[数值分析]华中科技大学46讲

主页有更多博主精品笔记.

第一讲

华中科技大学研究生课程《数值分析》的46讲合辑，主要讲解了数值分析的基本概念和方法。视频中提到了一些乱码问题，建议辅助参考书来解决。推荐的参考书有清华大学出版社出版的《数值分析》和李红老师的数值分析教材。数值分析是利用计算机求解数值数学问题的方法，包括算法设计和分析。视频通过一个求解正弦函数的例子，介绍了如何通过数值方法获得近似解。算法设计的基本思想是将复杂问题转化为简单的重复计算。学习数值分析需要理解算法设计和分析的思想和方法，以便在实际问题中应

00:00 🔍乱码问题与参考文献推荐：这个章节主要讲述了在观看网上版本视频时可能会遇到乱码的问题，建议观众可以辅助参考其他参考书来理解乱码部分的正确内容。同时，提供了一些数值分析的参考文献推荐，包括清华大学出版社出版的数值分析教材和两本外文参考书。还介绍了数值分析与其他相关课程的区别，并简要概括了数值分析的定义和作用。
04:21 🔢数值方法的理论与应用：这门课程讲授与数值方法相关的理论和实际应用。学习这门课程的必要性在于工程计算和科学实验中会遇到一些抽象的数学问题，如微分方程的求解等。传统的理论方法在解决数学问题上存在局限性，而数值方法通过计算机辅助可以更好地获得解。科学计算成为研究问题的第三种方法，与实验和理论分析相辅相成。
08:41 🔍数值解与可靠性：数值方法在科学计算中非常重要，它用于解决数学问题并得到解析解或理论解。然而，有些问题很难得到解析解，或者得到解析解后仍需要进行实际演算。这时我们会将数学理论与计算机相结合，设计合适的算法来得到近似的数值解。近似解并不一定比解析解差，因为实际问题中存在误差。我们的目标是得到用户可以接受的精度范围内的近似数值解。因此，数值分析研究的主要问题是如何得到可靠的数值解。
13:04 📊算法理论与数学方法：这个章节主要讲述了数值分析中算法的理论分析方面以及数学方法和数值方法的区别。在数值分析中，我们可以用理论方法求解实际问题，得到解析解或精确解；也可以用数值方法通过设计算法和编程在计算机上得到近似解或数值解。数值分析的目标是分析数值方法的设计和理论性质，而科学计算则是将算法与计算机结合使用。电子计算机的发展使得人类在基础运算上有了更强的能力，但计算机有其运算次数和资源限制。因此，我们需要研究算法设计，告诉计算机如何进行运算。
17:22 🧮科学计算的数值方法：本章介绍了科学计算的数值方法，包括如何在计算机上实现算法，得到数学问题的近似解。数值计算的任务是研究算法，设计和分析算法的性质。通过一个例子，讲解了如何设计算法来计算三角函数sin x的近似值，利用泰勒展开和基本运算实现。这个例子告诉我们可以利用数学理论设计算法，例如泰勒公式。
21:48 📐基于数学理论的算法设计：这个章节介绍了一种基于数学理论的算法，通过将复杂的数学问题转化为简单的重复运算，使用计算机的基本运算和循环运算来实现。算法设计的基本思想是将复杂问题分解成简单问题逐步解决，类似于生活中遇到困难问题时的思考方式。在学习算法时，不仅要记住具体的算法，更重要的是理解算法设计和分析的思想和技术，以便在新领域进行创新研究。

第二讲

关于数值分析的第二讲。讲师介绍了数值分析的基本概念和算法设计的重要性。他以几个例子说明了算法设计中要考虑的误差来源和传播。其中包括模型误差、观测误差、方法设计的误差和舍入误差。通过一个定积分的计算实例，讲师展示了算法设计中误差的影响，并强调了数值稳定性的重要性。最后，讲师提到了数值分析的目的是为了得到近似解，而不是精确解。

00:00 🧮多项式值的计算：本章节主要介绍了如何通过使用Matlab编程来计算一个多项式的值。Matlab是一种集成性的语言，更加偏向于数学和符号化计算，相比于C语言编程更加简单。然而，对于一些问题来说，用C语言编程可能更高效。通过一个例子，我们可以看到计算一个多项式的值的计算量是非常大的，特别是乘法运算。然后，介绍了一种等价的计算方法，将多项式转换成括号形式，这样可以减少乘法的次数。通过这种方法计算多项式的值只需要进行4次乘法运算。
05:44 ??乘法次数的降低：这个视频讲述了在计算机算法中，如何通过降低乘法次数来提高计算效率。介绍了秦九韶算法和Honor算法的历史背景，并对比了它们与多项式计算的效率差异。同时，还讨论了线性方程组的求解中使用克莱姆法则需要的计算次数。通过不同的算法选择，可以提高计算速度和效率。
11:27 🔢计算行列式的方法：这个章节主要介绍了计算行列式的方法，包括使用克莱姆法则进行计算和展开计算的方法。通过展开计算，可以得到行列式的乘积是n的阶乘，因此计算行列式需要进行大量的乘法和除法运算。以一个20阶线性方程组为例，计算需要约9.7乘10^20次的乘除法，即使使用每秒1亿次乘除法的计算机，也需要30多万年的时间。因此，克莱姆法则虽然理论上可行，但在实际中并不具有可操作性，需要采用其他数值算法来解决线性方程组。
17:11 🔍高斯消元法和数值分析：高斯消元法是一种求解线性方程组的实用方法，特别适合求解三对角矩阵等特殊形式的矩阵。椎管法和追赶法是求解三对角矩阵的通用算法。数值分析是为了解决复杂的数学问题，通过设计数值方法和算法，将问题转化为基本的加减乘除运算在计算机上实现，得到可靠的数值解。
22:55 📊数值算法的设计和误差：这个章节主要介绍了数值算法的基本设计思想和原理，以及算法的计算步骤和实践方法。同时，还强调了在处理问题和分析时需要注意的技巧，以及误差、稳定性和收敛性等基本理论。此外，还提到了通过实际例子来实践和理解算法的重要性，以及不同问题上算法表现的差异。最后，介绍了误差的来源和分类，其中模型误差是从实际问题抽象出来的数学模型与实际问题之间的差异。
28:39 📏数学模型中的误差：这个章节主要介绍了在数学模型中存在的误差问题。这些误差包括观测误差、方法误差和舍入误差。观测误差是由于观测值的不准确造成的，方法误差是由于算法设计的不精确造成的，舍入误差是由于计算机字长限制造成的。在计算一个定积分的例子中，我们可以通过估计和展开级数来近似计算它的值。因此，我们需要在算法设计过程中考虑这些误差，以获得更准确的近似计算值。
34:22 📈近似计算基本初等函数：这个章节讲述了近似计算基本初等函数的方法。通过展开指数函数为无穷级数，并逐项求积分再求和，可以得到定积分的近似值。通过截取有限项进行计算，可以获得定积分的近似值和截断误差。同时，计算机进行有限精度运算会引入舍入误差。通过理论分析和计算，可以得到近似值的误差范围和精确值。这个过程中，误差来自于方法设计的截断误差和近似计算的舍入误差。
40:09 🦋蝴蝶效应和舍入误差：蝴蝶效应是指南美洲亚马逊河流域的一只蝴蝶扇动几下翅膀，会在两周后引发美国德克萨斯州的龙卷风。蝴蝶效应最早由英国气象学家理查德森提出，他用一个蝴蝶形状的图形来描述模拟气象模型的微分方程。如果在计算过程中中途停下来记录数值，再继续计算会得到完全不同的结果，这是因为舍入误差会导致误差传播和积累，造成解的失真。因此，在设计数值算法时，需要考虑如何控制舍入误差的传播，同时结合问题本身的特性来选择稳定的算法。

?

第三讲

介绍了数值分析中的关键点，包括算法设计中的误差大小和传播累积问题，以及如何通过递推关系设计稳定的数值算法。通过一个求定积分的例子，讲解了递推关系的产生和数值算法的实现。同时，讨论了舍入误差的影响和如何估计误差的有效数字。强调了稳定算法的重要性，以及通过有效数字来衡量近似值的精度。

00:00 📊数学算法关键点：这个章节主要讲述了在设计数学算法时需要注意的关键点，包括误差大小、误差的传播与累积以及算法设计中的问题。通过一个求定积分的例子，说明了当n取不同值时，定积分的计算方法不同。然后介绍了如何通过递推关系来设计算法，利用分部积分公式得到递推公式，并通过带入n等于零的情况来求解。
05:38 🔄迭代算法优化：本章介绍了一个迭代算法，通过递推关系计算出一系列的数值。这个算法是精确的，但在计算机上实现时会有舍入误差。作者通过计算得到了一些数值，并对其进行了估算和比较，发现结果与预期不符。因此，需要进一步优化算法，以提高计算精度。
11:17 🔢递推关系算法的数值稳定问题：这个章节讲述了一个递推关系的算法在计算机上实现时可能出现的数值不稳定问题。由于舍入误差的传播和累积，算法得到的解会逐渐失真并变得不可信。为了解决这个问题，需要设计一个数值稳定的算法，即误差逐步缩小且控制在用户可接受的范围内。通过改变递推顺序，从大到小递推，并合理选择初始启动值，可以减小误差的传播。
17:00 📏估计和反推获取数值：该章节主要介绍了在实现时如何通过估计和反推来获取某个具体数值的方法。通过对定积分的估计，可以得到该值在一个误差范围内的近似值。接下来，可以通过反向递推公式来逐步计算出需要的数值。在递推的过程中，误差会逐渐缩小，结果会越来越接近理论值。通过反向递推的实践验证，证明了该方法的可靠性和高精度。同时，强调了在算法设计中，需要考虑误差大小和传播，以及算法的稳定性。
22:40 📉误差逐步缩减和稳定算法：在这个视频中，讲解了误差逐步缩减的过程以及稳定算法的概念。同时介绍了绝对误差的定义和估计方法，并提到了绝对误差限的概念。绝对误差限不是唯一的，但我们希望能得到一个尽可能小的绝对误差限，以更准确地衡量近似值和精确值之间的近似程度。
28:20 📈绝对误差和相对误差：这个视频讲解了绝对误差和相对误差的概念以及它们在近似计算中的应用。绝对误差是近似值和精确解之间的差距，而相对误差是绝对误差除以精确解的比值。通过对绝对误差的分析，可以评估近似值的精度。在实践中，我们通常使用绝对误差限来表示近似值的精度范围，并通过计算相对误差来判断不同近似值的精确程度。绝对误差限的大小越小，表示近似值越精确。因此，仅仅通过绝对误差和绝对误差限无法判断两个近似值的精确度，还需要考虑数值本身的大小来计算相对误差。
34:00 📐近似值和误差的衡量：这个视频讲述了近似值和误差的概念，以及如何通过绝对误差、绝对误差限、相对误差和相对误差限来衡量近似程度。有效数字是一个简单直观的指标，表示近似值中非零数字的位数。通过四舍五入的原则可以得到近似值，并且其误差小于等于最后一位的一半。
39:41 💡有效数字的概念和计算方法：本章介绍了有效数字的概念和计算方法。通过例子可以看出，有效数字是指从第一个非零数字开始数到最后一位非零数字的位数。有效数字的位数可以直接表示近似值的精度，同时也可以计算出绝对误差限。对于科学计数法表示的数值，有效数字可以通过最后一位数字和其后一位数字的四舍五入得到。最后还给出了有效数字的严格数学定义，并强调了四舍五入的原则。

?

第四讲

介绍了数值分析中的差值方法，主要是针对函数逼近问题。差值方法是通过已知的函数值来构造近似函数，以得到未知点的函数值。视频中讲解了插值方法的基本思想，以及在实践中如何避免误差的传播和累积。接下来的章节将介绍具体的差值算法和其他数值方法。

00:00 🔢数的有效位数计算：这个视频讲述了如何使用精确的数学定义来确定一个数的有效位数。通过一个例子，我们可以看到如何计算一个除法，并得到一个近似值x。根据定义，我们可以将x写成科学计数法的形式，并比较它与精确值派的位数。然后，我们计算x的绝对误差，并进行放缩，以获得一个较小的误差线。根据误差线的大小，我们可以确定x的有效位数。无论是使用严格的数学定义还是一个简化的方法，我们都可以得到x具有7位有效数字的结论。通过另一个例子，我们可以看到误差超过某一位的一半时，这一位之后的数字将不再是有效数字。因此，我们可以通过绝对误差限来确定有效数字的位数。
06:37 ?判断数的有效数字位数：这个视频讲解了如何判断一个数的有效数字位数。我们可以从右往左数，直到第一个不为零的位数，即为有效数字位数。如果最后几位都是零，也要进行计数。此外，近视值和精确值的有效数字位数是不同的，末尾的零也不能随意省略。视频还介绍了有效数字和相对误差之间的关系，通过推导可以得出一个数值的相对误差限，从而推断该数值的有效数字位数。反过来，已知相对误差限也可以推导出有效数字位数的范围。
13:18 📊有效数字和误差估计：有效数字可以直观地表征计算值和精确解之间的近似程度。通过定义有效数字，可以得到绝对误差和相对误差限。在实践中，常用有效数字位数来判断近视程度。当相对误差小于某个值时，至少应该取六位有效数字。对于函数值的误差估计，可以利用可微性和导数的变化情况来进行近似估计。绝对条件数可以表示放大或缩小的因子，而相对误差可以通过相对条件数来进行估计。
19:58 📈绝对条件数和相对条件数：这个章节讲解了绝对条件数和相对条件数的概念，以及它们与函数性质和点的取值的关系。条件数小表示函数对扰动不敏感，是好条件；条件数大表示函数对扰动敏感，是坏条件。对于一元函数和多元函数，我们可以通过条件数来分析函数的误差。通过两个对数函数的例子，演示了如何通过条件数来确定函数的有效数字位数。
26:39 📉误差传播和累积：本章节讲述了在进行计算时应该注意误差的传播和累积。避免相近的两个数相减，可以通过转换或利用等价公式来避免。同时，避免大数除小数和大数吃小数，以免损失有效数字位数。举例说明了相近数相减和大数除小数的问题，并给出了解决方法。算法设计和实现时，应根据问题特点选择合适的避免方法。注意小的分母变成大数和大数吃小数的情况，避免浮点数和有效数字位数的损失。
33:18 ??一元二次方程求解：这个章节讲解了求解一元二次方程的方法。通过公式计算两个根，其中一个根可以通过负b除以2a得到，另一个根存在较大的误差。为避免误差，可以根据b的符号来选择计算方式。此外，在进行数值计算时，应尽量采用从小到大相加的方式，化简运算并选择数值稳定的算法。
39:58 📚数值分析课本目录：这个视频中的一个章节介绍了数学课本的目录和各个章节的内容。其中第二章是差值法，第三章是函数逼近和曲线拟合方法，第四章是数值积分，第五章是常微分方程的数值解法，第六章是线性代数方程组的解法，第七章是非线性方程和非线性方程组的数值解法，第八章是矩阵的特征值与特征向量的计算。本章节重点介绍了函数拟合问题中的插值方法，通过已知的函数值来构造插值方法，以求得未知点的函数值。

?

第五讲

关于数值分析中的插值方法的讲解。它介绍了差值问题的定义和目标，以及差值多项式的存在唯一性。视频中提到了两种常用的差值方法：多项式插值和分段多项式插值。多项式插值使用代数多项式作为简单函数进行逼近，而分段多项式插值则使用分段函数进行逼近。视频还介绍了拉格朗日插值法，它是一种常用的差值方法，通过构造拉格朗日多项式来实现差值。视频还提到了待定系数法和拉格朗日插值基函数的概念。

00:00 🔍函数逼近：这是一个关于函数逼近问题的章节。通过已知的函数表，我们要利用插值方法来求得函数值的近似值。插值方法的基本思想是用代数多项式或分段代数多项式去近似原函数。我们需要满足已知函数值的条件，构造出满足这些条件的差值多项式函数。常用的插值方法包括多项式插值。
05:40 📊差值函数的基本概念和应用：这个章节介绍了差值函数的基本概念和应用。差值函数可以通过给定的一些离散点来构造一个近似的函数曲线，这种方法可以应用于不同类型的函数。比如在绘图软件中，我们可以通过给定几个点来生成一条曲线，并通过调整曲线的形状来满足需求。差值算法利用这种思想，在用户没有给定函数值的情况下，通过描绘曲线的方式实现函数的运算。这种应用非常广泛，我们可以通过学习代数多项式插值和分段差值的基本原理，来理解其他类型函数的插值方法。插值的数学定义是，给定一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，以及一些离散的节点x0到xn，我们要找到一个简单的函数p(x)来近似f(x)，使得p在这些节点处的函数值等于f在相应节点处的函数值。利用代数多项式插值法，我们可以构造出满足这些条件的多项式p(x)。
11:23 📈代数多项式插值的基本概念和方法：本章介绍了代数多项式插值的基本概念和方法。首先，代数多项式是一个次数不超过n的多项式，可以用线性组合的形式表示。然后，介绍了多项式插值的思想，即利用次数不超过n的多项式对给定的函数进行逼近。接着，介绍了插值方法的适定性问题，包括存在性和唯一性。最后，提出了构造插值多项式的算法设计和估计插值误差的方法。
17:09 🔒差值条件和多项式的唯一性：在这个视频的章节中，讲解了关于差值条件和多项式的唯一性的问题。通过给定一组离散的节点和对应的函数值，可以唯一确定一个次数不超过n的多项式。对于这个多项式的求解，可以转化为一个线性方程组的求解问题，当系数行列式不为零时，存在唯一解。所以，给定n个不同的节点，就可以唯一确定一个次数不超过n的多项式。
22:51 🔧差值多项式的唯一性和构造方法：这个章节讲述了关于差值多项式的唯一性和构造方法。根据定理，次数不超过n次的差值多项式存在唯一性，但次数可以小于n。构造方法是通过解线性方程组来确定待定系数，其中差值条件和导数条件都可以使用。举例说明了如何构造带有差值和导数条件的多项式。
28:36 ?差值问题：本章介绍了差值问题，要求差值多项式在给定节点处的函数值和一阶导数值与原函数保持一致。差值条件可以包括函数信息和导数信息，可以决定多项式的次数。通过给定节点的函数值和导数值，可以确定次数不超过四次的差值多项式的五个系数。另外，差值多项式还可以简化为一个次数不超过二次的多项式乘以x的平方。
34:15 🔍求解差值多项式的方法：本章介绍了求解差值多项式的两种方法：待定系数法和拉格朗日插值基函数。待定系数法通过选择奇函数和利用差值条件构造多项式，但其线性表达系数难以求解，不适宜在计算机上实现。而拉格朗日插值基函数则通过反过来确定奇函数，使得线性表达系数易于求解。这两种方法都能求得满足差值条件的唯一多项式，只是表示形式不同。因此，拉格朗日插值法得名于数学家拉格朗日，但其构造和认识早于他的提出。
39:58 🔍拉格朗日插值法的起源和构造过程：本章介绍了拉格朗日插值法的起源和构造过程。在数学家拉格朗日之前，已经有很多数学家研究过差值和差值多项式的构造，类似于微积分中的牛顿莱布尼兹公式。由于信息传播的不完善，有时候会出现不同数学家在时间节点上的重合。以欧拉为例，他也曾研究过拉格朗日插值。拉格朗日插值法最简单的情况是两个节点，通过线性函数来近似原函数关系。当节点个数增加时，可以使用求和形式的拉格朗日多项式来表示。

?

