[足式机器人]Part2 Dr. CAN学习笔记-数学基础Ch0-7欧拉公式的证明

2023-12-14 05:06:23

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Dr. CAN学习笔记-数学基础Ch0-7欧拉公式的证明

e i θ = cos ? θ + sin ? θ i , i = ? 1 e^{i\theta}=\cos \theta +\sin \theta i,i=\sqrt{-1} eiθ=cosθ+sinθi,i=?1 ?
证明：
f ( θ ) = e i θ cos ? θ + sin ? θ i f ′ ( θ ) = i e i θ ( cos ? θ + sin ? θ i ) ? e i θ ( ? sin ? θ + cos ? θ i ) ( cos ? θ + sin ? θ i ) 2 = 0 ? f ( θ ) = c o n s tan ? t f ( θ ) = f ( 0 ) = e i 0 cos ? 0 + sin ? 0 i = 1 ? e i θ cos ? θ + sin ? θ i = 1 ? e i θ = cos ? θ + sin ? θ i f\left( \theta \right) =\frac{e^{i\theta}}{\cos \theta +\sin \theta i} \\ f^{\prime}\left( \theta \right) =\frac{ie^{i\theta}\left( \cos \theta +\sin \theta i \right) -e^{i\theta}\left( -\sin \theta +\cos \theta i \right)}{\left( \cos \theta +\sin \theta i \right) ^2}=0 \\ \Rightarrow f\left( \theta \right) =\mathrm{cons}\tan\mathrm{t} \\ f\left( \theta \right) =f\left( 0 \right) =\frac{e^{i0}}{\cos 0+\sin 0i}=1\Rightarrow \frac{e^{i\theta}}{\cos \theta +\sin \theta i}=1 \\ \Rightarrow e^{i\theta}=\cos \theta +\sin \theta i f(θ)=cosθ+sinθieiθ?f′(θ)=(cosθ+sinθi)2ieiθ(cosθ+sinθi)?eiθ(?sinθ+cosθi)?=0?f(θ)=constantf(θ)=f(0)=cos0+sin0iei0?=1?cosθ+sinθieiθ?=1?eiθ=cosθ+sinθi

求解： sin ? x = 2 \sin x=2 sinx=2
令： sin ? z = 2 = c , z ∈ C \sin z=2=c,z\in \mathbb{C} sinz=2=c,z∈C
{ e i z = cos ? z + sin ? z i e i ( ? z ) = cos ? z ? sin ? z i ? e i z ? e ? i z = 2 sin ? z i \begin{cases} e^{iz}=\cos z+\sin zi\\ e^{i\left( -z \right)}=\cos z-\sin zi\\ \end{cases}\Rightarrow e^{iz}-e^{-iz}=2\sin zi {eiz=cosz+sinziei(?z)=cosz?sinzi??eiz?e?iz=2sinzi
∴ sin ? z = e i z ? e ? i z 2 i = c ? e a i ? b ? e b ? a i 2 i = e a i e ? b ? e b e ? a i 2 i = c \therefore \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=c\Rightarrow \frac{e^{ai-b}-e^{b-ai}}{2i}=\frac{e^{ai}e^{-b}-e^be^{-ai}}{2i}=c ∴sinz=2ieiz?e?iz?=c?2ieai?b?eb?ai?=2ieaie?b?ebe?ai?=c
且有： { e i a = cos ? a + sin ? a i e i ( ? a ) = cos ? a ? sin ? a i \begin{cases} e^{ia}=\cos a+\sin ai\\ e^{i\left( -a \right)}=\cos a-\sin ai\\ \end{cases} {eia=cosa+sinaiei(?a)=cosa?sinai?
? e ? b ( cos ? a + sin ? a i ) ? e b ( cos ? a ? sin ? a i ) 2 i = ( e ? b ? e b ) cos ? a ? ( e ? b + e b ) sin ? a i 2 i = c ? 1 2 ( e b ? e ? b ) cos ? a i + 1 2 ( e ? b + e b ) sin ? a = c = c + 0 i \Rightarrow \frac{e^{-b}\left( \cos a+\sin ai \right) -e^b\left( \cos a-\sin ai \right)}{2i}=\frac{\left( e^{-b}-e^b \right) \cos a-\left( e^{-b}+e^b \right) \sin ai}{2i}=c \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left( e^b-e^{-b} \right) \cos ai+\frac{1}{2}\left( e^{-b}+e^b \right) \sin a=c=c+0i ?2ie?b(cosa+sinai)?eb(cosa?sinai)?=2i(e?b?eb)cosa?(e?b+eb)sinai?=c?21?(eb?e?b)cosai+21?(e?b+eb)sina=c=c+0i
? { 1 2 ( e ? b + e b ) sin ? a = c 1 2 ( e b ? e ? b ) cos ? a = 0 \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{2}\left( e^{-b}+e^b \right) \sin a=c\\ \frac{1}{2}\left( e^b-e^{-b} \right) \cos a=0\\ \end{cases} ?{21?(e?b+eb)sina=c21?(eb?e?b)cosa=0?

  • 当 b = 0 b=0 b=0 时， sin ? a = c \sin a=c sina=c 不成立（所设 a , b ∈ R a,b\in \mathbb{R} a,b∈R）
  • 当 cos ? a = 0 \cos a=0 cosa=0 时， 1 2 ( e ? b + e b ) = ± c ? 1 + e 2 b ± 2 c e b = 0 \frac{1}{2}\left( e^{-b}+e^b \right) =\pm c\Rightarrow 1+e^{2b}\pm 2ce^b=0 21?(e?b+eb)=±c?1+e2b±2ceb=0
    设 u = e b > 0 u=e^b>0 u=eb>0 ，则有： u = ± c ± c 2 ? 1 u=\pm c\pm \sqrt{c^2-1} u=±c±c2?1 ?
    ∴ b = ln ? ( c ± c 2 ? 1 ) \therefore b=\ln \left( c\pm \sqrt{c^2-1} \right) ∴b=ln(c±c2?1 ?)
    ? z = π 2 + 2 k π + ln ? ( c ± c 2 ? 1 ) i = π 2 + 2 k π + ln ? ( 2 ± 3 ) i \Rightarrow z=\frac{\pi}{2}+2k\pi +\ln \left( c\pm \sqrt{c^2-1} \right) i=\frac{\pi}{2}+2k\pi +\ln \left( 2\pm \sqrt{3} \right) i ?z=2π?+2kπ+ln(c±c2?1 ?)i=2π?+2kπ+ln(2±3 ?)i

文章来源:https://blog.csdn.net/LiongLoure/article/details/134853422
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