代价函数（Cost Function）

代价函数公式

????????为了实现线性回归，第一个关键步骤是定义一个叫做代价函数的东西，成本函数会告诉我们这个模型做的怎么样，以便我们更好的去改进模型。

????????下面是上一篇中用到的例子，我们使用的模型是线性回归模型，w和b叫做参数（parameter），有时候我们也叫它们权重（weight）或者系数（coefficient），在机器学习中，我们可以调整参数来改进模型。

? ? ? ? 在建立一个线性回归模型的时候，我们要做的事情就是找到合适的w和b，从而使得f可以很好的拟合数据，比如下面这样

? ? ? ? 假如我们暂时选择了上面那条直线作为线性回归模型，对于训练集中的第i个训练样本来说，预测得到的值,那现在的问题就是怎样找到w和b使得大部分的和都接近。?

????????要回答上面的问题，我们应该先看一看如何衡量一条线与训练集的拟合程度，为了达到这个小目标，我们得构造一个代价函数（Cost Function） ，代价函数会预测,并且用它减去y，被叫做误差（error），我们是通过距离来衡量的，所以应该要计算误差的平方,接下来要将所有的误差整合起来，从1到m对误差进行求和（就不打公式了，不知道为什么csdn打不出这个），求和之后，数据越多代价函数值就越大？这显然不合理，所以我们又给和除以m，最后就是这样

????????但是事实上为了后续计算更加方便，这个代价函数还要除以2，我们也叫它平方误差代价函数，我们做出代价函数是为了找出使代价函数减小的w和b。

? ? ? ? 在机器学习中，不同的人在不同的场景会使用不同的代价函数，但是平方误差代价函数是迄今为止对线性回归最通用的代价函数。

理解代价函数

? ? ? ? 学习了代价函数的数学定义，现在让我们来更直观的看代价函数。来以一个很简单的模型为例：，那么参数为w，代价函数为

????????我们要做的就是找到一个使J最小的w值，下面这个例子中，训练集为（1，1），（2，2），（3，3），当m=1时，我们可以计算得=(1,1)，=(2,2)，=（3，3），那么

? ? ? ? 当w=0.5时，我们可以计算的=(1,0.5)，=(2,1)，=（3，1.5），按照同样的方式计算J（0.5）大约等于0.58

????????当m=0的时候，按照上面的方式算得J(0)约等于2.3

?????????最终我们得到J(w)随m变化得图象是这样的，当然这是一个理想的简化的例子，但是这可以让我们更好的理解代价函数，所以线性回归就是要找到能使J最小的w或者w,b

可视化代价函数

? ? ? ? 上面我们是做了一个简单的例子（b=0），接下来，我们让b不等于0来看看效果，上面是一个二次函数的样子，这里就不难联想到三维应该是类似于一个碗的样子，我们要找一个最好的w和b，就是要找这个“碗”的底。

总结

????????这一篇里我们学了怎么去衡量一个回归模型的好坏，以及怎么通过参数改进模型，应该理解并记住的是代价函数的公式，还有就是知道代价函数大概是长什么的，相信会对后面的学习有所帮助。