第六讲

关于数值分析中的拉格朗日插值多项式的构造和误差分析的。通过介绍拉格朗日基函数和插值条件，推导出了拉格朗日差值多项式的一般形式。同时，利用罗尔定理分析了差值的余项，并给出了误差的上界估计。视频中还提到了线性差值和抛物差值的特殊情况，并给出了它们的误差公式。最后，强调了差值多项式对于次数不超过n次的多项式是精确的。

00:00 📝拉格朗日插值多项式构造：本章介绍了拉格朗日插值多项式的构造和拉格朗日基函数的特点。拉格朗日基函数分为l0和l1，满足一次函数的特性。当x取节点值时，l0等于1，l1等于0；当x取非节点值时，l0等于0，l1等于1。可以将l0和l1看作是克罗内克德尔塔函数，满足克罗内克德尔塔函数的性质。
05:58 📚拉格朗日插值基函数性质和应用：这个视频讲解了拉格朗日插值基函数的性质和应用。拉格朗日插值基函数是满足克洛雷和德尔塔函数性质的函数，它可以用来表示插值多项式。当多项式的线性表达系数选取为插值节点对应的函数值时，插值多项式满足插值条件。通过拉格朗日插值基函数，我们可以用n+1个互异的插值节点来构造次数不超过n次的插值多项式。
11:59 🔧拉格朗日差值多项式构造方法：这个视频讲述了拉格朗日差值多项式的构造方法。通过选取n个零点和一个非零节点，将其带入到拉格朗日差值公式中，可以得到一个满足n+1个差值条件的n次多项式。这个多项式的形式是由n个乘积因子相乘而成，每个乘积因子都是x减去一个零点。通过确定每个乘积因子的系数，即可得到最终的拉格朗日差值多项式。
17:55 🔍拉格朗日插值多项式基本原理和应用：这个章节讲解了拉格朗日插值多项式的基本原理和应用。通过将一组互异的节点带入拉格朗日插值基函数，可以得到差值多项式。差值多项式可以用来近似函数关系，通过将一个不为差值节点的点带入奇函数，可以得到近似的函数值。拉格朗日插值基函数只与差值节点有关，与函数值无关。线性差值是两点式，抛物差值是三点式。
23:53 🔧两种基函数的构造方法：本章介绍了两种基函数的构造方法：待定系数法和拉格朗日插值法。待定系数法通过确定系数来构造基函数，而拉格朗日插值法通过插值多项式来构造基函数。接着介绍了差值余项的分析方法，通过罗尔定理和连续性条件来分析差值的误差。最后，讲解了误差的分析方法，需要满足函数连续性和导数存在的条件。
29:52 ??罗尔定理在多阶导数中的应用：这个章节讲解了罗尔定理在多阶导数中的应用。通过多阶导数的零点，可以找到插值节点和非插值节点，进一步分析误差和确定待定函数。最终目标是确定一个辅助函数，通过辅助函数的零点来确定插值节点和非插值节点，以及待定函数的取值。通过多次运用罗尔定理，可以得到误差的分析和确定待定函数的方法。
35:50 🧮利用罗尔定理计算插值误差项：在这个视频章节中，讲解了利用罗尔定理计算插值的误差项。通过求函数的n+1阶导数，并用插值节点和非插值节点之间的差值区间来表示，最终得到了误差项的表达式。该表达式与函数f的连续性和n+1阶导数有关。需要注意的是，余项中的cos x是属于插值区间的。
41:47 📉余项的概念和误差分析：本章介绍了余项的概念，强调了余项是关于x的函数，并且在连续性条件下才适用。当x等于插值节点时，误差为零。通过放缩导函数的绝对值，可以估计余项的上界。对于次数不超过n的多项式，插值多项式是精确的。特殊情况下，比如n=1时的抛物差值，可以利用导数值估计误差的上限。下节课将会具体介绍如何分析具体例子的误差。

?

第七讲

介绍了插值方法和插值条件，并解答了三个问题：满足给定节点和插值条件的差值多项式是否存在唯一性，如何构造差值多项式，以及如何估计插值误差。通过拉格朗日插值公式和牛顿差值公式，可以方便地进行函数近似，并进行误差分析。牛顿差值公式可以方便地新增或减少节点，并具有简单的计算形式，适用于高次插值。插值方法的选择应根据具体情况，内插法适用于节点内的插值，而外推法适用于节点外的插值。

00:00 ?插值方法的问题：本章主要介绍了插值方法的三个主要问题：满足给定节点和插值条件的差值多项式是否存在唯一性，如何构造差值多项式，以及如何估计插值多项式的误差余项。对于第一个问题，只要节点是互异的，差值多项式就存在且唯一。对于第二个问题，介绍了拉格朗日插值公式作为一种可递推的构造差值多项式的方法。对于第三个问题，给出了插值余项的形式，与导数信息和一个多项式有关。此外，还介绍了拉格朗日插值的奇函数和分段线性插值的奇函数的特点。
05:43 📏拉格朗日插值多项式：本章介绍了拉格朗日差值多项式的形式，它是一个加权表达式，通过乘以每个点处的函数值再求和来表示函数。根据点与点之间的距离，靠近的点的函数值对结果影响最大。然而，使用拉格朗日插值可能会导致农耕现象，即函数信息的错误表达。另外，不同的奇函数具有不同的特性，比如b函数更多表示靠近三这个点附近的值。接下来，将使用拉格朗日插值公式对sin(x)函数进行近似，并进行误差分析。
11:25 🔍外推和内插：这个视频讲述了插值方法中外推和内插的概念和效果。通过选取不同的插值节点，可以得到不同精度的近似值。内插的效果比外推好，因为内插的误差比外推小。通过分析余项公式，可以计算出误差的上界，从而评估近似值的精度。这对于选择合适的插值节点来提高精度非常重要。
17:09 📉实际误差和二次插值：视频介绍了实际误差和二次插值的效果。实际误差与估计的范围相符，二次插值的实际误差比线性插值小。高次差值不一定比低次差值效果好，有一个限度。牛顿差值是拉格朗日差值的另一种等价形式，它解决了新增或减少节点的问题。牛顿插值法是一种逐次生成差值多项式的算法，利用简单的函数来构造多项式。牛顿插值法以数学家牛顿的名字命名。
22:52 📊差值多项式的概念和应用：这个视频讲述了差值多项式的概念和应用。差值多项式是一种用于近似函数的方法，通过给定的函数值和对应的点来求得一个近似的常数。视频介绍了一次差值多项式和二次差值多项式（抛物差值），并通过拉格朗日插值公式和点斜式来推导它们的表达式。同时，还讨论了差值多项式的基函数构成线性组合的形式，以及基函数之间的递推关系。
28:38 📈抛物差值的二次函数空间：这个章节介绍了构成抛物差值的二次函数空间，其中的基函数具有递推性质。通过比较差值公式的最高次项系数，可以求得二次函数空间中的基函数系数c2。进一步推广，可以总结出点斜式的推导规律，得到高阶差商的表达式。这种套娃一样的递推关系可以帮助设计算法，最终得到牛顿插值公式。
34:22 🔢牛顿差值方法：牛顿差值是一种插值方法，通过插商来表示多项式。它的优点是可以方便地新增和减少节点，并且计算形式简单。通过一阶插商和二阶插商，可以定义出不同阶数的插商。插商与节点的函数值有关，而当节点重合时，插商与导数有关。牛顿差值方法依靠插商来实现插值。
40:03 ??插值多项式的定义和性质：这个视频讲解了插值多项式的定义和性质。插值多项式可以通过给定的节点和函数值来拟合一个函数。视频中介绍了一阶插值和二阶插值的定义和求解方法，以及插值多项式的一般规律。同时，还提到了节点的选择和下标的互换对插值多项式的等价性的影响。最后，视频强调了理解插值多项式的含义和特点比死记公式更重要。

?

第八讲

介绍了数值分析中的牛顿插值方法。牛顿插值是一种通过多项式逼近函数的方法，通过插商表和差商的计算，可以得到多项式的表达式。视频还介绍了具有等距节点的牛顿插值公式，并给出了差分表的计算方法。最后，视频提到了埃尔米特插值，它是一种含有导数信息的差值方法。

00:00 📚插值的概念和性质：这个视频讲解了插值的概念和插值的性质。插值是通过已知的一些节点来逼近一个函数的方法，节点的选择和插值的阶数有关。插值函数的导数和差商之间有一定的关系，插值的值与节点的顺序无关。为了简化插值的表示形式，可以引入插值基函数和其一阶导数。
05:46 🔢差商的计算方法和规律：本章节主要介绍了差商的计算方法和规律。差商是通过连接插值来计算的，根据定义的公式，可以得到一阶差商和二阶差商的计算方法。通过这些规律，可以方便地编写程序来计算插值的过程。
11:34 🔍牛顿插值公式的推导：这个章节主要讲解了牛顿插值公式的推导过程。通过计算差商，可以逐步得到不同阶数的插值函数，最终表示成一组奇函数的线性组合形式。其中，c0等于f(x0)，c1等于(fx1-fx0)/(x1-x0)，以此类推。这样，我们可以用牛顿插值公式来计算给定点的插值值。
17:21 📝牛顿插值多项式的推导和证明：这个视频讲解了牛顿插值多项式的推导和证明过程。通过数学归纳法可以证明牛顿插值多项式的表达式，其中包括一阶差商和二阶差商的计算。通过逐步回代，可以得到牛顿插值多项式的形式，并且分析了差值余项的计算过程。整个过程严谨而逻辑清晰。
23:07 📊牛顿差值多项式和拉格朗日差值多项式的计算方法：这个视频介绍了牛顿差值多项式和拉格朗日差值多项式的计算方法。通过插商表的计算，可以得到牛顿差值多项式的系数，从而求得任意节点的近似值。通过比较差商和导数的关系，可以得到牛顿差值公式。最后，通过练习差商表的计算，可以掌握牛顿差值公式的使用。
28:56 📈牛顿差值公式及其应用：本章介绍了牛顿差值公式及其应用。牛顿差值公式是通过差商来逼近函数值的多项式。具体公式中包括一阶差商、二阶差商和三阶差商，以及对应节点的差分。同时，介绍了具有等距节点的牛顿插值公式的实现方法，并说明了向前差分、向后差分和中心差分的定义和应用。最后，讲解了如何估计差值公式的误差。
34:43 ??中心差分和差商的性质：这个视频的章节解释了中心差分和差商的性质，以及等距节点的差分和导数之间的关系。通过差分可以减少差商中的除法运算，而牛顿插值公式在等距情况下只需使用向前或向后差分来表示。这些公式可以方便地计算插值和近似值，并减少除法运算的数量。
40:31 🔀前插公式和后插公式的应用场景：本章介绍了牛顿插值公式中的前插公式和后插公式的应用场景，以及如何通过差分表进行插值计算。差分表的计算只需要相邻节点的函数值相减即可，无需除法运算。通过例子演示了使用前插和后插公式进行近似值计算的方法。此外，还介绍了利用差分和导数进行误差估计的方法。下节课将介绍埃尔米特插值，即含有导数信息的差值方法。

?

第九讲

介绍了埃尔米特插值方法，它是插值方法中的一种。与拉格朗日插值多项式不同，埃尔米特插值多项式不仅要满足函数值相等的条件，还要满足导数值相等的条件。视频中通过示例演示了如何构造满足这些条件的埃尔米特插值多项式，并给出了相应的计算公式。同时，视频还提到了埃尔米特插值的存在唯一性和余项的分析。这种插值方法在数值计算中具有重要的应用。

00:00 🔍埃尔米特插值方法：本章介绍了埃尔米特插值方法，与拉格朗日插值不同的是，埃尔米特插值不仅要求在给定的离散节点处函数值相等，还要求相应导数值也相等。埃尔米特插值的条件是函数信息和导数信息的重合。这种方法在近似函数与原函数在节点处函数值和导数值都相等的问题上很有价值。
06:05 📈差值条件和多项式逼近：这个章节主要介绍了差值条件和多项式逼近的相关概念。通过给定节点处的函数信息或者导数信息，可以确定一个不超过n次的多项式来近似原函数。差值条件的个数决定了多项式的次数，而自由度则由待定系数的个数来确定。通过合理设计算法和适当的理论分析，可以解决函数逼近问题。举例说明了埃尔米特插值问题和泰勒多项式的关系。
12:11 🔧埃尔米特插值多项式的构造：该视频讲解了埃尔米特插值多项式的构造和余项分析。通过给定函数和导数值的节点信息，可以构造出满足这些条件的插值多项式。视频介绍了两种构造方式：待定系数法和牛顿差商法。通过插商表和奇函数的提升，可以得到不超过三次的埃尔米特插值多项式，并分析了其余项的形式。
18:17 🔄奇函数的二次奇函数和新增奇函数：该章节介绍了奇函数的二次奇函数和新增的奇函数的关系，以及如何通过导数信息确定待定系数a。同时还讲解了新增节点的注意事项和余项的分析方法。接着介绍了埃尔米特插值公式的一般形式和重节点插值的定义。最后指出如果重节点处的一阶导数存在，则重节点插值即为该点处的一阶导数。
24:25 📝埃尔米特插值公式的推导过程：这个章节讲解了埃尔米特插值公式的推导过程。通过构建差商表和重节点插商，可以得到埃尔米特插值多项式的表达式。重节点插商需要考虑函数值和导数值的信息，通过递推计算可以得到高阶差商。最后，将差商与基函数相乘，得到埃尔米特插值多项式的表达式。
30:32 ?埃尔米特插值多项式的构造和存在唯一性：本章节介绍了埃尔米特插值多项式的构造和存在唯一性。通过给定差值节点的函数值和导数值，可以构造满足差值条件的2.3次埃尔米特插值多项式。该多项式的线性表达系数通过一组奇函数和给定的函数信息和导数信息确定。这种构造方法类似于拉格朗日插值多项式，但线性表达系数的计算方式不同。
36:38 🔧贝塔函数和基函数的构造：本章介绍了贝塔函数和基函数的构造，以及其满足的条件。贝塔函数是一个奇函数，用于表示导数信息。构造的四个基函数都是三次多项式，类似于拉格朗日插值基函数。根据差值条件，可以确定基函数满足的性质。一阶导数信息也可以通过求导和带入常系数来确定。阿尔法和贝塔函数具有特定的取值条件，满足克罗内克和德塔函数的形式。总共有16个条件出现。
42:44 🛠?奇函数的构造方法：在这个视频的章节中，讲解了奇函数的构造方法。通过利用拉格朗日插值基函数的平方形式，可以构造出具有特定条件的奇函数。通过设定阿尔法和贝塔的形式，并利用差值条件求解其系数，可以得到满足条件的奇函数。这种方法可以用于构造含有零点和导数信息的奇函数。

?

第十讲

介绍了埃尔米特插值方法和分段线性插值方法。埃尔米特插值使用一组奇函数来逼近原函数，满足函数值和导数值的差值条件。分段线性插值将插值区间分成小段，每一段使用线性函数来逼近原函数。两种方法都可以用来近似函数，但埃尔米特插值具有更高的精度，而分段线性插值具有更好的稳定性。在选择插值方法时，需要权衡精度和稳定性的要求。

00:00 🔢埃尔米特插值方法：本章节介绍了利用拉格朗日插值基函数构造埃尔米特插值多项式的方法。通过引入四个基函数，每个基函数满足四个差值条件和两个导数条件，并且在离散节点处取值只有一个为1，其他为0。根据基函数的性质，可以得到阿尔法和贝塔的形式，并将其写成待定形式。利用其他插值条件可以确定阿尔法的值。最后提到在求埃尔米特插值多项式时，可以使用代理系数法或者推导法。
05:36 🔄二次和三次埃尔米特差值：这个章节讲解了二次和三次埃尔米特差值的求解方法。对于二次埃尔米特差值，可以使用拉格朗日插值基函数来构造多项式。而对于三次埃尔米特差值，可以利用牛顿差值多项式来构造多项式，并且需要额外给出一个导数值来确定一个常系数。这些方法都是基于给定的函数值和导数值来求解的。
11:13 🔀节点和差值条件：这个视频讲解了如何通过已知的n个节点和n个函数值、一阶导数值来确定一个次数不超过2n+1次的多项式。通过推导，可以得到一个满足这2n+2个差值条件的阿尔法和贝塔函数，它们都是关于x的2n+1次多项式。通过这些函数和它们的导数值在离散节点处的性质，可以确定阿尔法和贝塔函数的具体形式。最后，通过解方程可以确定阿尔法和贝塔函数中的参数。
16:53 📈埃尔米特插值逼近：这个章节讲述了使用埃尔米特插值方法来逼近一个函数。通过确定奇函数的系数和导数信息，可以得到埃尔米特插值多项式。当原函数具有一定的连续性和导数条件时，可以使用余项公式来估计误差。埃尔米特插值多项式是唯一的，并且具有特定的性质。在证明过程中，需要利用余项分析的方法来选择适当的函数形式，并证明余项为零。最后，通过一个小问题来说明如何判断一个函数是否为奇函数。
22:29 📊贝塔二函数和高阶插值：这个章节主要介绍了贝塔二函数和埃尔米特差值。通过函数信息判断，确定左边是阿尔法二函数而不是贝塔二函数。贝塔二差值基函数的图像呈现出二次形式。同时，讲解了高阶插值多项式的问题，即多项式次数越高，精度不一定越好。最后，通过一个实际例子说明了高次插值多项式的计算不稳定性。
28:05 🎢龙格现象和连续曲线：视频讲解了插值方法中的龙格现象。通过拉格朗日差值的例子，说明了高次差值多项式在端点处抖动大、误差大的现象。为避免龙格现象，可以采用分段低次插值方法。此外，视频还介绍了如何绘制连续曲线，即通过在一定区间内取足够密集的节点，并使用线性差值连接这些点来实现。
33:45 📏分段线性差值原理：本章介绍了分段线性差值的原理和方法。分段线性差值是利用差值节点和折线段来逼近原函数的一种方法。通过将插值节点连接成折线函数，满足连续性和线性性，可以近似原函数。分段线性差值函数可以用分段函数或拉格朗日差值基函数的形式表示。奇函数l_k(x)是满足插值节点处值为1，其他节点处值为0，并且在每个小段上都是线性函数的函数。通过求解奇函数和线性函数的表达式，可以得到分段线性差值函数。
39:23 📐分段线性插值基函数：该章节介绍了分段线性插值的基函数和性质。分段线性插值基函数在每个区间段上都是一个线性函数，具有局部分离性，只在对应节点附近取非零值。它的计算稳定性较好，可以克服龙格现象。然而，分段线性插值失去了原函数的光滑性，只具有连续性和一阶导的连续性。下节课将介绍更高光滑性的插值方法。

?

第十一讲

介绍了分段插值方法，包括分段线性插值和分段三次埃尔米特插值。分段插值方法可以通过给出离散节点处的函数值和导数值来构造多项式插值函数。分段三次埃尔米特插值具有更高的光滑性和精度，可以通过给出节点处的函数值和导数值来求解插值多项式。分段插值方法可以避免龙格现象，保证一致收敛性。当导数值难以得到时，可以使用样条插值方法来代替。

00:00 📈埃尔米特插值余项分析：本章介绍了埃尔米特插值中的余项分析。通过一个具体例子，我们得到了一个含有函数值和一阶导数值的四次差值多项式。对于含有导数信息的插值，可以使用待定系数法求解多项式，并简化问题。余项的分析基于罗尔定理，通过假设余项为rx，可以得到余项的待定形式。通过构造辅助函数，我们可以得到关于fet的表达式，进一步推导出kx的形式。
05:21 📊辅助函数性质分析：本章节通过多尔定理和罗尔定理的运用，分析了一个辅助函数的性质。通过多次运用罗尔定理，得出辅助函数的一阶导数在四个互异的零点之间至少有五个互异的零点，二阶导数至少有四个互异的零点，五阶导数至少有一个零点。通过给定的函数信息和一阶导数信息，可以求得余项的表达式。如果给定二阶导数的信息，那么在已知的差值节点之间至少有四个互异的零点。总结来说，通过多尔定理和罗尔定理的运用，可以得出辅助函数的多阶导数至少有一个零点，且该零点的阶数与差值条件的个数一致。
10:51 📉分段线性差值误差估计：这个章节介绍了插值余项的形式以及分段线性差值的误差估计。通过分析余项的表达式，我们可以得出分段线性差值多项式在每个小段上的误差估计。当小段的长度趋近于零时，误差也趋近于零，从而实现了对函数的良好逼近。
16:18 📐一致收敛和分段插值：本章介绍了一致收敛和分段插值的概念。分段线性差值多项式能够避免龙格现象，但函数性质较差，不连续；而分段三次埃尔米特插值多项式则是连续的三次多项式，能保持函数和导数的连续性。分段插值可以通过给出节点处的函数值和导数值来确定多项式。分段插值多项式可以写成分段形式或者奇函数的线性组合形式。
21:43 📚节点函数和导数信息表示：本章讲述了如何利用节点处的函数值和导数值来表示函数信息。通过使用阿尔法和贝塔来表征函数的奇函数和一阶导数信息。同时，使用分段函数的形式来表示奇函数阿尔法k和贝塔k，可以利用2.3次插值多项式的奇函数形式来得到整个区间上的奇函数表达式。通过乘上相应的线性表达系数，可以得到整个分段三次埃尔米特差值多项式的奇函数形式。根据x的取值范围的不同，可以得到相应的奇函数表达式，最终得到阿尔法k和贝塔k的表达形式。
27:08 📈分段三次阿米的差值近似：这个章节讲述了使用分段三次阿米的差值来近似非差值节点的值。通过给定区间和离散节点的函数值和导数值，可以构造出一个具有较高精度和连续性的分段三次阿米的差值多项式。然而，在实践中，测量导数值可能并不容易，而函数值则相对容易获取。因此，有时候我们需要人为地计算导数值，以便构造分段三次阿米的差值多项式来近似非差值节点的值。
32:36 📋样条插值及其应用：本章节讲解了在绘图和建模时，函数值对应着坐标上的位置。导数值代表曲率，但导数值往往难以测量。样条插值是一种替代导数信息的方法，可以使用不同的条件来代替函数信息或导数信息。分段三次差值是一种常用的方法，可以通过余项分析来估计误差。差值也适用于多元函数，需要输入离散节点和差值点，还可以选择不同的差值类型。

?

