x ) g ( x ) \frac{f(x)}{g(x)} g(x)f(x)? f ′ ( x ) g ′ ( x ) \frac{f'(x)}{g'(x)} g(x)f(x)?的两个式子了

证明 为什么洛必达法则对于 0 0 \frac{0}{0} 00?型生效?

f ( x ) g ( x ) \frac{f(x)}{g(x)} g(x)f(x)?是原点线的斜率
f ′ ( x ) g ′ ( x ) \frac{f'(x)}{g'(x)} g(x)f(x)?是某点处的斜率

请添加图片描述
B,C两点是来确定切线的就如同上面引入的切线公式一样
B,C两点确定的切线就是 f ′ ( x ) g ′ ( x ) \frac{f'(x)}{g'(x)} g(x)f(x)?是某点处的斜率
黑色的函数是 f ( x ) g ( x ) \frac{f(x)}{g(x)} g(x)f(x)?是原点线的斜率
根据这个动图我们可以看出,在过原点的时候,两条线直接重合,而接近原点时其实就是f(x),g(x)趋近0时
所以有当上下都趋于0时有:
0 0 \frac{0}{0} 00?的形式,可以使用该法则进行简化。
lim ? x → a f ( x ) g ( x ) = lim ? x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{{x \to a}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to a}} \frac{f'(x)}{g'(x)} xalim?g(x)f(x)?=xalim?g(x)f(x)?

证明 为什么洛必达法则对于 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ?型生效?

在欧式几何中,两条线的斜率要相等,只有两种情况,重合或者平行。
这就是 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ?型为什么适用于洛必达法则的原因,我们来一起推导一下。
前面证明 0 0 \frac{0}{0} 00?型,就是因为趋向于0时发生了重合斜率相等
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∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ?型要证明洛必达,也要证明趋向于 ∞ {\infty} 时两条线的斜率要相等
首先有一个有趋向于 ∞ {\infty} 的函数 x 2 x^2 x2

请添加图片描述
0 0 \frac{0}{0} 00?型一样的图像证明
B,C两点是来确定切线的就如同上面引入的切线公式一样
B,C两点确定的切线就是 f ′ ( x ) g ′ ( x ) \frac{f'(x)}{g'(x)} g(x)f(x)?是某点处的斜率
黑色的函数是 f ( x ) g ( x ) \frac{f(x)}{g(x)} g(x)f(x)?是原点线的斜率
根据这个动图我们可以看出,在趋向于 ∞ {\infty} 的时候,两条线平行,而接近 ∞ {\infty} 时其实就是f(x),g(x)趋近 ∞ {\infty}
所以有当上下都趋于 ∞ {\infty} 时有:
∞ ∞ \frac{{\infty}}{{\infty}} ?的形式,可以使用该法则进行简化。
lim ? x → a f ( x ) g ( x ) = lim ? x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{{x \to a}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to a}} \frac{f'(x)}{g'(x)} xalim?g(x)f(x)?=xalim?g(x)f(x)?

洛必达法则对于别的类型是否生效?

根据上面的证明过程可以发现
只要原点线和割线斜率相等,就可以运用洛必达法则

参考文章

【洛必达法则】的动画证明+深入理解

文章来源:https://blog.csdn.net/L2489754250/article/details/135463954
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