算法的时间复杂度

????????在计算机科学中，算法的时间复杂度（time complexity）是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。（这段话不必急于理解，往下看）

????????时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。例如，如果一个算法对于任何大小为?n?的输入，它至多需要?5n^3?+ 3n?的时间运行完毕，那么它的渐近时间复杂度是 O(n^3)。

? ? ? ? 说明：首项系数为：5，低阶项为：3n，因此它的时间复杂度就是O(n^3)。大O时间复杂度并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

? ? ? ? 常见的时间复杂度分类有很多，咱们由易到难，逐步分析：

一、常数时间复杂度

????????常数时间复杂度 O(1) 意味着算法的执行时间是常量，不随输入规模的增加而增加。以下是一些常见的具有常数时间复杂度的例子：

? ? ? ? 1、数组和哈希表的访问：

• 直接访问数组元素或者从哈希表中查找一个元素的时间都是常数。例如，通过索引访问数组元素 arr[5] 或者通过键查找哈希表中的元素 hashTable['key']。

const array = [1, 2, 3, 4, 5];
const element = array[2]; // O(1)

const hashMap = { 'a': 1, 'b': 2, 'c': 3 };
const value = hashMap['b']; // O(1)

????????2、固定大小的循环：

• 循环的执行次数不受输入规模的影响。例如，一个执行固定次数的 for 循环。

const n = 10;
// 与n无关
for (let i = 0; i < 5; i++) {
    console.log(i); // O(1)
}

????????3、简单的数学运算：

• 像加法、减法、乘法、除法等基本数学运算都是常数时间复杂度。

const result = 2 + 3; // O(1)

二、二次方时间复杂度

????????冒泡排序是一种简单的排序算法，其时间复杂度为 O(n^2)。让我们通过冒泡排序的实现来说明它的二次时间复杂度。

????????冒泡排序的基本思想是多次遍历待排序的序列，每次遍历都比较相邻的两个元素，如果它们的顺序不符合要求就交换它们。这样，经过一轮的遍历，最大的元素就会"冒泡"到序列的末尾。重复这个过程，直到整个序列有序。

以下是冒泡排序的 JavaScript 实现：

function bubbleSort(arr) {
    const n = arr.length;

    for (let i = 0; i < n - 1; i++) {
        for (let j = 0; j < n - 1 - i; j++) {
            // 比较相邻的两个元素
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                // 交换它们的位置
                const temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
            }
        }
    }

    return arr;
}

// 示例
const unsortedArray = [64, 34, 25, 12, 22, 11, 90];
const sortedArray = bubbleSort(unsortedArray);
console.log(sortedArray);

在冒泡排序中，外层循环控制需要进行多少轮遍历，而内层循环负责实际的比较和交换操作。因为每一轮内层循环都会对序列中的元素进行比较和可能的交换，所以总的操作次数（即交换次数）是 n * (n-1) / 2，其中 n 是序列的长度。

? ? ? ? 解释：总的比较和交换次数可以表示为：(n?1)+(n?2)+…+1

????????这是一个等差数列的和，可以使用等差数列求和公式来计算。

这样的二次时间复杂度 O(n^2) 。意味着，随着输入规模的增加，算法的执行时间将按平方级别增长。因此，冒泡排序在大规模数据集上可能不够高效。

进阶1：

? ? ? ? 思考：最优时间复杂度？最差时间复杂度？

• 最优时间复杂度：O(n)，当输入数据已经是正序排列时，冒泡排序只需要进行一次扫描，就能确定所有元素已经有序。
• 最差时间复杂度：O(n^2)，当输入数据是逆序排列时，冒泡排序需要进行最大次数的比较和交换。

进阶2：

? ? ? ? 思考：冒泡排序能否进一步优化？

1. 提前结束： 如果在一轮冒泡过程中没有发生元素交换，说明数组已经有序，可以提前结束排序。

2. 记录最后交换位置： 在一轮冒泡中，最后发生交换的位置之后的元素已经有序，下一轮无需再考虑这些元素。

function bubbleSort(arr) {
    const n = arr.length;

    for (let i = 0; i < n - 1; i++) {
        // 标志位，用于记录是否发生交换
        let swapped = false;

        for (let j = 0; j < n - 1 - i; j++) {
            // 比较相邻的两个元素
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                // 交换它们的位置
                const temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;

                // 设置标志位为true
                swapped = true;
            }
        }

        // 如果一轮冒泡中没有发生交换，说明数组已经有序，提前结束
        if (!swapped) {
            break;
        }
    }

    return arr;
}

这种优化在某些情况下可以显著提高性能，特别是对于部分有序的数组。

思考3:

????????时间复杂度为什么不包含函数的低阶项和首项系数?

????????时间复杂度的目的是描述算法的增长趋势，而不是精确测量运行时间。省略低阶项和首项系数是为了更好地抽象出算法的主要增长趋势，使得我们可以更好地比较不同算法的性能。

????????考虑一个算法的时间复杂度表示为O(an^2 + bn + c)，其中 a、b、c 都是常数。在这个表示中，an^2 是主要的增长项，而bn和c是低阶项。当我们关注算法的增长趋势时，我们更关心的是随着输入规模n的增加，主要增长项对运行时间的影响。因此，我们将注意力集中在主要项上，而省略掉低阶项和常数系数。

????????这种抽象的好处在于，它让我们能够更通用地评估算法，而不受具体实现中的一些细节影响。不同机器上运行相同算法的实际运行时间可能会有很大差异，因此时间复杂度提供了一个更抽象、更一般的度量方式。

三、其他排序算法