第十二讲

介绍了函数逼近的基本概念和方法。它讲解了拉格朗日插值、埃尔米特插值和样条插值的原理和应用。视频还提到了最小二乘法和欧式范数的概念，并介绍了内积空间和正交函数组的定义和性质。最后，视频提到了函数逼近在数值积分中的应用。

00:00 🔍插值问题的方法：本章介绍了插值问题的两种方法：拉格朗日插值和埃尔米特插值。拉格朗日插值和埃尔米特插值都是满足插值条件的方法。如果只给出函数信息，则是拉巴拉差值。如果不知道导数信息，可以使用更高光滑性的条件，如样条插值。样条插值是利用样条的可弯曲性实现光滑度要求的方法。在实践中，我们需要更高的光滑性或者无法测量导数信息时，可以考虑使用样条插值。样条插值要求在每个节点处的三次多项式具有连续性。
05:49 ?三次样条插值函数的构造：这个章节介绍了三次样条插值函数的构造。除了函数信息条件外，还需要满足一阶和二阶导数在节点上的连续性条件。总共需要4n个条件，可以通过给定额外的条件来满足。教材介绍了基于多项式的样条插值和其他类型的函数空间中的样条插值。第二章的内容总结了差值的三大类方法，分别是拉格朗日插值、埃尔米特插值和样条插值。第三章将介绍函数逼近。
11:39 📊最小二乘法在函数逼近中的应用：这个视频讲解了最小二乘法在函数逼近中的应用。最小二乘法是用来近似函数的一种数学方法，与差值法相比有其独特的思路。最小二乘法的思路是通过让离散节点处的简单函数与已知函数值之差最小化来实现函数逼近。最小二乘法的优点是可以处理测量误差以及适用于不同的函数类。在实践中，最小二乘法是通过求每个点处误差平方的和来实现的。最小二乘法的选择是因为它在理论分析和运算中比较容易，并具有较好的光滑性。最后，视频介绍了逼近误差的度量方法，即使用无穷范数来度量函数逼近的程度。
17:31 📐一致逼近和误差度量：这个章节介绍了一致逼近的概念，以及使用无穷范数作为误差度量来进行最小化的方法。其中，介绍了最小二乘法使用二范数来度量连续函数的误差，并给出了二范数的定义和性质。接着讲解了威尔斯特拉斯逼近定理，分别介绍了多项式逼近和三角函数级数逼近的结论。最后，引入了内积空间的概念，给出了非负函数和连续函数的定义和条件。这些概念和结论与线性代数中的向量内积空间有一定的类比关系。
23:22 🌐连续函数的全函数定义和内积定义：这个章节主要介绍了连续函数的全函数定义和连续函数空间中的内积定义。全函数是定义在一个区间上的非负函数，并满足两个条件。内积是两个连续函数在区间上的积分，可以用来分析函数空间中函数之间的关系和性质。内积空间满足四条公理，包括交换率、线性性和正定性。这些概念和性质在函数论中起到重要作用，可以用来定义函数空间。
29:12 ??连续函数空间中的范数和不等式：这个章节介绍了在连续函数空间中定义内积和欧式范数的概念，通过对比离散情况下的向量空间，引出了连续函数空间的范数定义。还介绍了连续函数空间中的柯西不等式和三角不等式，并与离散空间中的结论进行对比。最后，给出了柯西不等式的证明思路。
35:04 🔑内积的定义和性质：这个章节主要讲述了内积的定义和一些相关性质。根据内积的定义，它是两个向量相乘后累积求和的结果，因此必然大于等于零。根据这个性质，可以得出对于任意实数，某些表达式的和大于等于零。通过取特定的值，可以得到某些结论，如抛物线方程的判别式要满足一定条件。另外，还介绍了柯西不等式、三角不等式和平行四边形定律的运算法则。最后，还讨论了在内积空间中函数的正交性定义和性质。
40:57 🧩带权正交函数组的概念和性质：本章介绍了带权正交函数组的概念和性质。带权正交函数组在函数空间中起到了类似基底的作用，用于表示函数之间的关系。正交函数组的内积满足一定的条件，可以用来验证函数组的正交性。如果函数组中的内积都大于零，且满足对任意k都成立，那么称这个函数组为标准正交函数组。三角函数组是常见的正交函数组的例子。本章还介绍了正交函数组的表示和相关的性质，以及如何用线性无关的基表示内积空间中的元素。

?

第十三讲

第三章 函数逼近

介绍了最佳平方逼近的概念和方法。最佳平方逼近是通过选取一个简单的函数来逼近给定的函数，并使得二范数误差达到最小。以多项式为例，通过选取n次多项式来逼近给定的函数。可以通过解线性方程组来确定多项式的系数，使得逼近函数与原函数的平方误差最小化。此外，也介绍了如何判断函数组的线性无关性以及如何选择合适的基函数来进行逼近。

00:00 📐函数逼近和内积空间：本章介绍了函数逼近的方法和误差度量，以及内积空间的定义和性质。内积空间可以定义范数，其中欧式范数常用于误差估计。讨论了内积空间的性质，如内积的绝对值估计、三角不等式、平行四边形定律和正交性。介绍了正交函数组和基底的概念，以及如何定义线性无关的基函数。最后，讨论了任何函数都可以表示成线性组合的基函数。
05:38 🔗线性无关性：本章介绍了线性无关性的定义和判断方法。对于一个函数组来说，当它的线性组合等于零时，只有所有的系数都为零，该函数组才是线性无关的。常见的线性无关函数组有三角函数组和多项式函数组等。线性无关函数组可以有不同的基底表示形式，而在连续函数空间中，任意有限个线性无关的函数都可以作为基底。
11:17 🔀线性组合和线性无关函数：这个章节讲述了线性组合、线性无关函数和函数空间的概念。通过线性组合，可以用一组线性无关的函数形成关于x的函数。这组函数构成了一个子空间，属于连续函数空间中的一个子集。反过来，如果想要表示函数空间中的任何一个元素，就需要找到一组线性无关的函数进行线性组合。判断函数组的线性无关性的重要条件是克莱姆行列式不等于零。这个行列式的形式是n行n列的，由线性无关的函数所对应的元素构成。证明思路是通过反证法。
16:52 🔢线性方程组和齐次线性方程组：这个视频中讲解了线性方程组和齐次线性方程组的相关概念。通过对方程组中的变量进行乘法运算并求和，可以得到一个以系数矩阵为基础的线性方程组。如果这个线性方程组的系数矩阵行列式等于零，则说明该方程组一定有非零解。根据这一非零解，可以构建一个关于f的函数。通过对这个函数进行内积运算，可以得到一个关于f的方程。根据内积的性质，可以得到这个方程等于零。最后，根据内积的正定性，可以得出结论：当且仅当cosx恒等于零时，pos和pos的内积才等于零。
22:34 ??线性无关和克莱姆行列式：这个视频讲解了线性无关的概念和克莱姆行列式的性质。首先，通过推理可以得出，如果一组函数的线性组合等于零，那么它们的系数必须全部等于零才能成立。然后，通过反证法可以证明克莱姆行列式等于零是这组函数线性无关的必要条件。最后，通过将函数的线性组合乘上一个特定的函数并积分，可以得到一个关于系数的齐次方程组。
28:13 ?齐次方程组的性质和线性无关判断：这个章节主要讲解了齐次方程组的性质和线性无关的判断方法。通过证明克莱姆行列式不等于零，可以得出齐次方程组有非零解，从而证明了充分性。同时，通过反证法证明了必要性，即函数系fi一定是线性无关的。接下来介绍了判断一个函数组是否线性无关的方法，即判断其克莱姆行列式是否为零。最后，讲解了最佳平方逼近的概念和多项式逼近的例子。
33:51 📏最佳平方逼近：本章介绍了最佳平方逼近的概念和方法。通过找到一个近似的n次多项式函数，可以将其表示为一组基函数的线性组合形式。我们需要确定这组函数所对应的线性组合系数，从而确定最佳逼近函数。最佳平方逼近的目标是使原函数与逼近函数的二范数误差最小。通过定义逼近函数的形式，并根据欧式范数的定义，可以推广到带权的情况。最佳逼近函数可以表示为一组线性无关的基函数的线性组合形式。
39:27 🌙奇函数和最佳平方逼近：这个章节介绍了奇函数和多项式空间的关系，以及最佳平方逼近的概念。奇函数可以构成n维空间的基函数，可以用拉格朗日插值基函数表示。最佳平方逼近的目标是选择一个简单的函数，在给定的多项式空间中使平方误差最小。最佳平方逼近的函数可以在不同的函数空间中选择，根据函数的性质和周期性来决定。最佳平方逼近的表达形式是通过一组基函数的线性组合，使二范数误差最小化。

?

第十四讲

讲解了数值分析中的最佳平方逼近问题。通过引入函数空间和奇函数的概念，视频介绍了如何通过求解法方程来找到最佳平方逼近函数。同时，还讨论了奇函数的线性无关性和法方程组的求解方法。最后，给出了一个具体的例子，展示了如何通过解法方程来求得最佳平方逼近多项式。通过观察法方程的系数矩阵，提出了选取正交基函数的方法来简化问题。

00:00 💡最佳平方逼近的思路：在本讲中，我们介绍了最佳平方逼近的思路和数学描述。我们要在给定的函数类空间中找到一个函数，使得它的平方误差最小化。这个问题可以等价于求解最优的线性表达系数，即ak。最佳逼近函数可以表示为基函数的线性组合形式。我们可以通过将误差写成关于ak的函数来求解最佳逼近函数。将问题转化为多元函数极小化问题，需要找到一组系数ak使得多元函数达到最小值。存在必要条件是对于所有变量ak的偏导数等于零。
05:35 🔍多元函数的偏导数：本章介绍了如何根据必要条件，求解多元函数i关于ak的偏导数，以求得满足必要条件的ak。根据链式法则，将方括号外的常数项拿出来，对方括号内关于ak的部分求导，得到ak乘以fkx。接着，将求导后的表达式乘以方括号外的积分项，得到关于ak的偏导数。进而，根据这个偏导数等于零的条件，得到了k个方程，构成了一个n+1维的线性方程组。最后，根据求和与积分的顺序交换，将方程组转换为系数乘以ak的求和等于常数的形式。
11:08 📈最佳平方逼近的法方程组：这个视频讲述了最佳平方逼近的法方程组。通过对给定函数进行展开，得到一个n+1维的线性方程组，其中每个方程都是关于未知数ak的线性组合。如果基函数是线性无关的，那么方程组的系数行列式就不为零，从而存在唯一的解。解出方程组后，可以得到最佳平方逼近的函数s(x)。这个过程验证了最佳平方逼近的必要性。
16:49 📉奇函数的极值点与最优解：本章讲解了奇函数的极值点与最优解的关系。奇函数满足线性无关条件，可以推导出解法方程，确定s型。证明了s型所对应的平方误差小于等于其他任意sx所对应的平方误差。通过整理差的表达式，分析了定积分和法方程的性质，得出结论s型是奇函数的线性组合。
22:24 🔗内积的线性性质与最佳平方逼近：这个章节主要讲述了如何利用内积的线性性质来证明s型确实是fx在函数空间中的最佳平方逼近，并介绍了如何通过这种方法来求最佳平方逼近函数以及对其误差进行分析。具体地，利用法方程和内积的展开形式，可以得到最佳平方逼近函数的平方误差。在多项式空间中，通过取特定的fk和全函数，可以求得对fx的n次最佳平方逼近多项式。
28:04 🔢法方程和希尔伯特矩阵：这个章节讲解了在求解法方程时，系数矩阵的特点和希尔伯特矩阵的性质。希尔伯特矩阵是希尔伯特命名的，它在求解线性方程组时容易出现病态现象，即解的误差较大。这也反映了高次函数拟合时可能会出现数值问题。因此，在选择多项式空间进行拟合时需注意选择合适的多项式次数。
33:41 ?最佳平方逼近的问题：这个章节讲述了最佳平方逼近的问题。通过定义一个函数空间和一个函数类，我们要找到一个线性函数使得它和目标函数在指定区间上的平方误差最小。通过解析法方程，可以得到系数矩阵和右端向量的值，从而求得最佳逼近函数的系数。需要注意的是，根据奇函数的选取方式，要求的系数分别是a0*和a1*。
39:17 📘最佳平方逼近的原理和计算方法：这个章节主要讲解了最佳平方逼近的原理和计算方法。通过线性表达系数和多项式的关系，得到了最佳平方逼近元素的表达式。同时提醒了在选取其他奇函数时需要重新计算法方程，并举例说明了二次多项式的情况。另外，还介绍了平方误差的计算方法，并提示在计算法方程时可以利用已有的计算结果。最后，指出了选取一般基底时法方程位数较大和解的病态问题，并介绍了通过选取正交基底来简化法方程和求解的好处。

?

第十五讲

讲述了数值分析中的数值逼近和最佳平方逼近方法。首先介绍了函数组线性无关的判定条件，以及最佳平方逼近的定义和求解方法。然后讲解了正交多项式的性质和递推关系，以及正交多项式的零点。最后给出了最高项系数为一的正交多项式的唯一性和求解方法。这些内容对于数值逼近和数值计算都具有重要的意义。

00:00 ?函数组线性无关的判断条件：本章介绍了函数组线性无关的判断条件，即通过判断其对应的齐次行列式是否不等于零来判断。同时，介绍了最佳平方逼近的概念，通过找到一个多项式使得其与目标函数的平方误差最小化。最佳平方逼近的多项式可以通过求解法方程得到，其中函数组中的函数要求线性无关。最后，给出了计算平方误差的表达式，并举例说明了这些概念的应用。
07:00 🔍多项式空间中的最佳平方逼近：这个章节主要介绍了在多项式空间中进行最佳平方逼近多项式的方法。通过限制最佳平方的形式，可以利用希尔伯特矩阵的值来求解系数矩阵，并得到逼近多项式的表达式。同时，对于不同形式的奇函数选取，需要注意生成的多项式空间的子空间形式，以及求解时的计算量和稳定性。此外，介绍了正交多项式的定义和性质，并指出正交多项式在直角平方逼近中的应用。
14:07 📐多项式的概念和性质：该视频介绍了多项式的相关概念和性质。多项式是一个数学函数，它由一系列项的和组成，每一项都是一个系数乘以一个变量的幂次。视频中提到了多项式的最高次数、首项系数不为零的条件以及多项式序列的形成。视频还讲解了多项式的正交性和线性无关性，以及正交多项式的定义和充要条件。最后，视频介绍了正交多项式在构建函数空间和作为基底的应用。
21:14 📏多项式与正交性的定理：这个视频讲解了关于多项式与正交性的定理。它解释了定理的充分性和必要性，并给出了证明思路。通过证明这个条件，我们可以判断一个多项式系是否在某个区间上带权正交。同时，这个定理也告诉我们可以通过验证一组基底来判断多项式系的正交性。
28:16 📊正交多项式的性质和应用：这个视频讲述了正交多项式的性质和应用。首先介绍了正交多项式的线性无关性，通过正交性证明了正交多项式是线性无关的。其次讲解了正交多项式的零点特性，指出正交多项式的k个零点都是互异的、单重根，并且都在给定的区间内。这些性质对于解决实际问题，如数值微积分和微分方程的数值方法中的应用，具有重要意义。
35:25 🔬正交多项式的概念和性质：这个视频章节介绍了正交多项式的概念和性质。首先，正交函数组是指满足特定条件的一组函数，如正交多项式。正交多项式可以通过正交化方法构造，类似于向量的正交化。正交多项式序列的最高次数系数为1，且线性无关。任何不超过n次的函数都可以在n次多项式空间中表示。这个内容需要进一步证明和推导。
42:31 ??多项式的正交性质和零点：这个章节主要讲述了关于多项式的正交性质和零点的相关内容。通过验证奇函数的性质和线性性质，得出了多项式fn与次数小于n的多项式正交的结论。接着，讨论了关于零点的重数问题，证明了多项式的零点必须是单重零点，进而推导出了多项式在区间上的符号不变性。最后，通过引入一个新的多项式q(x)和fn的积分，得出了在区间上fn和q(x)的内积不等于零的结论。总结来说，这个章节阐述了多项式的正交性质和零点的重数问题。
49:30 🔄正交多项式的递推关系和性质：这个章节讲解了正交多项式的递推关系和性质。正交多项式的最高项系数为一，相邻的三个多项式有递推关系。可以通过递推关系快速求解正交多项式。最高项系数为一的正交多项式是唯一的，可以固定其形式。最高项系数不影响其正交性质。

?

第十六讲

关于数值分析中的正交多项式的介绍。视频首先讲解了如何通过构造序列来得到正交多项式，然后介绍了勒让德多项式的特性，包括正交性、奇偶性和递推关系。接着讲解了勒让德多项式在最佳平方逼近中的应用，以及它在-1~1区间上有n个互异的零点。这些性质使勒让德多项式在数值计算中有广泛的应用。

00:00 📝能量多项式和德朗多多项式：本章节介绍了使用序列构造正交多项式的方法，其中一类多项式被称为能量多项式。这些多项式在-1~1区间上以全函数为权函数进行正交化得到。这种概念可以推广到其他区间。德朗多多项式是这种正交化得到的多项式序列。该序列可以通过递推关系或带导数的形式表示。勒让德多项式是一种特殊的德朗多多项式形式，由法国数学家勒让德在1814年提出。他的研究在多项式分析领域产生了许多重要结论。
05:05 🎨德多项式的形式和正交性：这个视频讲解了关于多项式的性质和正交性。其中介绍了一个特殊的多项式序列，即德多项式，它在区间-1~1上是全函数恒等于一的正交多项式。视频详细解释了德多项式的形式和递推关系，并给出了最高项系数为一的表示形式。最后，视频提到了德多项式的正交性，即在-1~1区间上两个不同次数的德多项式相乘并求积分结果为零，除非它们的次数相等且大于零。
10:04 🔢多项式函数的n阶导数性质：本章节介绍了在m不等于n的情况下，对于给定的多项式函数f(x)=x^2-1的n阶导数的性质进行了讨论。通过利用分部积分公式，可以推导出n阶导数等于0时的积分等于0的结论。对于任意次数不超过n次的多项式，都可以得出这一结论。另外，当q(x)取为pn(x)时，其n阶导数为常数，与pn(x)本身的累积值相同。
15:07 🔍正交多项式的性质：本章节介绍了正交多项式的性质。首先，通过计算可以得到正交多项式的累积值与其本身的关系，从而证明了它们的正交性。其次，根据正交多项式的奇偶性，推导出了当n为偶数时，正交多项式为偶函数，当n为奇数时，正交多项式为奇函数的结论。最后，讨论了正交多项式的递推关系，通过对递推关系的求积分，证明了正交多项式的正交性。
20:08 🔄勒让德多项式的递推关系和性质：本章节讲解了勒让德多项式的递推关系和性质。通过递推关系，我们可以得到勒让德多项式的递推公式，并可以推导出不同次数的多项式。勒让德多项式具有奇偶性和正交性等性质。在所有最高项系数为一的n次多项式中，勒让德多项式可以化为x的平方减一的n次方关于x求n阶导数乘以一个系数的形式。
25:12 📉最佳平方逼近和多项式的零点性质：这一节课讲了最佳平方逼近的概念。最佳平方逼近是指在多项式空间中找到一个多项式，使其在-1~1范围内与零的平方误差最小。这个多项式可以看作是对原函数fx=0的最佳逼近。证明最佳平方逼近的思路是利用多项式的正交性质，将要求的多项式表示成正交多项式和一个奇函数的线性组合形式。通过展开内积并进行计算，可以得到最佳平方逼近的结论。另外，本节课还提到了关于多项式的零点的性质，即在-1~1范围内，多项式p(x)有n个互异的零点。

?

第十七讲

介绍了最佳平方逼近问题和正交多项式的概念。通过选择合适的基底函数，可以将连续函数逼近为最佳平方逼近函数。其中，勒让德多项式和切比雪夫多项式是常用的正交多项式。通过求解法方程，可以得到唯一的线性表达系数，从而得到最佳平方逼近函数。同时还介绍了其他常用的正交多项式，包括第二类切比雪夫多项式、拉盖尔多项式和埃尔米特多项式。最后，视频还提到了广义傅立叶级数和广义多项式的概念。

00:00 🔳最佳平方逼近：这个视频讲解了最佳平方逼近的数学问题。首先介绍了逼近一个区间上的连续函数的最佳平方逼近函数的概念，以及如何通过法方程求解表达系数。然后以n次多项式空间为例，介绍了如何求解n次平方逼近多项式，并指出了希尔伯特矩阵可能导致病态现象的问题。最后讲解了正交多项式的定义、条件和性质，以及如何通过奈拉德多项式构造正交多项式。
05:47 🔲正交多项式性质：这个视频中介绍了正交多项式的定义和性质。正交多项式可以通过三项递推关系或利用罗德里格斯公式计算。它具有正交性、奇偶性、能量最小误差和拥有n个不同零点等特点。通过递推关系，可以方便地计算出一系列正交多项式。同时，证明了正交多项式在-1~1范围内至少有n个不同的零点。这些性质对于多项式的表示和计算都具有重要意义。
11:36 🔺勒让德多项式：该章节介绍了勒让德多项式及其性质。勒让德多项式在-1~1上依次递增，画出的图像呈现不同形状。通过勒让德多项式的特点，可以得出一些结论，如在特殊点处的取值、导数值等。另外，还介绍了切比雪夫多项式及其定义，它是正交多项式空间的基底之一。不同的正交多项式基底在求最佳平方逼近多项式时有不同的优势。切比雪夫多项式的定义是cos(n*acos(x))，表示了多项式函数空间的一种表示形式。
17:25 🔵变量替换和切比雪夫多项式：这个视频讲解了将变量替换应用于三角函数中，以便于统一处理不同函数形式。通过令x等于cos(theta)，可以将tn关于x的函数转化为关于theta的函数，并确定了theta的取值范围为0到π。然后介绍了切比雪夫多项式及其性质，包括正交性和递推关系。最后给出了切比雪夫多项式的递推关系和求解方法的思路。
23:16 🔶三角函数乘积和差：本章介绍了三角函数乘积和差的性质，通过展开和证明可以得到它们的相等关系。重点是要记住切比写和多项式的三项递推关系，并了解t的具体表达形式。根据递推关系，当n为偶数时，tnx只含x的偶次方；当n为奇数时，tnx含有x的奇次方。这与三角函数的展开类似。还介绍了tnx在-1~1范围内有n个零点的性质，通过将tnx转换为cos n倍的theta形式，可以求得其零点为cos 2n分之2k加一倍的派。同时，还讲解了其他形式的多项式表示和线性组合的公式。
29:06 🔷正交多项式概念和应用：这个章节讲解了正交多项式的概念和应用。首先介绍了正交多项式的定义和性质，包括区间和全函数的选择对正交多项式的影响。然后详细介绍了三种常用的正交多项式：第二类切比雪夫多项式、拉盖尔多项式和埃尔米特多项式，包括它们的区间、全函数、递推关系和正交性。最后强调了在最佳平方逼近问题中，正交多项式可以作为基底来解决问题。
34:55 🔴法方程和广义傅立叶级数：这个章节介绍了法方程的形式和系数矩阵，以及如何解出每一个方程的系数。根据解出的系数，可以得到最佳平方逼近函数的表达式。同时，根据已知信息，可以计算出任意阶数的系数，得到一个无穷级数形式的广义傅立叶级数。这个级数被称为广义傅立叶级数，它不限定基函数系的类型，只要满足正交性即可。每个系数被称为广义复联系数，而固定某个阶数后的部分和被称为广义多项式，它是最佳平方逼近多项式对应的函数空间中的函数。

?

第十八讲

介绍了最小二乘拟合的问题和求解方式。最小二乘拟合是为了在给定一些离散数据的情况下，找到一个简单易算的函数来近似拟合这些数据。通过引入离散形式的内积，可以将问题转化为一个线性方程组的求解问题。通过求解这个线性方程组，可以得到最小二乘拟合的函数。视频还提到了最小二乘拟合中的法方程和正规方程的概念，并讲解了它们的求解方法和唯一性。下一节课将介绍特殊的最小二乘拟合，即基于多项式函数空间的拟合。

00:00 📊正交多项式基底的最佳平方逼近：这节课介绍了利用正交多项式基底进行最佳平方逼近的方法。通过选择奇函数作为基底，可以求得最佳平方逼近多项式的系数。最佳平方逼近多项式可以用勒让德多项式和多项式的线性组合形式表示。通过计算公式，可以求得每个系数的值。最佳平方逼近多项式的平方误差可以通过计算内积得到。最终结果表明，最佳平方逼近多项式和之前用不同基底求得的最佳平方逼近多项式是等价的。
06:38 📈使用最佳平方逼近逼近函数：这个视频讲解了如何使用最佳平方逼近来逼近一个函数。首先，介绍了如何使用奇函数来构建逼近多项式。然后，讲解了计算系数和平方误差的方法，包括计算内积和累积。最后，展示了一个具体的例子，说明了如何求解多项式的系数和平方误差。通过这个例子，可以理解最佳平方逼近的原理和求解方法。
12:54 🔍利用多项式进行最佳平方逼近：这个章节讲解了如何利用多项式进行最佳平方逼近。通过使用具有递推关系的多项式和目标函数进行计算，可以只计算四种类型的系数，从而节省计算量。同时，通过平方误差的简单公式表示，可以获得优势。对于给定区间不是-1~1的情况，可以通过变量替换将问题转化为-1~1上的求解。举了一个例子来说明具体计算步骤。最后，通过变量替换将最佳平方逼近多项式转换回原始函数。
19:19 🔄最佳平方逼近的流程：这个章节讲解了最佳平方逼近的流程，包括将区间标准化、变量替换、解决最佳平方逼近问题、再进行变量替换等。同时，还介绍了最小二乘拟合的问题和方法，强调了在实践中解决数据拟合问题时要尽可能减小误差。最后，提到了多项式的应用以及插值法在实践中的限制。
25:49 💻离散数值和最佳平方逼近：离散数值有相应的范数，如一范数、二范数、无穷范数等，用来衡量误差的不同估量方式。最小二乘问题是要在函数空间中找到一个函数，使离散二范数误差最小。该问题与最佳平方逼近问题有关，都需要选取函数组，并在函数类中寻找最优函数。这里的误差是离散误差的带权平方范数。
32:20 📉离散版本的最佳平方逼近：这个章节介绍了离散版本的最佳平方逼近问题，将其视为一个离散的极小值问题。通过对多元函数求偏导，得到了求极值的必要条件。然后将问题转化为线性方程组，并引入离散的内积，将方程组写成了形式上与前面连续版本类似的形式。通过引入内积，我们可以将问题的系数表示为外积和内积的形式。这个离散内积与连续内积进行了比较。
38:44 🔍连续和离散函数的内积：这个章节讲解了连续函数和离散函数的内积的概念和计算方法，通过对比连续形式和离散形式的法方程，介绍了离散形式下的正交性和最小二乘法。同时，讲解了系数矩阵和右端向量的表示方法，以及法方程的推导过程。最后，提到了系数矩阵是通过转置矩阵乘以自身得到的。
45:16 📈最小二乘拟合的基本原理：该章节讲解了最小二乘拟合的基本原理，用离散形式表示。通过矩阵运算得到法方程的解，求解最小二乘拟合的函数。介绍了最佳平方误差的表示形式和离散型的内积和范数。下一节课将介绍特殊的最小二乘拟合，即多项式函数空间的最小二乘拟合，以及不同基底对应的求解方式。

?

第十九讲

介绍了数值分析中的数值逼近问题，重点讲解了函数逼近和曲线拟合的方法。视频中详细介绍了内积空间、累积空间、正交多项式等概念，并给出了求解最佳平方逼近和最小二乘拟合的方法。同时，还讲解了法方程的求解和回归系数的计算，最后给出了一个具体的例子。通过观看这个视频，可以了解数值分析中的函数逼近和曲线拟合问题的基本概念和求解方法。

00:00 📊函数逼近与曲线拟合：本章介绍了函数逼近与曲线拟合的问题。首先定义了内积空间，讲解了累积空间以及范数的基本性质，然后推广到内积空间上的正交函数组的概念。介绍了线性无关性的判断条件以及最佳平方逼近问题的定义和解法。最后举例说明了求n次最佳平方逼近多项式的特殊形式及其问题。
05:50 🔬改进法方程组系数矩阵：这个视频章节是关于改进法方程组系数矩阵的思想。首先介绍了正交多项式的定义和充要条件，以及其基本性质和递推关系。然后介绍了热力学多项式的构造和表达形式，以及它的正交性、奇偶性和递推关系。最后讨论了热力学多项式的零点和与函数的平方误差最小的关系。
11:44 📈切比雪夫多项式的性质：本章介绍了切比雪夫多项式的基本知识和性质。切比雪夫多项式是一种正交多项式，可以用来逼近函数。它具有三项递推的关系、正交性、奇偶性和零点性质。切比雪夫多项式可以用于最佳平方逼近问题的求解，通过解法方程组可以得到最佳逼近函数的系数。同时，介绍了广义序列的概念，基于一组正交基函数可以构建广义序列。
17:35 📐广义分列级数和最佳平方逼近：本章讲解了广义分列级数和最佳平方逼近的概念。通过广义忽略系数，我们可以得到最佳平方逼近的部分和，用以逼近多项式。特别是在-1~1这个区间上，利用勒让德多项式作为基函数进行最佳平方逼近。通过计算pk和f的累积，我们可以求解最佳平方逼近的系数。同时，还介绍了对于非标准区间a到b的情况，可以进行变量替换，将问题转化为标准区间上的最佳平方逼近。最后，将曲线拟合的最小二乘法与最佳平方逼近进行了对比。
23:27 💡最小二乘问题的一般提法：在这个视频中，讲解了最小二乘问题的一般提法。通过给定一组离散数据，在函数空间中找到一个最小二乘拟合的函数，使得误差达到最小。可以利用离散内积和范数的定义，将问题表示为一个多元函数求极值的方程组。这个方程组被称为正规方程，可以用来求解回归系数。通过构建矩阵A，可以将问题转化为矩阵求解的形式。
29:18 🧩最小二乘法方程的另一种形式：这个章节介绍了最小二乘法方程的另一种形式，即可以用系数矩阵表示。通过将系数矩阵与向量y的转置相乘，可以得到法方程的右端向量。利用这个矩阵形式进行计算，可以求解法方程并得到最小二乘的拟合函数。同时，只要基函数线性无关，法方程就存在唯一解，并且拟合函数能使离散的二范数误差最小。最后，通过一个例子介绍了最小二乘拟合多项式的求解过程。
35:09 📉多项式拟合的原理和计算方法：这个视频讲解了多项式拟合的原理和计算方法。通过给定的数据，我们可以通过求解法方程中的回归系数来得到拟合多项式。在计算过程中，我们需要计算各个幂次的si和xi的乘积，并求和。最后，我们可以通过将回归系数与基函数的线性组合相乘，得到拟合多项式。这个方法适用于二次多项式拟合等问题。
41:03 🔍多项式拟合的步骤：这个视频讲解了如何进行多项式拟合的步骤。首先，我们需要确定拟合多项式的次数，可以通过绘制数据点的图像来选择合适的函数空间。本视频选择了二次函数空间作为拟合函数空间，并使用最小二乘法求解法方程来确定拟合曲线的系数。然后，我们可以使用线性方程组求解算法来求解回归系数，并将回归系数与奇函数线性组合得到二次拟合多项式。在选择拟合多项式次数时，需要注意避免病态问题，并考虑使用具有正交性的基函数的基底。

?

第二十讲

介绍了函数的最佳逼近问题，包括最佳平方逼近和最佳一致逼近。最佳平方逼近是通过最小化误差的二范数来找到拟合函数，可以用正交多项式进行求解。最佳一致逼近是通过最小化误差的无穷范数来找到拟合函数，需要解决一个极大极小值问题。视频还提到了如何将非线性最小二乘拟合转化为线性拟合，以及如何进行离散数据的最小二乘拟合。下一节课将详细介绍最佳一致逼近的数学描述和求解方法。

00:00 📈多项式拟合优劣比较：这个章节介绍了如何使用最小二乘法进行多项式拟合。通过选取合适的基函数，可以将拟合问题转化为求解线性方程组的问题。然而，当拟合多项式的次数较高时，容易出现病态问题，解的可信度下降。因此，在实践中需要考虑使用正交基函数来提高拟合的可靠性。接下来的例子将比较二次和三次多项式拟合的优劣。
05:44 ?矩阵运算和误差计算：本章介绍了多项式拟合中的误差计算和矩阵运算方法。使用矩阵的形式表示，可以直接进行矩阵向量乘法运算，求解误差平方和。同样的方法也适用于高阶多项式拟合，只需将系数矩阵扩展为更高阶的形式。通过比较不同次数拟合多项式的误差平方和，可以发现三次拟合具有更高的精度。同时，介绍了使用正交多项式进行拟合的算法流程。
11:24 🔄多项式拟合的逼近过程：这个视频讲述了利用多项式拟合方法对数据进行逼近的过程。通过逐步增加多项式的次数，不断提高拟合的精度，直到满足要求为止。每一步都计算出一个新的系数，并利用递推关系求解下一个高一次的函数。误差的计算是基于离散范数的平方，其中包括了多项式拟合与原始数据之间的差异。通过这个思路可以编程实现拟合求解过程。
17:06 🔍利用正交多项式拟合：这个章节介绍了如何利用正交多项式去拟合数据，并且通过求解法方程得到拟合多项式的系数。正交多项式可以使得求解过程更简单，不需要解线性方程组。推荐使用正交多项式的方式解决最小二乘问题。
22:52 🔧拟合函数解决最小二乘问题：这个章节主要介绍了如何通过拟合函数来解决最小二乘问题。首先，根据离散数据点的分布，可以画出一条与初等函数类似的曲线，形成一个函数空间。然后，将误差看作待定系数的二元函数，通过求导的方式得到一个非线性方程组。为了避免非线性方程，可以将问题进行线性化，例如将y设置为一组基函数的线性组合形式。最后，通过倒数变换和代入的方式，将问题转化为一个线性问题。
28:32 📉非线性问题的线性化：本章介绍了如何将非线性的最小二乘拟合问题转化为线性问题。首先，可以通过变换数据和拟合函数的形式来线性化问题。例如，通过对数变换将指数函数线性化。其次，可以将非线性拟合问题转化为线性拟合问题，通过解线性方程组得到拟合结果。最后，介绍了多项式拟合的两种方法：直接求解法和基函数法。通过这些方法，可以将离散数据进行最小二乘拟合，并得到拟合系数。
34:14 🔩基于正交多项式的拟合方法：这一章节介绍了基于正交多项式的最小二乘拟合方法，可以独立求出每个奇函数的系数，并得到拟合函数。接下来将介绍函数的第二类逼近问题，包括最佳平方逼近和离散数据的最小二乘拟合。最佳一致逼近问题中，我们用无穷范数来估量误差，并通过选取合理的多项式p使误差达到最小。这是一个极大极小值问题，求解和分析都比较困难。下一节课将具体介绍最佳一致逼近的数学描述、特征和求解方法。

?

第二十一讲

介绍了最佳一致逼近多项式的概念和求解方法。最佳一致逼近是指在给定区间内，找到一个多项式函数，使其与目标函数的偏差达到最小。视频里解释了最佳一致逼近的定义和偏差点的概念，并给出了最佳逼近多项式的存在性和唯一性的证明。此外，视频还介绍了如何通过构造和性质推导来求解最佳一致逼近多项式。最后，视频提到了布瑞尔定理和最佳一致逼近多项式的构造方法。

00:00 🔍最小二乘法与拟合函数：最小二乘法是离散情况下最佳平方逼近的方法，通过拟合原函数来使得离散数据的平方误差最小。残差是拟合函数在观测点与真实值之间的偏差。最小二乘曲线拟合可以通过法方程或正规方程求解，它们都能达到最小平方误差。如果拟合函数是标准正交系的奇函数，正规方程的系数矩阵为单位阵，可以独立求解每个系数。3.5.2节介绍了用多项式进行最小二乘拟合的方法，根据数据的变化规律选择适当的函数类别，并利用特殊的公式求解系数。最小二乘拟合的结果优劣与函数类别的选择有关。
05:56 📊最小二乘拟合原理和方法：本章介绍了最小二乘拟合的原理和方法，以及正交多项式拟合的应用。最小二乘拟合通过极值理论导出法方程组，求解矛盾方程的最小二乘解。非线性最小二乘拟合可以转化为线性最小二乘拟合求解。正交多项式拟合的法方程为对角阵，可以简化计算。最佳一致逼近多项式的定义和存在性也被讨论。
11:58 📈最佳逼近多项式的特征和性质：这个章节主要介绍了关于最佳逼近多项式的特征和性质。首先给出了偏差点的定义和定理，然后讨论了最佳逼近多项式的性质，包括正负偏差点的存在性和切比雪夫交错点阻的概念。接着介绍了切比雪夫交错点阻的重要性和推论，以及如何通过构造拉格朗日差值多项式来求解最佳逼近多项式。最后，介绍了逐次逼近算法和最佳一致逼近多项式的近似解法。这些理论和方法对于求解最佳逼近多项式具有重要的实用价值。
17:59 📐函数的最佳逼近：本章介绍了函数的最佳逼近，包括最佳平方逼近和最佳一致逼近。最佳平方逼近使用平方范数来选择误差工具，而最佳一致逼近则使用无穷范数。无穷范数是连续函数在给定区间内绝对值的最大值。最佳逼近问题是一个极小极大问题，需要在给定的函数空间内选取一个函数使得误差达到最小。这个问题在实践中难以求解，需要利用微积分和其他分析方法进行分析。
23:59 ??最佳一致逼近问题：这个章节主要讲述了最佳一致逼近问题，即在给定的函数空间中选择一个多项式来拟合连续函数。通过限定多项式的次数，可以用偏差来衡量拟合的效果。偏差可以用无穷范数来表示，也可以用偏差点来确定。当多项式的偏差达到最小值时，称之为最小偏差。最小偏差可以用偏差的上界或极小值来表示。
29:59 🧮最佳一致逼近多项式的概念和性质：本章节讲解了最佳一致逼近多项式的概念和性质。最佳一致逼近多项式是指在给定区间上，能使得函数与多项式之间的偏差最小的多项式。布瑞尔定理证明了最佳一致逼近多项式的存在性。然后讲解了如何构造最佳一致逼近多项式，通过估计多项式的性质来反推其形式。
35:57 ??多项式函数的偏差点存在性证明：这个章节讲述了关于多项式函数的偏差点的存在性证明。通过反证法，假设只有正偏差点，然后推导出一个不等式关系，证明存在一个更小的偏差值，从而得出矛盾。因此，结论是必定同时存在正偏差点和负偏差点。

?

第二十二讲

关于数值分析中的切比雪夫多项式和最佳一致逼近多项式的讲解。切比雪夫多项式是一种具有特殊性质的多项式，可以通过它来构造最佳一致逼近多项式。最佳一致逼近多项式是通过在给定区间上选择合适的插值节点，使得逼近函数与原函数的差值最小。通过切比雪夫多项式和插值节点的选择，可以得到最佳一致逼近多项式，并且可以通过余项的上界来衡量逼近的精度。

00:00 🔪切片写夫定理与切笔写符交错点：切片写夫定理是一个非常重要的定理，它说明了对于一个函数f(x)，如果存在一个最佳一次逼近多项式pn来逼近f(x)，那么pn关于y在定义域a到b上至少有n+2个交错的正负偏差点。这个定理的结论可以转化为在定义域上找到n+2个交错的正负偏差点来解决最佳一致逼近多项式的问题。同时，我们可以用切笔写符交错点组来表示这些交错的正负偏差点。另外，如果一个函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且存在两个不同的最佳一次逼近多项式pn和qn来逼近f(x)，则它们的平均函数r也是f(x)的最佳逼近多项式。
05:41 📊误差与绝对值的分析：这个视频中的章节主要讲解了最佳一致逼近多项式的相关内容。通过分析误差和偏差，得出了最佳逼近多项式的一些性质。根据这些性质，可以得出在每个特定点处，最佳逼近多项式的值等于该点的值。这个结论可以通过对绝对值进行分析和推导得出，进而消除了绝对值的符号，得到了两者相等的结论。
11:23 🔍存在性和唯一性：这个章节讲解了最佳一致逼近多项式的存在性和唯一性。根据切比雪夫定理和罗尔定理，如果在定义域上存在至少n+2个交错的正负偏差点，那么最佳一致逼近多项式的差值函数在定义域上至少变号n+1次。通过构造差值多项式，可以确定最佳一致逼近多项式。因此只要确定插值节点的位置，就能确定最佳一致逼近多项式，进而找到最佳逼近函数。
17:03 📏误差与余项的关系：本章介绍了最佳一致逼近的误差和余项的关系，以及如何将最小化问题转化为控制余项上界的问题。通过控制欧米伽nx的绝对值的最小化来实现误差的最小化。在标准区间-1~1上，我们求取一系列差值节点，使欧米伽nx在整个区间上的无穷范数达到最小。
22:43 ??最小化问题与欧米伽nx：本章节介绍了在-1~1区间上，通过最小化函数sn-pn-1x的无穷范数，求得使得函数fx=x的n次方能达到最小的n-1阶最佳一致逼近多项式。根据切比雪夫多项式的性质，n-1阶多项式fn与n个交错的偏差点相关，且在这些点上取得极大值和极小值。因此，我们可以利用切比雪夫多项式来满足这个性质，并在-1~1区间上求解对应的切比雪夫逼近多项式pn。
28:27 ?切比雪夫多项式的性质：这个视频讲解了关于多项式的内容，特别是关于切比雪夫多项式。视频介绍了切比雪夫多项式的极值、零点和递推关系等性质。另外，还讲解了切比雪夫多项式的首项系数和幂次与奇偶性的关系。最后，视频提到了切比雪夫多项式的正交性和如何利用这些性质求解切比雪夫多项式在区间[-1,1]上的具体形式。
34:09 ??切比雪夫多项式与欧米伽nx：在这个视频中，讲解了切比雪夫多项式的性质，特别是它在-1~1上与零的平方误差最小。然后介绍了通过切比雪夫多项式来找到欧米伽n x的方法，只需要找到首项系数为一的tn x，然后除以二的n减一次幂。接着讨论了切比雪夫多项式和欧米伽n x之间的关系，以及如何利用切比雪夫多项式来求解在-1~1上使得欧米伽n x满足连乘形式的最小无穷范数。最后指出切比雪夫多项式的tn x的极值在-1和1处，因此它的无穷范数为1。
39:51 🔎插值节点的确定：本章介绍了如何确定插值节点的位置，以使插值多项式的插值余项达到最小。根据结论，插值节点可以取多项式的n个顶点。通过调整插值多项式的系数，可以使插值余项的上界达到最小，即使插值多项式成为最佳逼近多项式的一种近似。对于一般区间，可以进行变量替换，并通过逆变换将变量换回来。最后，通过计算插值节点的位置和逆变换，可以求得插值多项式。这个多项式能够使得插值余项的上界达到最小。

?

第二十三讲

介绍了数值分析中关于函数的最佳逼近问题的定义及求解方法。通过最佳一致逼近问题，找到使多项式与原函数之差的无穷范数最小的多项式。利用切比雪夫多项式的性质，可以将目标转化为在标准区间上求解切比雪夫多项式的问题。同时，介绍了降次方法，通过减去最高次项的多项式，实现降低次数的目标。最后，给出了一些例题，展示了具体的求解过程。

00:00 📐最佳一致逼近多项式问题：这个章节主要介绍了最佳一致逼近多项式的问题，包括定义、偏差点的性质以及切比雪夫定理。根据切比雪夫交错组的性质，可以将最佳一致逼近多项式转化为多项式插值问题。通过求解插值多项式的余项，可以将最小化问题转化为使余项的绝对值最小化的问题。对于n>=2的情况，一般是近似求解，并将导数信息的上界作为近似解的限制。
05:55 🔎最佳一致逼近多项式求解：本章节介绍了如何通过最佳一致逼近多项式来求解函数的近似值。首先要找到一个特殊形式的多项式，使其无穷范数达到最小。根据正交多项式的性质，最小零平方误差和切比雪夫多项式的最佳一致逼近多项式都可以实现无穷范数最小化。然后将目标转换为在-1~1上求关于函数的n次方的n-1阶最佳一致逼近多项式。利用切比雪夫多项式的特性，可以找到满足要求的多项式。最终，将欧米伽n取为归一化的切比雪夫多项式，可以实现无穷范数最小化的目标。
11:41 📊切比雪夫多项式逼近：本章介绍了如何使用切比雪夫多项式进行逼近，主要关注在区间[-1, 1]上的逼近。切比雪夫多项式是通过找到函数在该区间上的偏差点来确定目标，并利用切比雪夫多项式的性质求得最小值。同时，讲解了如何求取切比雪夫多项式的零点和如何进行最佳逼近的求解。最后，以求e^x在区间[0, 1]上的最佳逼近多项式为例进行实践操作，通过给定的误差线确定了多项式的次数。
17:35 📉一般区间上的最佳逼近多项式：本章介绍了如何求一个函数在一般区间上的最佳逼近多项式。首先根据误差的上界确定次数，然后计算切比雪夫多项式的根，并将其转换为0~1区间上的点。接着使用这些点进行差值，得到差值多项式。最后，根据预设的精度确定次数，并求出近似最佳逼近多项式。
23:24 📉多项式降次问题：这个章节介绍了多项式降次的问题，即通过降低多项式的次数来实现近似。降低次数会增加误差，因此需要控制误差尽可能小。通过分析误差的估计，可以使用三角不等式来控制误差的大小。这个问题可以转化为极小极大问题，利用切比雪夫多项式来求解。
29:20 🧮切比雪夫多项式的近似计算：本章节讲述了如何利用切比雪夫多项式进行近似计算。通过选择切比雪夫多项式的首项系数和幂次，可以使得近似值尽可能接近原函数，并降低误差。作者提供了泰勒展开和切比雪夫多项式两种方法进行近似计算，并分析了它们的误差。最后，介绍了通过递推关系将多项式降次的方法，以及用二次多项式进行泰勒近似的方式。
35:11 📉降次方法在多项式逼近中的应用：这个视频讲述了降次方法在多项式逼近中的应用。通过降次方法，可以减小误差，并且利用不等式进行误差估计。每次降次时，增加的误差总是小于等于p的绝对值的上限。通过计算误差的估计线，可以得到一个较小的误差值，比直接截断取二次泰勒展开的误差要小。对于一般情况，可以利用三项递推关系推导多项式的系数。最后，将区间转换后进行逼近多项式的计算。
41:03 📈函数逼近的相关知识：本章介绍了函数逼近的相关知识。例题主要包括差值极小化和多项式降次的问题。通过利用前面介绍的知识，可以进行分析和求解。其中涉及到了多项式的近似、误差估计和切比雪夫多项式等概念。通过这些例题的讲解，展示了函数逼近的应用和实际操作。同时，强调了对性质和结论的掌握的重要性，以便在实际问题中能够灵活运用。

?

第二十四讲

关于数值分析中的数值积分问题的介绍。视频首先解释了数值积分的基本概念和求解方法，包括梯形公式、中矩公式和辛普森公式。接着讲解了机械求积法的构造和代数精度的概念，以及如何通过验证条件来确定求解公式的精度。最后，提到了代数精度法的应用和相关性质。

00:00 🔢数值积分问题：这是第24讲，介绍了数值积分问题。定积分求解通常使用牛顿莱布尼兹公式，但很多情况下无法求得解析解，需要使用数值方法进行近似求解。数值积分的基本思想是构造数值求积公式，利用积分中值定理来得到近似解。通过绘制核函数的曲线和两条垂直于x轴的直线，可以形象地理解定积分的几何含义。
05:41 📐曲边梯形的面积近似：这个章节介绍了通过定积分的几何意义来计算曲边梯形的面积。通过中值定理，可以将曲边梯形的面积表示为区间中某一点的函数值乘以区间长度。作者介绍了三种近似这个点的方法：用左端点或右端点处的函数值的算术平均、用区间中点处的函数值，以及用左端点、右端点和中点的加权平均。通过这三种近似值乘以区间长度，可以得到三个近似定积分的公式：梯形公式、矩形公式和辛普森公式。这些公式都是通过简单的几何图形的面积来计算的。
11:24 📏近似曲面面积的公式：本章介绍了三种用于近似曲面面积的公式：梯形公式、中点公式和辛普森公式。梯形公式通过连接两个端点处的直线来近似曲边梯形的面积，中点公式使用常函数在终点处的值进行近似，辛普森公式则使用二次插值多项式来近似定积分。通过差值法的角度来理解这些公式，可以发现抛物差值的精度比线性差值要高。此外，这些公式可以推广至任意的AB区间，并通过节点的差值多项式的定积分来近似任意函数的定积分。
17:07 📈多项式近似和代数精度法：该章节讲解了使用多项式近似和代数精度法来构造数值求积公式。通过将被积函数用多项式或三角函数展开，可以更容易地求定积分。同时，介绍了n次拉格朗日差值的性质，即对于任何次数不超过n次的多项式而言，n次拉格朗日差值是精确成立的。基于这个性质，可以通过代数精度法构造数字求解公式，使其具有更高的精度。最后，总结了这些公式的共同特点，即将定积分约等于核函数在某些点处的函数值的加权平均。
22:50 🔩机械求积法的一般形式：本章介绍了机械求积法的一般形式。通过选取n+1个节点和对应的求积系数，可以用加权平均的方法近似求解定积分。节点和求积系数的选择与函数f无关，因此可以适用于不同的函数。机械求积法可以包括梯形公式和辛普森公式等，还可以根据需要构造其他类型的差值公式。确定节点个数和求积系数后，即可得到具体的机械求积法公式。
28:31 🔧机械求解法中的自由参量和自由度：该章节介绍了机械求解法中的自由参量和自由度的概念，以及构造机械求解法的三个主要问题：目标、存在唯一性和误差分析。代数精度的概念被引入，用于衡量机械求解法对多项式的精确程度。代数精度的次数确定了机械求解法的精度。
34:15 🧮机械求积公式的代数精度：本章节介绍了机械求积公式的代数精度。通过将误差r定义为机械求解公式的左边减去右边，并取误差满足k4多项式时等于零的条件，可以判断机械求解公式的代数精度为m4。通过验证多项式空间的奇函数是否成立来判断机械求解公式的代数精度，其中使用x的零次方到m次方作为基函数。若机械求解公式对于任何次数不超过m4的多项式都能精确成立，则其代数精度一定为m4。验证时，需要满足fx取s0次方到sm次方都能精确成立的条件。此外，若机械求解公式对于常数函数fx等于一能够精确成立，则其代数精度至少为零次。
39:57 📈多项式求解公式的代数精度：这个视频章节讲解了关于多项式求解公式的代数精度的问题。对于次数超过m4的多项式，可以精确成立，但对于m+1次的多项式不一定成立。可以通过验证条件来确定代数精度，即将fx取为x的m+1次方，将其带入机械求积公式进行计算，如果两者不相等，则代数精度为m4。需要验证对于fx等于x的m+1次方是否精确成立。下一节课将介绍求解公式的具体构造方法和例子。

?

第二十五讲

介绍了数值分析中的数值积分方法。视频首先回顾了前一讲的内容，然后介绍了构造数值积分公式的两种方法：代数精度法和差值型法。代数精度法通过验证公式对多项式的精确性来确定代数精度，而差值型法利用插值多项式去近似原函数并计算积分。视频还讨论了数值积分公式的余项估计和构造方式，并给出了一个具体的例子。这些方法可以帮助我们在数值计算中准确估计积分值。

00:00 🔢数值求积公式的构造思路：这个视频的第25讲主要回顾了上一讲介绍的数值求积公式的构造思路，包括梯形公式、中矩公式和辛普森公式等。通过几何、中值定理和差值的思路，可以得到不同的近似公式。这些公式可以统称为矩形公式，其中常见的是中距公式、左脚公式和右距公式。通过这些公式，可以从不同的角度理解数值求解公式的构造，同时这些公式有一些共同点，可以构造出一般形式的近似定积分的数值求积公式，称为机械求积公式。机械求积公式的自由度是2n加2，可以自由选择参数。同时，还介绍了关于数值积分法的精确度衡量、公式构造和误差分析的问题，引入了代数精度的概念，并介绍了代数精度法的验证方法。
05:32 🧮代数精度的概念与求积公式构造：这个章节主要介绍了代数精度的概念和代数精度法构造求积公式的方法。通过引入代数精度的概念，可以对差值法进行合理的近似，并对求积公式的精度进行衡量。常见的几种求积公式的代数精度次数也被给出，并通过验证得出结论。最后，利用代数精度法构造了梯形公式，并验证了其至少具有一次代数精度。
11:11 ??机械求积公式与代数精度：本视频介绍了一种数值求积法，即机械求积公式。通过给定求积节点和系数，可以构造具有一定代数精度的求积公式。通过分析自由度和条件，可以唯一确定求积系数，从而满足代数精度要求。此外，还介绍了关于求积公式代数精度的一些结论。
16:45 🔍差值型求解公式与拉格朗日插值：这个视频介绍了求积公式中的差值型求解公式。通过在求积区间内给定一组互异的求积节点，并利用这些节点处对应的核函数值，可以构造出拉格朗日插值多项式。通过将插值多项式在求积区间上进行积分，可以近似得到原函数在该区间上的积分。这种求解公式具有n次代数精度，并可以写成机械求积公式的形式。
22:24 📊差值型求积公式的构造与误差分析：ak即为sk节点处的拉格朗日插值基函数lk在ab上的积分，通过构造该差值型的求积公式，可以得到求积系数ak等于xk处对应的拉格朗日差值基函数在ab上的积分。如果一个机械求解公式的求解系数ak等于它本身，那么它一定是一个差值型的求积公式。差值型求积公式的误差可以用余项来分析，其误差等于原定积分减去用差值多项式近似原函数的定积分。余项中的核函数是由拉格朗日插值余项推导得到的，其余项的积分可以得到差值型求积公式的余项。差值型求积公式的代数精度至少为n次。
27:58 ?求积公式的充要条件与余项表示：这个章节讲解了求积公式的充要条件。如果一个求积公式至少具有n次代数精度，那么它就是一个差值型求解公式，求系数等于对应节点处拉格朗日插值基函数在ab上的积分。反之，如果一个求积公式是差值型的，那么它至少具有n次代数精度。同时介绍了另一种表示余项的方式，即核函数的拉格朗日插值余项在ab上的积分。
33:35 📈求解公式的代数精度与余项概念：这个视频讲解了求解公式的代数精度和余项的概念。代数精度是指验证公式对于任何次数不超过m4的多项式都成立，而对于高次多项式不成立。余项可以表示为待定系数k乘以函数f在某一点处的m+1阶导数。这个k与函数f无关，所以公式是机械求解公式。根据代数精度的定义，可以算出k的值。当求极区间和代数精度次数确定时，k可以完全确定为一个常数。通过这个结论，可以估计余项的大小，对误差进行估计。同时还提到了另一种估计方式，即将多项式在求极区间上的积分与f的n+1阶导数的最大值相乘。这两种方式是不同类型的余项估计方式。需要注意的是，这些结论是关于代数精度的。
39:12 🛠?求积公式的构造方法：该视频介绍了求积公式的构造方法。首先，根据代数精度法，选择合适的求积节点，并通过求解系数的方法确定求积公式。其次，通过差值型求解公式，将求积节点作为插值节点，利用拉格朗日差值多项式近似原函数，并得到差值型的求积公式。这两种方法都能确保求积公式至少具有三次代数精度。差值型求积公式的特点是求积系数与对应节点处的拉格朗日插值基函数在求积区间上的定积分相等。

?

第二十六讲

介绍了牛顿柯特斯公式和孵化梯形公式。牛顿柯特斯公式是一种特殊的插值型求解公式，具有等距节点，可以近似原函数的积分。孵化梯形公式是将求积区间分段，并在每个小段上使用梯形公式进行近似计算。这些公式有不同的代数精度和余项，可以用于求解定积分。同时，视频还介绍了公式的收敛性和稳定性，以及如何利用公式进行近似计算和误差估计。

00:00 📖牛顿柯特斯公式：本章介绍了牛顿柯特斯公式，它是一种具有等距节点的插值型求解公式。使用差值多项式的积分近似原函数的积分，求解公式的系数与拉格朗日差值基函数有关，且仅与节点有关，与核函数无关。公式是差值型的积分公式，其误差可以表示为核函数的差值余项在积分区间的积分。当节点等距分布时，得到流动科特斯公式。公式的系数可以通过积分计算得到。节点等距分布时，每段距离为h，节点可以表示为a+k*h。通过积分变换，可以将积分变量表示为与h有关的形式。
05:41 🔢等距节点处的科特斯系数：本章节主要讲述了等距节点处的科特斯系数和其计算方法。科特斯系数是根据节点个数n和对应的系数k来确定的，与核函数和求积区间无关。当节点个数确定后，可以通过计算得到科特斯系数表。当n=1时，对应两个等距节点，科特斯系数为1/2和1/2，对应的求积公式为梯形公式。
11:23 📊牛顿-科特斯公式的特点和应用：本章节介绍了牛顿-科特斯公式的特点和应用。当n从1逐渐增加到8时，科特斯系数都是正数，但n大于等于8时，系数会出现负数，导致公式的稳定性下降。因此，高次的牛顿-科特斯公式很少使用。另外，科特斯系数具有对称性，但稳定性不能得到保障，容易出现龙格现象。在处理长区间时，可以采用分段求取公式或复合求取公式。当n等于1时，牛顿-科特斯公式就是梯形公式。
17:06 🔍梯形公式和辛普森公式的数值积分方法：这个视频讲解了使用微积分中的梯形公式和辛普森公式来进行数值积分的方法。梯形公式的余项可以写成一个常数乘以函数在某一点处的二阶导数的形式，而辛普森公式的余项可以写成一个常数乘以函数在某一点处的四阶导数的形式。通过确定待定常数，可以计算出这些余项的具体值。同时，视频还介绍了牛顿-科特斯公式和埃尔米特插值的应用。总之，视频推荐使用这些公式进行数值积分，而不是进行理论分析。
22:47 💡牛顿柯特斯公式的代数精度和计算量：这个章节介绍了牛顿柯特斯公式的代数精度和计算量。当n为偶数时，牛顿柯特斯公式至少具有n+1次代数精度，适用于奇数个节点的情况。通过一个计算定积分的例子，我们可以看到不同公式的精度和有效数字位数的差异。在实践中，常用的公式是梯形公式、辛普森公式和科特斯公式。验证n为偶数时的代数精度可以通过验证余项为零来完成。另外，文章还介绍了用公式计算定积分时的截断误差分析。
28:31 📉数值积分的误差估计和收敛性与稳定性：本章介绍了数值积分的误差估计和收敛性与稳定性的概念。通过求解公式的近似值和余项的计算，可以得到数值积分的近似值。收敛性是指当求极节点趋向于无穷时，步长趋向于零，求解公式能够收敛到原定积分。稳定性则是指求解公式的扰动能够受控于每个节点处被积函数值的扰动。求解系数全部大于零是稳定性的充分非必要条件。
34:12 ?牛顿-科特斯公式及其稳定性：这个视频讲解了牛顿-科特斯公式及其稳定性。牛顿-科特斯公式是一种具有等距节点的差值型求积公式，具有至少n次代数精度。当系数大于零时，公式是稳定的，但当n较大时，稳定性无法保证。因此，一般使用n=1的梯形公式。另外，视频还介绍了分段低次插值和复化求积公式的思想。
39:55 🏗定积分的梯形公式近似计算方法：本章介绍了定积分的梯形公式近似计算方法。梯形公式通过将积分区间分成多个小段，然后计算每一段上梯形的面积来近似计算积分值。利用梯形公式，可以将积分转化为每一段上的求和，从而得到整个积分的近似值。余项的计算可以通过每一小段上的积分余项求和得到。该公式的收敛性和稳定性都得到了保证。

?

第二十七讲

第二十八讲

第二十九讲

第三十讲

介绍了高斯型求积公式的构造和性质。高斯型求积公式是一种差值型的求积公式，具有2n+1次的代数精度。通过确定高斯点，即n+1次正交多项式的零点，再利用差值原理求解系数，可以得到高斯型求积公式。该公式具有稳定性和收敛性，且节点越多，近似效果越好。通过计算余项，可以对计算误差进行分析。

00:00 📐高斯型求积公式及特点：本章介绍了高斯型求积公式及其特点。对于n+1个高斯点的高斯型求积公式，其代数精度为2n+1次。由于带全求解公式较难求解，因此我们先确定节点，再解线性方程组求解系数，或利用其性质推导系数公式。高斯型求积公式是差值型求解公式，系数可用差值多项式求积分近似得到。高斯点的确定可以利用正交多项式的零点。
06:32 📏定理和正交性：该章节介绍了一个定理，即x0的sn加高斯点等于x减去连乘的k从零到n的值。这个定理说明了n+1次多项式与任意次数不超过n的多项式px正交。证明过程使用了代数精度和正交性的性质。这个定理的充分性也被证明，即如果n+1次多项式px与任意次数不超过n的多项式正交，则px的零点是高斯点。证明中使用了代数精度和余数的概念。整个章节的重点是定理的结论，证明过程可以快速浏览。
13:05 🔍定理和性质：这个章节主要讲解了关于高斯型求积公式的定理和性质。通过证明，得出了高斯型求积公式在节点个数为n+1时，具有2n+1次的代数精度。同时，通过正交多项式的性质，可以确定高斯点的位置，从而计算出高斯型求积公式的结果。这一定理对于求解数值积分问题非常重要。
19:36 🔎求解高斯点的方法：本章介绍了求解高斯点的两种方法。第一种方法是利用正交多项式的性质，通过找到满足正交条件的二次正交多项式f2，然后求解f2的零点，即可得到高斯点。第二种方法是利用欧米伽函数和正交多项式的性质，通过将欧米伽函数展开成正交多项式的线性组合，并利用积分求解系数，得到关于高斯点的表达式。两种方法都可以用于求解高斯点，具体选择哪种方法取决于问题的特点。
26:08 📊正交性和欧米伽函数：这个视频讲解了利用正交性和欧米伽函数的一次幂来求解线性方程组的方法。通过变量替换和维达定理，可以将求解问题转化为求解线性方程组的问题。然后介绍了利用最小二乘拟合和特殊多项式族构造求解公式的方法，包括高斯勒让德公式和高斯切比雪夫公式。最后提到在积分区间不在-1~1上时，可以进行积分区间转换来适用这些求解公式。
32:44 📈构造方式和应用：这个视频讲述了高斯求积公式的构造方式和应用。通过使用高斯公式，可以避免牛顿特斯公式的问题。高斯求积公式是在-1~1上的全函数，根据正交多项式的性质，以零点作为求积节点。通过构造两点的高斯求积公式的例子，可以得到节点和系数。对于非标准区间，可以进行变量替换，然后使用高斯求积公式计算定积分。举例计算e的x次幂乘上cos x的定积分。
39:18 📉积分的近似计算：这个章节主要讲解了如何进行积分的近似计算，通过将积分转化为高斯求积公式或切比雪夫求积公式的形式，利用节点处的函数值和求积系数进行计算。同时介绍了高斯切比雪夫求积公式的构造过程和节点的计算方法。最后给出了一个具体的例子，展示了如何使用高斯切比雪夫求积公式计算定积分。
45:47 🔒稳定性和收敛性：本章介绍了高斯型求积公式的稳定性和收敛性。稳定性是指系数都大于零，保证计算过程稳定。收敛性是指当节点个数趋向无穷时，能够收敛到积分值。证明思路是利用高斯型求积公式的代数精度，达到2n+1次代数精度。余项可以用差值多项式或代数精度表示。通过例题和习题，可以进一步掌握计算和误差分析。

?

第三十一讲

介绍了数值分析中的数值微分和常微分方程数值解法。数值微分是利用函数在节点上的数值去近似函数在某一点的导数值。常微分方程的数值解法涉及到离散化和递推关系，其中欧拉方法是最基础的一种方法。通过逐步计算，可以得到函数在离散节点上的近似值。视频还提到了插值逼近法、数值积分法和泰勒展开法等方法，以及数值稳定性和精度的考量。

00:00 🔢数值微分方法：本节课介绍了数值微分的基本思想和方法。通过结合微积分知识和差商的定义，可以用数值方法近似函数在某一点处的导数值。常见的数值微分公式包括一阶向前插值、一阶向后插值和一阶中心插值等。这些公式的误差阶数分别为h的一次方、h的平方和h的三次方。误差分析基于泰勒展开法，通过余项来估计近似的准确性。在选择步长h时，需要考虑精度和舍入误差。函数的光滑性对近似效果有影响。此外，还介绍了差值型的求导公式，可以通过差值多项式近似复杂函数的导数。
06:03 🔠数值微分和外推方法：本章介绍了数值微分和外推方法。通过差值公式和导数近似，可以得到对应的数值公式，并进行误差分析。外推方法可以提高数值微分公式的精度。此外，还介绍了常微分方程的数值解法，分为线性和非线性常微分方程。
12:08 📚常微分方程初值问题：视频讲解了常微分方程的初值问题。在给定一定条件下，可以保证方程存在唯一解。条件包括右函数f满足连续性和尼普西斯条件。这个结论对于一阶常微分方程和常微分方程组都适用。
18:13 🧮数值求解常微分方程初值问题：本章介绍了如何数值求解常微分方程初值问题。首先，将连续问题离散化，求解在离散节点上的函数值的近似解。然后，介绍了建立数值算法的基本思想，即将区间离散化，插入一系列分点，使节点等距分布。最后，将离散节点表示为常数不长的等距网格。
24:18 🔲区间分段和等距网格：这个视频讲解了如何将一个区间分成等长的小段，并将每个小段的节点表示为等间距的节点。然后介绍了如何对常微分方程的初值问题进行数值求解，通过在等距网格上计算节点处的近似值来逼近真实解。视频还提到了非等距网格的情况，说明了算法在不同步长下的应用没有本质区别。最后，视频介绍了离散方法的计算流程，并解释了如何利用已知的初始条件来求解后续节点的近似值。
30:21 📈逐步计算函数的近似值：这个章节介绍了在求解函数的数值方法中，如何利用已知的函数和近似值来逐步计算函数在不同点的近似值。首先，我们知道了函数在初始点的值和一系列近似的导数值。然后，利用这些信息，我们可以使用数值方法逐步计算函数在其他点的近似值。这个数值方法可以通过一个通用的公式来表示，然后在每一步中循环使用。最后，我们提到了单步法，即只需要当前点和下一个点的信息来计算下一步的近似值。
36:27 🔐常微分方程初值问题的数值算法：视频讲解了常微分方程初值问题的数值算法。常微分方程可以通过单步法或多步法进行求解，其中多步法需要综合前面的已知信息。在设计算法时，除了考虑精度，还要考虑数值稳定性和误差累积的问题。常用的数值算法包括插值逼近法、数值积分法和泰勒展开法。插值逼近法将常微分方程转化为差分方程，数值积分法将其转化为积分方程，而泰勒展开法通过确定待定公式形式和参数来达到一定的精度。
42:30 🧪欧拉方法：这个视频介绍了欧拉方法作为求解常微分方程初值问题的数值算法的基础。通过使用一阶向前插值近似导数，可以得到一个递推公式，用于从已知的初始点逐步计算出后续节点的函数值。最终可以通过这个公式，从左往右依次求解出所有节点的函数值。

?

第三十二讲

AI课代表的笔记：这个视频介绍了数值分析中的几种常用方法，包括欧拉公式、影视欧拉法、梯形公式和改进欧拉法。这些方法都是用来近似解微分方程的，它们的精度和稳定性不同。视频还介绍了这些方法的具体公式和实现方式，并给出了一些示例进行演示。通过观看视频，我们可以了解到这些方法的原理和应用场景。

00:00 🧮欧拉法数值逼近：视频讲解了使用欧拉法进行数值逼近的过程。首先通过一阶导数的近似来求解函数在某一点的函数值，然后通过二阶近似关系来递推求解数值解。这个过程是一个离散变量法，存在方法设计误差。欧拉法通过连接一系列折线来逼近精确解。
05:28 🔍欧拉方法求解：本章节介绍了如何使用欧拉方法进行求解。欧拉方法是通过一步步推导，并将右边的值代入计算得到下一个值的方法。通过给定的具体问题和公式，可以得到欧拉公式。然后可以通过迭代计算得到每个节点处的近似值。最后，可以用Matlab画图来比较数值解和精确解的误差，发现欧拉方法存在数值稳定性问题。介绍了一种改进的方法——后向欧拉法。
10:56 🔢隐式欧拉法与线性方程组：本章节介绍了一种求解递推关系的方法，即影视欧拉法。通过使用近似解和递推公式，可以计算出每一个节点的数值解。同时，讲解了影视欧拉法与线性方程组的关系，以及几何上的意义。此外，还介绍了显示欧拉公式和隐式欧拉公式的概念。在实际计算中，可以直接求解影视格式，或者进行数值计算来求解。
16:26 🔄迭代法求解非线性方程组：这个章节讲述了如何使用迭代法求解非线性方程组。首先介绍了可以使用线性方程组或非线性方程组来实现引格，然后详细讲解了使用迭代法的步骤。通过举例说明了如何使用显式欧拉法计算出一个初始值，并将其带入引格式的右端进行计算，得到一个新的迭代值。然后将新的迭代值带入右端再次计算，以此类推，直到达到所需的精度要求。最后讲解了迭代过程的收敛性以及判断迭代是否终止的方法。
21:52 🔧非线性方程求解方法：这个视频讲解了关于非线性方程的求解方法。首先通过数值方法计算出y1的初始值，然后利用迭代公式不断求解y1，直到满足预设的精度要求。其中介绍了显欧拉和隐欧拉两种数值方法，以及牛顿迭代方法。最后还介绍了梯形公式的近似计算方法。
27:23 📈折线斜率与近似计算：这个章节介绍了折线的斜率和几何思想，以及如何利用斜率进行近似计算。通过取不同点的斜率的平均值，可以得到下一个点的数值。同时，还介绍了二倍的h和中心插值的概念，并提到了两步欧拉公式的计算方法和初始值的问题。最后，还介绍了改进欧拉法的思想和实现方法。
32:50 🔩改进欧拉法的预估校正：该章节介绍了改进欧拉法，它是梯形公式的预估校正方法，能够保持二阶精度。改进欧拉法是一种单步的显式格式，相比于迭代法求解梯形公式更简单，并且具有更好的稳定性。通过预测和校正两步，得到了下一个数值解。改进欧拉法的实现策略是将预测值和校正值取算术平均，得到梯形公式的校正值。该方法适用于显式欧拉法求解梯形公式时稳定性要求较高的情况。
38:20 📊数值解与精确解比较及常见方法：这个章节主要介绍了数值解和精确解之间的比较，以及几种常见的数值求解方法。其中包括欧拉公式、影视欧拉法、梯形公式和改进的欧拉法等。这些方法在精度和稳定性上有所不同，需要根据具体情况选择合适的方法。下一节课将进一步介绍如何分析这些方法的局部截断误差阶。

?

第三十三讲

关于数值分析中常微分方程的数值解法的介绍。视频介绍了显示欧拉法、影视欧拉法、梯形法和两步欧拉法等几种常微分方程的数值算法。通过分析这些算法的局部截断误差，可以得出它们的精度。其中，梯形法的精度最高，达到了二阶精度。这些算法可以用于解决常微分方程初值问题。

00:00 📝常微分方程初值问题的数值解法：本章介绍了常微分方程初值问题的数值解法，包括显示欧拉法、隐式欧拉法、梯形法、改进的欧拉法和两步欧拉法。这些方法中，除了两步欧拉法是多步法外，其他都是单步法。显示欧拉法和改进的欧拉法是显示格式，而隐式欧拉法和梯形法是隐式格式。在计算时，需要解关于下一个节点处数值解的一个隐式方程。而这些方法的稳定程度一般是隐式格式要好于显示格式。接下来将介绍局部截断误差以及方法的收敛性，以及如何利用这些概念构造具体的数值算法。
06:43 🧠局部截断误差的概念：本章讲解了单步法中的局部截断误差的概念。局部截断误差是指单步方法计算得到的数值解与下一个节点处要求的精确解之间的绝对误差。通过假设之前的计算没有误差，将数值格式带入精确解计算一步，得到的值与直接使用数值解计算的值之间的误差即为局部截断误差。
13:21 🔢单步方法的计算过程和局部截断误差：这个章节主要介绍了单步方法的计算过程和局部截断误差的概念。其中提到了带真解计算一步的格式、带增减计算一步的格式以及局部截断误差的定义和阶数。局部截断误差和步长h有关，当局部截断误差的阶数为p+1时，称该算法具有p阶精度。最后提到通过局部截断误差的分析和方法的扰动分析可以推导出方法的整体误差的阶数。
20:07 📚函数展开的理论态度和差分解展开方法：本章节讲解了在函数y(x)处展开的理论态度和差分解展开的方法。可以利用局部截断误差定义和阶数定义，分析现有方法的局部截断误差，以欧拉方法为例进行了分析。通过局部化假设和精确值代入，得到了欧拉方法的局部极端误差的具体形式。然后利用泰勒展开，展开到h的平方项，并减去带增减计算一步的值，得到局部截断误差的表示形式。
26:50 📈欧拉法的局部截断误差和精度分析：这个章节主要讲述了欧拉法的局部截断误差和精度分析。欧拉法的局部截断误差是二分之h的平方乘上y在fn这点处的二阶导数加上h的三次方的同阶无穷小。根据定义，欧拉法是具有一阶精度的。类似的方法可以分析其他给定的具体方法的局部截断误差。两步欧拉法的局部截断误差是o h的三次方，具有二阶精度。其他单步方法和隐式欧拉法也适用。
33:33 💻局部化的概念和精确解的计算方法：这个章节讲述了局部化的概念和精确解的计算方法。局部化是指在某一点处，通过计算一步得到一个值，然后用该值与精确解进行比较，得到局部截断误差。通过定义局部截断误差，可以对数值格式进行分析。在计算过程中，可以将格式中的变量替换为精确解，然后将左边减去右边，得到误差。这样可以定义出局部计算误差，用于分析数值格式的精确度。
40:15 📏局部截断误差和局部阶段误差的概念：这个视频讲述了局部截断误差和局部阶段误差的概念，并介绍了如何利用泰勒展开来计算这些误差。通过对比精确解和数值解，可以得到局部截断误差的具体形式，并用泰勒展开进行推导和合并同类项，得到局部阶段误差的表达式。最后，根据定义可以得出局部截断误差是h的平方的同阶无穷小。
46:59 🔍梯形格式的局部截断误差：视频章节讲解了梯形格式的局部截断误差。通过将显示欧拉法和隐式欧拉法相加，它们的局部截断误差主项可以相互抵消，从而提高精度。梯形格式的局部截断误差主项是-1/2乘以h的三次方乘以y在f(n)处的三阶导数。因此，梯形格式具有二阶的局部截断误差精度。

?

第三十四讲

介绍了数值分析中的龙格库塔方法。龙格库塔方法是一类高精度的单步计算方法，可以用于求解常微分方程初值问题。视频中详细介绍了欧拉方法和改进欧拉方法的优缺点，以及如何将其推广为更高精度的龙格库塔方法。视频还介绍了一般形式的龙格库塔方法和其系数的选择方法。通过计算实例，证明了龙格库塔方法的高精度和稳定性。

00:00 🧮数值计算方法概述：该视频章节主要介绍了不同的数值计算方法，包括欧拉方法、改进欧拉法、影式欧拉方法和龙格库塔方法。欧拉方法是一种简单的单步法，但精度较低；改进欧拉法是梯形公式，精度更高；影式欧拉方法具有较好的稳定性，但计算量较大；龙格库塔方法是一类高精度的单步法，可根据实际需求选择不同的方法进行求解。需要根据问题的实际需求选择合适的方法，并进行稳定性分析。
06:08 🔢构造高精度的单步地推格式：该章节讲述了如何构造更高精度的单步地推格式。通过微分中值定理，可以得出下一个点处的精确值等于前一个点的精确值加上h乘以y的一阶导数。根据微分方程，可以构造出一个具体的格式来近似求解。改进的欧拉法是通过显欧拉和引欧拉的加权平均得到，并用k1和k2来近似一阶导数值。k1表示当前点处的导数值的近似，k2表示下一个点处的导数值的近似。通过这种数字格式，可以近似求解y在某一点处的一阶导数值。
12:18 📈改进的欧拉法和龙哥库塔方法：这个章节介绍了改进的欧拉法和龙哥库塔方法的思想和推广。通过近似一阶导数和加权平均的方式，我们可以根据节点处的导数值来逼近函数的值，从而得到下一个数值。节点的选择和加权平均的系数可以根据需求进行调整，进一步扩展方法。这个思想也可以应用到辛普森公式中。
18:30 📊龙格库塔方法的推广：龙格库塔方法是数值积分中的一种方法，以德国数学家荣格和库塔命名。他们提出了一种思想，将数值积分方法写成一般形式，并进行复杂算法和分析。该方法使用两个节点和改进的欧拉方法进行推广，得到一个两步极化回答方法。该方法有三个自由参数：p、λ1和λ2，可以通过局部截断误差的分析确定。目标是使算法具有二阶局部截断误差精度。通过带增减的计算，可以得到k1和k2的值，并计算出局部计算误差。要达到二阶精度，局部最大误差应为o(h^3)。
24:38 📉一阶导数的局部分析：这个章节主要讲述了在计算一阶导数时，利用精确值进行分析，并将含有f的表达式在特定点进行展开。然后通过局部化分析局部误差，注意到f关于x的导数和f关于y的导数与y的二阶导数的关系，将其带入公式中进行展开合并。最后，通过带入真解进行局部化，得到局部误差的分析。
30:51 📈局部化和泰勒展开：这个视频讲述了如何通过局部化和泰勒展开来提高数值解的精度。通过对局部计算误差分析和展开公式，可以得到二阶精度的方法和格式。通过确定参数的取值，如p和λ，可以得到不同精度的方法。进一步推广可以增加节点和加权平均来提高精度。
37:01 🌾农耕扩展方法：这个视频讲解了一种农耕扩展方法，通过数值解逼近中间节点处的导数值，利用加权系数求和得到近似值。其中的关键参数包括节点数、系数和赋值。该方法可以用于显示欧拉法，通过逐步计算得到最终结果。这是一种通用的扩展方法，适用于不同形式的微分方程。
43:11 ?求和等于一的方法：本章节主要介绍了求和等于一的方法，以及如何确定系数和计算步骤。当参数个数大于所需确定的方法时，是一组辅导方法；当可以确定一组系数时，是一个轮回复的方法。最后通过具体例子，比较了四阶经典融合扩展方法和改进欧拉法的计算效果和精度。建议自己计算并比较误差，并介绍了下节课将介绍多步法和方法的性质分析。

?

第三十五讲

介绍了数值分析中的显示龙格库塔方法。该方法是一种单步法，通过在每个步骤内插入中间节点来提高精度。视频还讨论了显示和隐式挪威互导方法的区别，以及如何计算中间节点的导数近似值。此外，视频还提到了显示挪威互导方法的一般形式和级数阶数的关系。最后，视频讨论了方法的收敛性和稳定性，并介绍了绝对稳定性的概念。

00:00 📺显示和影视龙格库塔方法介绍：这是关于显示龙格库塔方法和影视龙格库塔方法的介绍。显示龙格库塔方法是一种单步法，通过在每个中间节点插入一些节点来提升精度。利用数值解和中间节点处的导数值的近似值，可以计算出下一个节点的数值解。影视龙格库塔方法在计算ki时需要联立方程组求解，如果方程组是非线性的，则可以采用预估校正的技巧或非线性方程组求解的方式。两种方法的系数有所不同，显示方法的系数包括ci和ai，而影视方法还有c1。
05:56 📖龙哥库塔方法中的系数表：视频讲解了关于龙哥库塔方法中的系数表的内容。龙哥库塔方法是一种数值计算方法，通过确定系数表来确定具体的计算方法。系数表包括矩阵A、向量C和向量B的转置。矩阵A是一个严格下三角矩阵，向量C是列向量，向量B的转置是行向量。系数表的形式可以根据具体的计算方法而确定，通过给定系数表可以确定具体的计算方法。
11:53 🔍显式龙格库塔方法计算步骤和系数表：这个视频介绍了显式龙格库塔方法的计算步骤和系数表，以及计算量和精度之间的关系。通过使用更多的中间节点信息，显式龙格库塔方法可以在相同计算量下获得更高的精度。布设表提供了不同系数组合的方法，而级数和阶数的关系表明，方法的阶数不会超过其级数，同时级数越高，可以达到的最高精度越高。
17:51 🎯精度和计算量的关系：这个章节主要讲述了数值方法中的精度和计算量的关系。当级数大于等于5时，精度最高只能达到l级，不存在5级5阶的方法。因此，实践中常用的是四级四阶方法，因为它既具有较好的精度，又计算量较小。对于解的光滑性较好的情况，高阶方法的结果更好；对于光滑性较差的解，适宜使用低阶方法。此外，要达到更高的精度，可以减小步长。接下来将介绍方法的收敛性和稳定性的定义和分析方式。
23:47 🔢欧拉方法的应用和收敛性：在这个视频的章节中，我们介绍了欧拉方法的应用和收敛性。欧拉方法是一种数值解法，用于求解线性常微分方程的初值问题。通过递推关系，我们可以得到数值解序列，并与精确解进行比较。当步长h趋向于零时，数值解收敛到精确解。对于拼接的单步法，如果满足特定条件，我们可以得出关于其收敛性的结论。
29:45 📉显示单步法的收敛性和整体误差：显示单步法是一种数值解微分方程的方法。它的收敛性和整体误差与增量函数f和初始条件有关。方法的局部截断误差必须达到p+1阶，而整体误差则达到p阶。通过判断增量函数是否满足利普西斯条件以及局部截断误差是否达到要求，可以判断该方法的收敛性。在实际中，如果要提高计算方法的精度，只需要提升局部截断误差的阶数。
35:39 📈收敛阶和稳定性的概念：视频介绍了收敛阶和稳定性的概念。收敛阶的阶数与局部截断误差的阶数相比，第一阶是通过局部截断误差来提高精度的方法。稳定性是指误差在计算过程中逐步衰减的性质。在求解常微分方程初值问题时，绝对稳定的算法是误差逐步衰减的算法。对于一般的非线性差分方程，考虑绝对稳定性可以先从简单的线性常微分方程开始。
41:38 💯绝对稳定性的概念：这个章节讲述了绝对稳定性的概念。绝对稳定性可以分为线性稳定性和非线性稳定性。线性稳定性是指当y的一阶导数等于lambda乘以y时，参数lambda必须严格小于零，以保证解是衰减的指数函数。绝对稳定性与参数lambda乘以步长h有关，绝对稳定域越大，步长的限制就越小，算法越稳定。比较不同算法的稳定性时，绝对稳定域越大的算法步长的取值范围就越宽，稳定性越好。

?

第三十六讲

介绍了数值分析中的线性多步法，包括显示和影视方法。通过泰勒展开和数值积分的思想，可以构造出不同阶数的线性多步法。其中，阿达姆斯公式是一种常用的四阶显示方法，而米尔恩公式是一种四阶影视方法。这些方法的稳定性取决于选择的参数，可以通过稳定性分析和校正来改善。

00:00 🔒显示欧拉法和隐式欧拉法的稳定性：该章节主要讨论了显示欧拉法和隐式欧拉法的绝对稳定性。显示欧拉法的绝对稳定域是复平面上的有界区域，而隐式欧拉法的绝对稳定域是复平面上的无界区域。隐式欧拉法的绝对稳定性被称为无条件稳定，因为它的绝对稳定域包含了整个左半复平面。相比之下，显示欧拉法的稳定性要差一些。无条件稳定意味着对于任意的步长h，只要满足拉姆达的实部小于零，隐式欧拉法都是稳定的。
06:41 📏稳定性对步长的要求：本章节讲解了在数值算法中，稳定性对步长的要求。对于不同的算法和问题，稳定性的要求是不同的。算法的稳定性取决于拉姆达（λ）和步长（h）的乘积。如果算法的解不衰减误差，可能是问题出在算法选择、问题本身或步长选择上。同时，介绍了龙格-库塔方法和二阶方法的计算公式。
13:20 🔗终点法和线性多步法：这个视频章节介绍了终点法和线性多步法。终点法是一种二阶方法，其绝对稳定域为左半复平面，可以用于稳定的测试方程。线性多步法是一种多步法，通过线性组合近似计算节点处的函数值和导数值，具体的系数可以由人为设计。当贝塔-1不等于零时，线性多步法是显示的，否则是隐式的。
20:03 💡线性多步法的构造思想：该视频讲解了构造线性多步法的思想，通过数值积分来近似求解常微分方程。可以利用不同的数值积分公式得到不同的计算公式，其中包括了Adams显示公式。通过牛顿差值多项式去近似被积函数，并且截取余项，可以得到一个近似的数值解。该方法可以通过控制局部截断误差来达到所需精度。最后，将k=1时的情况带入公式，得到向后差分的形式。
26:45 📊数值解和精确解的区别：这个章节讲述了数值解和精确解的区别，以及在局部计算误差和数字格式中的应用。通过对0~1上的积分计算，得到了一个公式来表示局部截断误差，并介绍了利用差值余项的积分来表示。通过分析可以得知，局部截断误差与步长h的关系是二阶的，可以使用常数bk乘上y在某节点处的k+2阶导数乘以h的k+2次方来表示。最后介绍了Adams方法，它是一种显示的线性多步法，阶数为四阶。
33:25 🔄Adams方法和线性多步法：该章节介绍了两种构造常微分方程数值解的方法：Adams方法和线性多步法。Adams方法是一种利用函数信息进行近似计算的方法，可以通过系数表进行计算，并且具有数值稳定性好的特点。线性多步法基于泰勒展开的思想，通过确定系数满足一定条件，使得方法的局部截断误差达到预设的精度。通过计算真解的左右两边的数值解，可以确定方法的系数。最后，给出了Adams方法和线性多步法的具体计算公式及其稳定性差异。
40:13 🔍泰勒展开的局部化和阶数确定：这个章节主要讲解了在进行泰勒展开时，如何将每一项进行局部化，并展开到特定的阶数。作者提到了一阶导、二阶导等概念，并给出了展开的具体形式和计算方法。同时，作者介绍了如何让公式达到四阶进度，即让局部截断误差等于o h的五次方。最后，作者通过比较系数的方式来确定每一阶的项，以消除不必要的项。
46:50 🔒多步法及其稳定性分析：该章节介绍了一种求解常微分方程的方法——多步法。通过对系数进行限定，可以得到Adams显示公式和隐式RDM方法。进一步，可以通过替换和泰勒展开导出其他阶数的显示算法，如米尔恩公式和辛普森公式。这些方法可以与显式格式或其他影视格式搭配使用。稳定性分析表明，为改善稳定性，可以采用影视格式进行校正。最后，还介绍了阿尔法取值不同时所得到的不同公式的稳定性和精度分析。

?

第三十七讲

介绍了线性方程组的数值解法。线性方程组求解在工程实践中非常常见，数值方法可以高效地求解大型稀疏方程组。视频分为直接法和间接法两类。直接法通过构造精确递推关系来求解，适用于低阶线性方程组。间接法则通过迭代逼近精确解，适用于大型稀疏方程组。视频还介绍了向量和矩阵范数的定义和性质，以及向量序列的收敛判定方法。

00:00 🐉龙格库塔方法：龙格库塔方法是一种数值方法，可以用于求解常微分方程。该方法包括影视龙格库塔公式、影视终点法和梯形公式等。影视中点公式中，自变量取两个端点的平均值，求得近似解。变步长的龙格库塔方法可以通过减半步长和Richardson外推技巧提高精度。算法的控制策略是判断误差是否小于允许误差，如果不满足，则继续减半步长或放大信息。收敛性和稳定性是研究数值方法的重要指标。
06:05 🔒稳定性：本章介绍了数值算法的稳定性。首先讲解了绝对稳定性的概念，以及如何通过简化模型来考虑算法的稳定性。然后举例说明了欧拉方法和梯形公式的稳定性，并提到了绝对稳定性对算法的限制。接着介绍了线性多步法的构造方法，包括基于数值积分和泰勒展开法的构造思想。最后通过例题展示了不同算法的精度和稳定性差异，并提出了同类方法的比较。
12:25 📈泰勒展开法：该章节讲了如何通过泰勒展开法确定线性方程中的系数，以达到指定精度。介绍了实现影视公式的两种思想：一种是将其看作是关于数值解的演示方程，可以用迭代算法求解；另一种是预估校正思想，通过预测值和校正值计算结果。提到了Adams公式的预估校正实现，以及匹配公式精度的重要性。讨论了局部截断误差的主项和提升精度的策略。
18:15 🔮预测校正法：这个章节介绍了预测校正法中的近似关系和误差分析。通过将预测值和校正值与精确值之间的误差相加，可以提升计算精度。预测值通过加上误差分析部分得到校正值，然后带入Adams公式进行计算，最终得到数字解。这个方法可以视为一种外推技术，利用已知的预测值和校正值以及误差分析结果来提高精度。
24:26 🔮预测校正技术：这个章节介绍了预测校正技术和线性方程组的解法。在预测校正技术中，通过预估校正和外推计算公式，将影视格式转换成显示格式，并实现较好的运算速度。在线性方程组的解法中，介绍了直接法和间接法两种数值解法，通过构造递推关系和利用线性代数中的等价转换，可以求得方程组的精确解。这些方法在实际工程领域中应用广泛。
30:33 📊线性方程组的解法：本章介绍了线性方程组的求解方法，分为直接法和间接法。直接法适用于低维稠密方程组，求解速度高效；间接法是通过迭代逼近精确解，适用于大型稀疏方程组，收敛快。接下来介绍了向量和矩阵范数的定义和计算方法，范数可以用于研究向量序列的收敛性。
36:40 🎯向量序列的收敛：本章介绍了向量序列的收敛定义和如何通过范数来判断向量序列的收敛。当向量序列中的每个元素都收敛时，可以定义向量序列的收敛为其每个元素所对应的数列收敛。通过使用无穷范数或其他范数，可以定义向量序列的收敛。同时，介绍了范数之间的关系和范数等价定理，即任意两种范数都是等价的。最后，讨论了向量范数的连续性和如何利用范数判断向量序列的收敛。

?

第三十八讲

介绍了数值分析中的高斯消元法和矩阵范数。高斯消元法是一种直接解线性方程组的方法，通过消元和回代的方式将方程组转化为上三角形式。矩阵范数是一种度量矩阵大小的方法，可以通过向量范数导出。视频还介绍了矩阵范数与向量范数的相容性和一些常见的矩阵范数，如二范数和无穷范数。最后，视频提到了高斯消元法中的主元素和主子式的概念，以及消元过程中需要注意的舍入误差问题。

00:00 🧮向量序列收敛的等价条件：这个章节主要介绍了向量序列收敛的等价条件，即存在某种矩阵和向量范数，使得向量序列减去向量的矩阵范数构成的数列收敛于零。接着介绍了矩阵范数的定义，包括正定性、齐次性和三角不等式等性质。还详细讨论了矩阵范数的相容性，以及在实践中应用范数进行估计的意义。最后给出了常用的矩阵范数，如probability范数。
05:58 📐向量与矩阵的范数：向量二范数是向量每个元素的绝对值平方求和再开根号，矩阵的F范数是每个元素的绝对值平方求和再开根号，向量乘以矩阵后的二范数小于等于矩阵的F范数乘以向量的二范数。向量范数可以导出对应的矩阵范数，称为算子范数。矩阵范数与向量范数具有相容性。矩阵的一范数是每列元素绝对值之和的最大值。
11:57 📏矩阵的范数及其性质：本章讲解了矩阵的范数，包括列和范数、行和范数以及矩阵二范数。列和范数是将矩阵的每一列向量求和，行和范数是将矩阵的每一行向量求和。矩阵二范数可以通过矩阵的转置乘以矩阵的谱半径开根号来计算。谱半径是矩阵的所有特征值模的最大值。矩阵的谱决定了矩阵的性质。对称矩阵的矩阵二范数等于其谱半径。矩阵的范数对于分析算法的性质很重要。
17:58 🔢单位阵与矩阵可逆性：本章介绍了一个定理，即如果一个矩阵b满足某个算子范数小于1的条件，那么单位阵加上或减去矩阵b都是可逆的。同时，定理还给出了一个结论，即单位阵加减矩阵b的逆矩阵的算子范数小于等于1加上矩阵b的算子范数的倒数。接下来会介绍线性方程组的数值解法，其中最基础的方法是高斯消元法。
23:54 📈高斯消元法简介：高斯消元法是对线性方程组进行等价转换，将复杂问题转化为简单求解。方法是将系数矩阵a转换为上三角阵或下三角阵，逐步消去变量，再通过回代求解得到结果。消元法通过等价变换将原问题转换为特殊形式的矩阵，如三角矩阵，从而简化求解过程。通过一个例子可以总结出消元法的步骤，即消去第一列的元素，再逐步消去其他变量。消元过程中可以利用增广矩阵进行计算。
29:56 🧮高斯消元法解线性方程组：本章介绍了高斯消元法解线性方程组的过程。通过消元，可以将方程组化为上三角矩阵形式，从而得到唯一解。消元的过程是逐步缩减规模，每次消去一个子块中的第一列，直到整个矩阵变成上三角形式。消元过程中，只需判断子块的第一个元素是否为零，非零则可以进行消元。消元后，通过回代求解，可以得到方程组的解。高斯消元法可以通过增广矩阵的每一步变化来表示，对于三阶问题只需两步消元。
35:53 📈高斯消元法的步骤和注意事项：这节视频讲解了高斯消元法的具体步骤和注意事项。通过消元和回代的过程，可以解出线性方程组的解。消元过程中，要计算除法因子，并确保除数不为零。如果系数矩阵的所有顺序主子式都不为零，高斯消元可以进行到底，得到唯一解。在编程实现中，应注意避免除法运算时的舍入误差，可以通过等价的行列变换来改变主元的大小。

?

第三十九讲

介绍了数值分析中的高斯消元法和三角分解法。高斯消元法是一种直接求解线性方程组的方法，通过消元过程将方程组转化成特殊形式的等价方程组。三角分解法将系数矩阵分解成单位下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，然后通过回代求解得到解向量。这两种方法在计算稳定性和运算量方面有所差异，选择合适的方法可以提高计算效率和准确性。

00:00 🔍高斯消元法：本章介绍了高斯消元法，通过消元的过程将线性方程组转换成具有特殊形式的等价线性方程组。高斯顺序消元法能进行到底的条件是系数矩阵的所有顺序主子式都不为零，并且主元的绝对值不宜过小。在实际计算中，由于精度有限，可能需要进行舍入。举例说明了二阶线性方程组的求解过程，展示了舍入对解的影响。
05:39 📈舍入误差与病态性质：这个视频的章节讲解了高斯消元法在计算中的误差问题。通过舍入的过程中的舍入误差和问题本身的病态性质，导致了解的严重失真。为了避免这种情况，可以考虑让系数矩阵的元素不要太小，避免大数除小数产生的误差。在消元过程中，可以进行行交换来将较大的元素移到主对角线上，从而减小误差。通过这种改进，可以得到与精确解接近的数值解。
11:20 🔀列主元消去法：这个章节介绍了列主元消去法，它是高斯消去法的一种改进方法。在每次消元之前，先选取当前列中绝对值最大的元素作为主元素，并进行行交换。这样可以避免出现绝对值特别小的主元素，从而减小计算误差和解的失真。此外，章节还提到了舍入会导致线性方程组的解发生扰动，使得原方程组和舍入后的方程组不等价。因此，列主元消去法可以提高求解精度。
17:00 🔄高斯消元法步骤：这个视频讲解了高斯消元法的具体步骤。首先，通过找出绝对值最大的元素所在的行和第k行进行交换，然后进行消元操作，将方程组化简为右上三角矩阵。接下来，通过回代求解，得到方程组的解。高斯消元法相比于普通的消元法，多了一个选主元的过程，即在每一步中选择绝对值最大的元素作为主元，然后进行交换。这个方法的运算量可以通过乘除次数的最高次幂来估计，一般为n的平方阶。
22:40 ??乘除法次数与选主元：这个视频讲解了高斯消元法的乘除法次数以及选主元的方法。每一步消元都需要进行乘除法运算，然后求和。消元的次数是n-1次，然后还要加上回代求解的乘除法。总的运算量是n的三次方。选主元的方法可以选择绝对值最大的元素放到主元位置上，进行行列变换。选主元只影响矩阵的顺序，不影响解的结果。选主元的方法可以提高计算效率。
28:19 🔄列交换与行变换的影响：本章介绍了消元法中的列交换和行变换对向量x的影响以及不同消元方法的计算量和稳定性。在计算量最小和稳定性最好的方法中，完全选组员的消取法最优，其次是选列主元的消元法，最后是高斯顺序消元法。实践中一般使用列主元消元法。接下来介绍了三角分解法及其与高斯消元法的等价性。
34:01 🔄高斯消元法过程：视频讲解了高斯消元法的过程。通过一系列的矩阵相乘，每一步都会生成一个高斯变换矩阵，最终将增广矩阵转化为上三角矩阵。高斯变换矩阵是单位下三角矩阵的负数部分。通过左乘每个高斯变换矩阵，可以得到原始增广矩阵等于上三角矩阵乘以一个单位阵的形式。最后的上三角矩阵被记为U，整个过程中的高斯变换矩阵被记为L。
39:38 🔀高斯消元法矩阵分解：本章介绍了高斯消元法的矩阵分解过程。通过高斯消元得到的增广矩阵可以分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵相乘的形式。其中，单位下三角矩阵L具有特殊的性质，并且可以通过一系列高斯变换的逆矩阵得到。通过唯一存在条件，可以确定L和U的未知元素，并求解方程组。最终将原始问题转化为两个具有特殊形式的线性方程组，可以方便地用回代或前推求解。

?

第四十讲

介绍了数值分析中的数值计算方法，其中重点讲解了数值分解的方法，包括高斯消元法、杜利特尔分解和追赶法。讲解了这些方法的原理和应用场景，并给出了相关的计算公式和算法流程。视频还介绍了特殊矩阵形式的分解方法，如对称正定阵的处理司机分解和三对角矩阵的追赶法。这些方法在求解线性方程组中具有重要的应用价值。

00:00 🔍高斯顺序消元法中的LU分解：本章介绍了高斯顺序消元法中的LU分解，即将矩阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积。LU分解是唯一的条件是A的所有顺序主子式都不为零。实践中，LU分解有多种形式，不一定是单位下三角和上三角阵。通过LU分解，可以将原问题转化为两个简单的子问题，从而求解方便。LU分解可以通过待定系数的方式求解，利用L的每一行和U的第一列等于A的对应元素来计算。
06:11 🧩利用LU分解求解线性方程组：这个章节介绍了利用LU分解求解线性方程组的方法。首先，通过比较法直接求解L和U中间的元素的计算公式，得到待定系数li j和ui j。然后，利用ai j = li * uj的关系，依次求解U的每一行和L的每一列的元素。最后，给出了LU分解的一般公式和稳定性增强的方法。同时提到了选列主元的高斯消元法和行变换中保持b矩阵形状的注意事项。
12:26 🧩LU分解解线性方程组：该视频讲解了LU分解的方法，用于解线性方程组。首先将系数矩阵A分解为上三角矩阵U和下三角矩阵L的乘积。通过逐步求解U和L的元素，可以得到LU分解。接下来，将原方程组转化为两个子问题：先解下三角矩阵L与向量b的乘积得到向量y，再解上三角矩阵U与向量x的乘积得到向量y。最后，介绍了平方根法作为LU分解的特例，适用于对称正定矩阵。
18:40 🔣对称正定矩阵的LU分解：这个视频讲解了对称正定矩阵的LU分解。LU分解可以将对称正定矩阵分解为一个下三角阵L和其转置的乘积。通过LU分解，我们可以将矩阵的求解问题简化为解两个下三角矩阵的问题。对称正定矩阵的LU分解是唯一的，只要限定L的对角元素为正。这种分解方法可以提高求解的效率。
24:53 📚Cholesky分解的原理和方法：这个章节介绍了Cholesky分解的原理和方法。Cholesky分解是一种将对称正定矩阵分解成下三角矩阵和其转置的方法。通过Cholesky分解，可以将原问题转化为两个子问题，然后通过前推和回代的方式求解线性方程组。Cholesky分解的运算量比LU分解少一半，但开根号的计算量较大。此外，还介绍了平方根法，即将对称正定矩阵分解为单位下三角矩阵和一个对角矩阵的乘积。
31:05 📊LU分解和三对角矩阵的求解方法：这个视频讲解了线性代数中的LU分解和三对角矩阵的求解方法。LU分解是将矩阵分解为一个下三角矩阵L、一个对角矩阵D和一个上三角矩阵U的乘积。而对于三对角矩阵的求解，可以使用追赶法来进行。追赶法是通过将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵，并通过带入计算得到解。
37:20 🔍追赶法的原理和应用条件：这个章节介绍了追赶法的原理和应用条件。追赶法是一种用于求解三对角矩阵线性方程组的方法，通过对矩阵进行特殊形式的分解，可以保证计算稳定性。对于对角占优的三对角矩阵，追赶法可以直接进行分解，不需要额外的条件。追赶法的运算量是n的一次方，比其他消元法小很多。因此，追赶法适用于解决稀疏矩阵线性方程组的问题。

?

第四十一讲

关于数值分析中求解线性方程组的迭代法的介绍。视频首先介绍了消元法的改进方法，如列主元消元法和完全主元消元法，以及通过三角分解来求解线性方程组的思路。接着讲解了特殊性质的矩阵可以通过矩阵分解来转化为简单的子问题进行求解。然后介绍了线性方程组的直接法和误差分析，包括条件数和相对误差的估计。最后介绍了迭代法的基本思想和两种常用的迭代法：雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法。

00:00 🔍消元法的改进方法：本章介绍了消元法的改进方法，包括选主元的消元法和完全选主人的消元法。通过选主元和三角分解的思想，可以将线性方程组转化为子问题进行求解。同时，介绍了不同的矩阵分解方法，如LU分解和对称正定矩阵的分解。特殊情况下，可以使用处理司机分解法和改进的处理司机分解法，以及追赶法求解三对角矩阵线性方程组。这些方法可以提高求解效率和减少计算量。
05:48 📊线性方程组的直接求法和误差分析：这个视频介绍了线性方程组的直接求法和误差分析。当解一个线性方程组时，如果系数矩阵和右端向量有一些小的误差，会对解产生影响。通过引入符号和范数的分析，可以估计解的误差受到右端向量误差的控制，并且控制因子是系数矩阵的逆矩阵范数。相对误差也受到右端向量相对误差的控制，控制因子是系数矩阵的矩阵范数乘以逆矩阵范数。
11:38 📊线性方程组的误差分析：这个章节讲解了线性方程组的误差分析。作者首先介绍了矩阵范数和向量范数的概念，然后通过误差矩阵和误差向量的引入，分析了系数矩阵和解向量的误差对线性方程组解的影响。作者提出了绝对误差和相对误差的概念，并给出了它们的表达式。最后，作者通过范数的性质推导出了误差估计的公式，得出解的相对误差受控于系数矩阵的相对误差和一个控制因子。值得注意的是，公式的推导需要假设误差矩阵的范数足够小。
17:26 📈误差分析和条件数的概念：这个章节主要讲述了误差分析和条件数的概念。通过假设一个小的扰动，我们可以分析系数矩阵和右端向量的相对误差，其中条件数是一个关键的误差放大因子。条件数越大，系数矩阵和右端向量的扰动会引起解的相对误差越大，反之亦然。条件数的大小取决于矩阵的范数定义，常用的条件数包括一条件数、二条件数和五条件数。
23:16 📈矩阵条件数的概念和计算方法：这个章节主要讲解了关于矩阵条件数的概念和计算方法。对于对称阵，条件数可以通过特征值的模的最大值除以最小值来计算。当条件数大于1时，说明矩阵是病态的，即在存在扰动的情况下，求解线性方程组的结果会产生较大的误差。通过一个具体的例子，演示了当系数矩阵存在扰动时，解的相对误差会显著增大。
29:06 💊病态系数矩阵和预处理方法：病态系数矩阵会导致解的失真，可以通过条件数判断矩阵是否病态。希尔伯特矩阵是典型的病态矩阵，条件数随阶数增长迅速。矩阵行列式较大或较小、元素相差较大且无规律，以及高斯消元过程中出现小数除以大数等情况也可能导致病态。通过预处理方法可避免病态现象，改善近似解的误差估计。改善方式可通过代入和迭代得到更精确的解。
34:55 🔍线性方程组的误差问题和迭代法的思想：视频介绍了求解线性方程组的误差问题以及迭代法的思想。当线性方程组中存在病态问题时，需要进行预处理并根据问题性质选择合适的算法。在实践中，可以通过条件数估计扰动对解的影响。迭代法是一种将线性方程组改写成函数形式，并通过不动点迭代求解的方法。迭代序列的收敛与矩阵b的性质相关，通过矩阵向量乘法和向量加法可以得到下一个迭代值。只要迭代格式保证序列逐步收敛到精确解，就能得到较好的算法。
40:43 🔍迭代法的基本思想和应用：这个章节主要介绍了迭代法的基本思想和应用。迭代法是通过重复计算的方式来求解线性方程组的方法，它将方程组的求解转化为矩阵乘以上一次迭代向量再加上常数向量的形式。迭代法的优点是计算简单，精度可控，特别适用于求解大型系数矩阵或运算量较大的问题。在使用迭代法时，需要根据问题设计迭代算法并进行收敛性分析，判断迭代序列是否收敛以及收敛速度。通过控制迭代次数的精度，可以提高算法的计算效率。此外，需要估计误差并通过数字解来进行误差估计，以确定迭代终止的策略。最后，介绍了雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法这两种最基本的迭代方法。

?

第四十二讲

介绍了数值分析中的雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法。它们分别适用于求解线性方程组，并通过迭代矩阵的收敛性判别法来判断它们的收敛性。对于雅可比迭代法，只要迭代矩阵的普班计严格小于1，就能保证收敛；对于高斯赛德尔迭代法，只要系数矩阵A为严格对角占优矩阵，也能保证收敛。此外，还介绍了如何通过误差估计来判断迭代的收敛性和收敛速度。

00:00 🔢线性方程组的雅克比迭代：这个章节介绍了n阶线性方程组的雅克比迭代法的分量形式。通过将方程组写成分量形式，可以得到一个不动点迭代格式。在迭代过程中，通过解除方程中的变量来求得下一次迭代值。可以将原问题写成矩阵形式，通过矩阵的分解得到迭代矩阵和迭代向量。终止迭代的策略是计算相邻两次数值解的范数差。
05:45 🔄雅克比迭代和高斯赛德迭代：本章介绍了迭代法中的雅克比迭代和高斯赛德迭代。雅克比迭代的终止策略是通过计算当前迭代值和上一次迭代值之间的范数来判断是否达到预设精度，而矩阵B的可逆性要求矩阵D的对角线上的元素都不为0。高斯赛德迭代则是通过利用已经计算好的部分迭代值来替换当前迭代值，进一步提高迭代的精度。实践中，需要考虑存储和运算速度的问题，以尽量节约资源。
11:31 💡高斯赛德尔迭代法：高斯赛德尔迭代法是一种用于解线性方程组的算法。通过从矩阵的角度来看，可以将迭代值和前一次迭代值对应的元素移动到等式的左边。迭代矩阵的形式是由下三角部分和对角部分组成的，通过迭代可以得到较好的精度的数值解。需要注意的是，高斯赛德尔迭代法的收敛速度与具体的问题相关，不是所有的问题都比雅各比迭代法更快。迭代格式可以通过矩阵形式进行计算，并要求迭代矩阵存在，即逆矩阵存在。需要针对具体的线性方程组使用该方法。
17:15 📈雅赫比迭代和高塞尔迭代的收敛性：这个章节讲述了雅赫比迭代和高塞尔迭代的收敛性问题。根据实例，高塞尔迭代可能收敛，而雅赫比迭代可能不收敛；相反，对于其他线性方程组，雅赫比迭代可能收敛，而高塞尔迭代可能发散。因此，在使用迭代法求解线性方程组时，需要事先判断迭代格式是否能保证收敛。可以通过洗题验证，也可以通过数值解序列的溢出等情况来判断，但更可靠的是通过理论判断。迭代格式收敛的条件是矩阵b的k次幂收敛到零矩阵，而创造条件是矩阵b的普半径严格小于1。
23:00 🔍矩阵序列的收敛条件和收敛速度：本章介绍了矩阵序列的收敛条件和收敛速度判别法。对于迭代法而言，如果矩阵序列的幂收敛到零矩阵，即底矩阵的谱半径小于1，那么迭代法就是收敛的。同时，可以通过底矩阵的谱半径的大小来判断收敛的快慢。此外，还介绍了雅各比迭代法的收敛性和渐进收敛速度的计算方法。
28:48 💭雅各比迭代法的收敛性判断：雅各比迭代法的格式是负的b的逆乘上L加上U。通过迭代矩阵b的形式判断收敛性，不是系数矩阵a。普半近小于1，方程组的雅各比迭代是收敛的。迭代矩阵b的矩阵范数小于1，迭代是收敛的。迭代的误差估计式包括DK式的误差和相邻两次数值解之间的误差。迭代策略控制误差不超过预设精度。
34:32 📉迭代法的误差估计和收敛性判断：这个章节介绍了迭代法的误差估计和收敛性判断。通过初始误差和迭代次数的关系，可以预测达到预设进度需要的迭代步数。同时，通过计算迭代矩阵的范数，可以判断迭代法是否收敛。如果范数小于1，则迭代法收敛。对于方程组求解的迭代格式，需要通过计算矩阵的范数来判断收敛性。一范数和无穷范数都不能判断，需要使用二范数或普帮金判别法。
40:16 ?迭代法中判断收敛的条件：本章讲述了迭代法中判断收敛的条件。在对称情况下，可以使用普帮金准则来判断收敛；在不对称情况下，计算二范数更麻烦，因此可以直接使用普帮金准则。如果不能通过某种矩阵范数小于1来判断收敛，则可以使用普巴尼判别法。另外，当系数矩阵A为严格对角占优矩阵时，亚克比迭代和高斯塞德尔迭代法都是收敛的。这个条件是充分非必要的，但非常实用。最后，需要注意迭代格式的顺序可能会影响收敛性。

?

第四十三讲

关于数值分析中的线性方程组求解方法的介绍。首先回顾了直接法和迭代法两种解法的基本思想和特征。然后讲解了向量和矩阵的范数以及它们的计算和性质。接着介绍了直接法中的高斯消元法和主元消元法，以及迭代法中的雅可比迭代和高斯赛德尔迭代。最后讲解了条件数的概念和误差分析，以及SOR方法的原理和收敛性判断。这些方法在求解线性方程组时都有不同的适用范围和效率。

00:00 🧮线性代数方程组的解法：本章介绍了线性代数方程组的解法，包括直接法和迭代法。直接法是基于精确解的关系，适用于规模较小的方程组，如高斯消元法和三角分解法。而迭代法是基于近似解的关系，适用于高阶和复杂的方程组，如雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代。此外，还介绍了向量和矩阵的范数，以及矩阵范数的性质和计算方法。要注意矩阵范数与向量范数的相容性，以及算子范数的特点。
06:25 📊高斯消元法和三角分解法：该章节介绍了矩阵的普范进与矩阵范数的关系，以及矩阵范数小于1时的特性。然后详细介绍了高斯消序法的原理和流程，并提到了高斯消序法的条件和计算量。接着讲解了选主元素消远法的原理和选主缘的方法，以及矩阵分解及其在解方程组中的应用。最后介绍了高斯消去法与LU分解的等价性，并提到了直接三角分解法的求解过程。
12:50 🔢高斯顺序消区法与三角分解：视频讲解了高斯顺序消区法对应的三角分解，即将A分解成L乘U的形式。通过矩阵乘法和左边相等的方式求出L和U的元素，进而解出新型方程组。视频还介绍了储烈斯基分解法和改进的储烈斯基分解法，用于解决特殊形式的线性方程组。最后讲解了追反法，适用于三对角矩阵和对称正定矩阵。掌握这些方法和条件，可以高效地解决相应的线性方程组。
19:16 🔀三对角矩阵和迭代法：这个视频讲解了三对角矩阵的三角分解形式和等价消去形式，以及误差分析中条件数的重要性。通过条件数的大小可以判断线性方程组的解是否受小的舍入误差的影响。同时介绍了迭代法的基本思想和判断迭代序列是否收敛的方法。
25:40 🔄雅可比迭代和高斯赛德迭代：本章介绍了迭代公式的建立，包括雅可比迭代和高斯赛德迭代。然后介绍了迭代法的收敛性，引入了矩阵序列和矩阵序列收敛的概念，并用矩阵范数来描述收敛性。根据迭代法基本定理，当B的谱半径小于1时，迭代法收敛。充分判别法和矩阵范数判别法可以用来判断迭代法的收敛性。最后给出了一些满足特定条件的矩阵A的例子。
32:05 🔁雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代：本章介绍了解决线性方程组的迭代法，包括雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代。其中，对角占优是判定迭代法收敛的充分非必要条件之一，还可以通过A是否不可约来判断。定理6.23指出，如果A严格对角占优或不可约弱对角占优，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代对任意初值都收敛。判定迭代法收敛还可以使用普半级判别法和矩阵范数判别法，实践中一般选取1范数或无穷范数。接下来将介绍逐次超松弛迭代法。
38:31 ?迭代法中的松弛法：这个章节讲述了迭代法中的松弛法。松弛法是在每一步迭代的时候，在迭代值的基础上加上一个增量来产生下一次的迭代值。通过选择合适的松弛因子omega，可以加速迭代法的收敛速度。松弛因子的取值可以分为低松弛法（0和1之间）、基础算法（omega等于1）和超松弛法（omega大于1）。松弛法的收敛性判断与迭代矩阵的普半径有关，普半径小于1时松弛法收敛。
44:57 ?松弛法的可逆性和收敛性条件：本章节讲解了松弛法的可逆性和收敛性条件。可逆性主要与系数矩阵D的可逆性有关，如果D可逆，松弛法就是可逆的。收敛性的条件有两个，一是松弛因子ω必须大于0小于2，二是系数矩阵A必须是对称正定的。对于特殊形式的A，如对称正定三对角阵，可以通过计算亚克比迭代的迭代矩阵的普半径的平方来判断收敛性。SOR方法中，最佳松弛因子是指使得收敛速度最快的ω值。

?

第四十四讲

?

介绍了非线性方程的求解方法，重点讲解了二分法。通过对方程的连续性和函数值的判断，可以确定有根区间。利用二分法的迭代过程，不断缩小有根区间，直至满足预设的精度要求，得到近似解。二分法的优点是理论上保证收敛，但收敛速度较慢。因此可以用二分法的迭代值作为其他迭代方法的初始值，提高求解速度。同时需要注意特殊情况，如重根和复根。

00:00 🧩松弛法收敛性判断条件：这个视频介绍了松弛法的收敛性判断条件，以及如何应用这些条件。通过一个具体的例子，展示了线性方程组的系数矩阵满足对称正定和三对角阵条件，从而可以使用雅克比迭代和高斯赛德尔迭代方法进行解法。通过计算迭代矩阵的谱半径，得出最优松弛因子的值，并验证了方法的收敛性。同时比较了不同迭代方法的收敛速度，发现使用最优松弛因子的SOR法收敛速度最快。最后指出可以根据计算的时间和迭代次数来判断方法的收敛速度。
05:27 ??线性方程组迭代格式和松弛法：这一章节介绍了线性方程组的迭代格式和松弛法。迭代格式可以通过引入松弛因子omega来实现松弛化。要使迭代格式收敛，需要满足迭代矩阵的谱半径小于1的条件。为了找到收敛最快的情况，可以通过分析迭代矩阵的谱半径的最大值来确定最优的松弛因子。最终得出结论omega取-1/2时，迭代格式的收敛速度最快。此外，对于对称稳定的矩阵，当松弛因子omega大于0且小于2时，从任意初始解出发的松弛法都是收敛的。
10:52 🔄迭代法的松弛法和逐次超松弛迭代法：这个章节介绍了迭代法中的松弛法和逐次超松弛迭代法。松弛法是在迭代格式中加入一个松弛因子，从而改进迭代的收敛性。逐次超松弛迭代法是基于高斯赛德尔迭代的松弛法，通过寻找最优松弛因子来使迭代矩阵的谱半径最小化，从而提高收敛速度。最优松弛因子的计算公式是存在的，但不需要记忆，考试时会提供。重要的是理解松弛法的思想和基本格式。
16:21 🧩松弛法和非线性方程求解：这个视频讲解了松弛法和非线性方程的求解。松弛法是对高斯赛德尔迭代的加速方法，可以通过加入松弛因子得到对应的松弛法。判断松弛法的敛散性可以使用普班经判别法，迭代矩阵的谱半径小于一则收敛。非线性方程的求解可以分为标量和向量形式，前者是一元函数求根，后者是非线性方程组的求解。非线性方程的求解通常较为困难，尚无统一的解决方案，需要根据具体情况选择迭代法。
21:46 🔍非线性方程的求根问题：在这个视频章节中，讲解了非线性方程的求根问题。首先介绍了非线性方程的精确解即为根，然后解释了对于复杂的非线性方程而言，很难给出解析解的公式。但根据连续函数的性质，可以知道在某个区间内一定存在至少一个根。接着介绍了二分法，即通过对有根区间进行折半搜索，判断根的位置，并不断缩小有根区间的长度，以逼近根的近似解。通过这种方法可以在一定精度范围内求解非线性方程的根。
27:15 ?二分法求解非线性方程：这个视频是关于使用二分法求解非线性方程的方法。通过不断将区间一分为二，并判断根是否存在于区间内，最终找到根的精确值。这个方法的收敛性和停止条件有一定限制，但对于连续函数，总是可以收敛。然而，该方法不能保证根的精度，需要根据函数性质选择合适的方法和参数。
32:41 🔢二分法的原理和应用：本章节讲解了二分法的原理和应用。通过对有根曲线的区间不断二分，可以逼近根的位置，并利用绝对误差估计确定迭代次数，保证达到预设精度。二分法的优点是可以保证收敛，但求解复根和重根时效果不好，且收敛速度较慢。因此，在使用二分法前，最好先观察函数图像，确定初值区间，或者将初值区间分割为若干小区间进行搜索。
38:07 ?使用二分法解决非线性方程：本章介绍了使用二分法解决非线性方程的问题。首先，可以将整个区间分成小区间，每个小区间内可能存在多个根。二分法收敛速度较慢，可以先用二分法找到一个接近真解的数值解，作为其他迭代法的初值来加速收敛。以一个三次多项式求根问题为例，通过理论分析确定有根区间，然后使用二分法进行迭代，根据函数值的正负确定下一个有根区间，循环迭代直到满足精度要求。最终得到的数值解为1.3242。

?

第四十五讲

?

介绍了数值分析中求解线性方程组和非线性方程的两种方法：直接法和迭代法。直接法适用于系数矩阵有特殊形式的问题，如三对角阵或对称矩阵，而迭代法适用于规模较大且无特殊形式的问题。迭代法的基本思路是将原方程转化为x=f(x)的形式，并分析迭代序列的收敛性。简单迭代法是一种常用的迭代方法，其收敛性与迭代函数的性质有关。根据定理，如果迭代函数满足一些条件，并且初始值选取合适，则迭代序列收敛且收敛到非线性方程的根。还介绍了误差估计和收

00:00 🧮线性方程组的求解方法：本章介绍了求解线性方程组的两种方法：直接法和迭代法。直接法适用于系数矩阵有特殊形式的问题，如三对角阵或对称矩阵。迭代法适用于规模较大且没有特殊形式的问题。迭代法需要分析是否收敛，有一些判别法可以使用。此外，还介绍了松石技术，即在迭代法中引入可调整的参数来优化算法。最后，介绍了非线性方程求根的基本方法之一，二分法。非线性方程求根是一个复杂的问题，需要限定求解区间。二分法利用零点原理将区间折半，以区间的终点作为解的序列，从而求解根。
05:57 ?二分法求根原理：这个视频讲解了二分法求根的基本原理和步骤。利用连续函数在闭区间上的性质，通过不断折半的方式找到根的位置。迭代过程中需要判断新的折半区间是哪一个，并通过函数值来确定。终止迭代的条件可以是相邻数值解之间的误差或函数值小于预设精度。二分法的收敛速度较慢，一般作为其他算法的启动程序使用。接下来将介绍求解非线性方程的简单迭代法。
11:58 🔄简单迭代法的基本原理：这个视频讲述了简单迭代法的基本原理和设计方法。通过将非线性方程转化为求不动点的问题，我们可以利用迭代的方式逐步逼近方程的解。迭代过程中，我们以一个初始值开始，将其带入函数中计算得到下一个迭代值，并重复这个操作，直到序列收敛于函数的不动点。只要迭代序列收敛且函数连续，我们就能得到方程的根。简单迭代法是一种逐步逼近的计算方法。
17:58 🔄简单迭代法的构造和效果：这个章节介绍了简单迭代法的基本原理和思路，以及如何判断迭代法是否收敛。同时，通过一个例子展示了如何构造简单迭代法，并给出了多种等价转换的形式。最后，通过迭代格式的效果表格展示了不同迭代函数的结果。
23:57 📊不同迭代格式的收敛性比较：该章节讨论了五种不同的迭代格式，用于求解1~2之间的根。第一种和第二种迭代格式都不收敛，可能会溢出或变成复数。第三种和第四种迭代格式收敛且速度较快，达到同样精度要求的解。第五种迭代格式在k=3时就达到了同样精度要求的解。不同的迭代函数会导致不同的收敛性和收敛速度。因此，需要根据具体的迭代函数来分析其是否收敛以及收敛速度。
29:56 📈迭代法求解非线性方程的收敛条件：本章介绍了迭代法求解非线性方程的收敛条件。首先，迭代函数必须满足对于任意a、b区间内的x，fx仍然在该区间内。其次，存在一个大于等于0且小于1的常数l，使得在区间内任意点x处，fx的一阶导数绝对值都小于等于l。满足这两个条件的任意x0都可以作为初始值进行迭代。
35:58 📈简单迭代法定理及误差估计：这个视频的章节主要讲述了一个简单的迭代法定理。根据定理，当满足条件时，函数f在区间ab上一定存在唯一的不动点，并且通过迭代可以收敛到这个不动点。视频还介绍了误差估计的形式，包括事后误差估计和事前误差估计，并讨论了收敛速度的极限。证明该定理需要证明几个结论，包括不动点的存在和唯一性。具体的证明思路需要在视频中进一步详细说明。
41:56 🔍迭代格式的证明和终止策略：这个视频讲述了一个迭代格式的证明过程。首先介绍了在某个区间内，一阶导数的绝对值小于等于l，然后通过反证法证明了不动点是唯一的。接着证明了迭代序列sk收敛到唯一的不动点，利用迭代格式和微分中值定理推导出了收敛的条件。最后，讨论了误差估计式和迭代终止的策略。可以通过控制l的大小来加快收敛速度，同时通过估计一阶导数的最大值来判断收敛情况。

?

第四十六讲

?

介绍了数值分析中的牛顿迭代法。牛顿迭代法通过对函数进行线性化来逼近函数的根，从而实现快速收敛。视频中还介绍了牛顿迭代法的收敛性和收敛速度，并提到了牛顿下山法和衔接法等改进方法。牛顿迭代法适用于求解非线性方程和方程组，但收敛性和收敛速度与函数性质和初值的选取有关。牛顿迭代法是一种非常有效的算法，但不适用于所有问题。

00:00 🔍迭代方法求解方程的根：视频讲解了如何使用迭代方法求解方程的根。以求根方程fx=x^3-x-1=0在1.5附近的根为例，介绍了迭代方法的思路和条件。通过分析迭代函数的导数值，判断了迭代过程的收敛性。最后，以f4为迭代函数，使用误差估计方法确定了迭代次数。
05:35 🔢确定迭代次数和取值：本章介绍了如何确定迭代次数k和取值x0，以保证迭代误差小于给定的进度，同时讨论了迭代函数的收敛条件和导数值的绝对值关系，以及如何验证局部收敛性。
11:12 🌍局部收敛性和全局收敛性：在这个视频中，讲述了迭代法的局部收敛性和全局收敛性的判断条件。只要迭代函数的一阶导数在某点附近连续且绝对值小于一，就可以得出迭代过程的局部收敛性。全局收敛定理指出，在区间[a,b]中任意取一个初值，迭代过程都会收敛。同时介绍了迭代法的收敛速度，p等于1时为线性收敛，p等于2时为平方收敛，收敛速度越快越好。最后给出了迭代法收敛速度的判据。
16:48 🎯不动点迭代的收敛性判断：视频中介绍了关于不动点迭代的收敛性判断定理。定理指出，如果一个函数在某点处连续可微，并且其各阶导数在该点的值满足一定条件，那么该函数在该点附近的某个领域内是收敛的。然而，该定理只能判断平方阶及以上的整数阶的收敛性。此外，视频还介绍了迭代格式的实现方法和加速思想。
22:27 💨改进迭代序列加速收敛：这个视频中的章节主要介绍了一种通过改进迭代序列来加速收敛的方法。方法的核心是利用简单的加减乘除运算，而不涉及复杂的非线性函数的调用，从而提高计算速度。通过实验可以验证该方法的收敛速度比原始方法更快，但每步计算量略大于原始方法。最后，通过几何图示也说明了该方法为什么能够加速收敛。
28:05 🌀斯特分身加速迭代法：本章介绍了使用斯特分身加速迭代法来加速迭代过程。通过将加速技巧与不动点迭代结合，得到了一般的四分身迭代法。通过线性差值和求解方程，可以将误差逐步推到零，加速不动点迭代。并给出了局部收敛性定理和收敛速度。举了一个例子来说明通过斯特分身加速可以使原本发散的迭代法收敛，并提高收敛速度。介绍了斯特分身加速迭代法的优势和应用。
33:43 🔧牛顿迭代法求解非线性方程：牛顿迭代法是一种求解非线性方程的有效方法，通过线性化非线性函数，用线性函数和x轴交点作为下一个迭代值，反复逼近目标值。对于单根，收敛速度可达二阶；对于重根，收敛速度为线性。初值选取和函数性质对收敛性有影响。牛顿迭代法也适用于求解非线性方程组。在实践中被广泛应用，但需要注意避免除以过小的导数或过大的雅克比矩阵。牛顿迭代法是一类高效的求解非线性方程的算法。
39:18 ??牛顿下山法的改进方法：这个章节介绍了牛顿下山法的改进方法，通过微调牛顿迭代法来实现局部优化。牛顿下山法在牛顿迭代法的基础上引入了一个控制因子，目标是让每次迭代后的函数绝对值减小。下山因子可以通过折半的方式来调整，以满足下山条件。牛顿下山法是牛顿法与下山法的结合，对于重根的情况，牛顿迭代法的收敛速度较慢，可以通过修改迭代函数来加速收敛速度。另外，章节还介绍了衔接法，它是牛顿迭代法的近似方法，通过割线斜率替代切线斜率来得到下一个迭代值。衔接法是一个两步迭代法，收敛速度稍慢，但收敛性与初始值有关。迭代法的选择应根据函数性质和初始值来确定。

?

?