【数据结构——图】图的最短路径（头歌习题）【合集】

第1关：单源最短路径

给一个n(1 ≤ n ≤ 2500) 个点 m(1 ≤ m ≤ 6200) 条边的无向图，求 s 到 t 的最短路。

输入格式:
第一行四个由空格隔开的整数 n、m、s、t。

之后的 m 行，每行三个正整数 s_i 、t_i 、w_i (1≤w_i ≤10⁹ )，表示一条从s_i到 t_i 长度为 w_i 的边。

输出格式:
一个整数，表示从s 到t 的最短路径长度。数据保证至少存在一条道路。

输入样例:
7 11 5 4
2 4 2
1 4 3
7 2 2
3 4 3
5 7 5
7 3 3
6 1 1
6 3 4
2 4 3
5 6 3
7 2 1

输出样例:
7

注意:
两个顶点之间可能存在多条直接相连的道路。

完整代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>

using namespace std;

const int INF = INT_MAX;

struct Edge {
    int to, weight;
};

struct MatGraph {
    vector<vector<Edge>> graph;
};

int getMinDistNode(const vector<int>& dist, const vector<bool>& visited) {
    int minDist = INF;
    int minNode = -1;
    for (int i = 0; i < dist.size(); i++) {
        if (!visited[i] && dist[i] < minDist) {
            minDist = dist[i];
            minNode = i;
        }
    }
    return minNode;
}

void Dijkstra(MatGraph* G, int v, int t) {
    int n = G->graph.size() - 1; // 图的节点数
    vector<int> dist(n + 1, INF); // 存储起点 v 到每个点的最短距离
    vector<bool> visited(n + 1, false); // 标记节点是否已经被访问过
    dist[v] = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int u = getMinDistNode(dist, visited);
        if (u == -1) {
            break;
        }
        visited[u] = true;

        for (auto e : G->graph[u]) {
            int v = e.to;
            int weight = e.weight;
            if (!visited[v] && dist[u] + weight < dist[v]) {
                dist[v] = dist[u] + weight;
            }
        }
    }

    cout << dist[t] << endl;
}

int main() {
    int n, m, s, t;
    cin >> n >> m >> s >> t;

    MatGraph G;
    G.graph.resize(n + 1);

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        G.graph[u].push_back({v, w});
        G.graph[v].push_back({u, w});
    }

    Dijkstra(&G, s, t);

    return 0;
}

第2关：多源最短路径

在带权有向图G中，求G中的任意一对顶点间的最短路径问题，也是十分常见的一种问题。

解决这个问题的一个方法是执行n次迪杰斯特拉算法，这样就可以求出每一对顶点间的最短路径，执行的时间复杂度为O(n³ )。
而另一种算法是由弗洛伊德提出的，时间复杂度同样是O(n³ )，但算法的形式简单很多。

在本题中，读入一个有向图的带权邻接矩阵（即数组表示），建立有向图并使用Floyd算法求出每一对顶点间的最短路径长度。

输入格式:

输入的第一行包含1个正整数n，表示图中共有n个顶点。其中n不超过50。

以后的n行中每行有n个用空格隔开的整数。对于第i行的第j个整数，如果大于0，则表示第i个顶点有指向第j个顶点的有向边，且权值为对应的整数值；如果这个整数为0，则表示没有i指向j的有向边。
当i和j相等的时候，保证对应的整数为0。

输出格式:

共有n行，每行有n个整数，表示源点至每一个顶点的最短路径长度。

如果不存在从源点至相应顶点的路径，输出-1。对于某个顶点到其本身的最短路径长度，输出0。

请在每个整数后输出一个空格，并请注意行尾输出换行。

输入样例:
4
0 3 0 1
0 0 4 0
2 0 0 0
0 0 1 0

输出样例:
0 3 2 1
6 0 4 7
2 5 0 3
3 6 1 0

完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define INF 1e9
#define MAXN 100

typedef struct {
    int mat[MAXN][MAXN];
    int n;
} MatGraph;

void Floyd(MatGraph* g) {
    // 初始化距离矩阵
    int n = g->n;
    int dist[MAXN][MAXN];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (i == j) {
                dist[i][j] = 0;
            } else if (g->mat[i][j] > 0) {
                dist[i][j] = g->mat[i][j];
            } else {
                dist[i][j] = INF;
            }
        }
    }

    // 使用 Floyd 算法计算最短路径长度
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF && dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                }
            }
        }
    }

    // 输出最短路径长度
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (dist[i][j] == INF) {
                printf("-1 ");
            } else {
                printf("%d ", dist[i][j]);
            }
        }
        printf("\n");
    }
}

int main() {
    MatGraph g;

    scanf("%d", &g.n);

    for (int i = 0; i < g.n; i++) {
        for (int j = 0; j < g.n; j++) {
            scanf("%d", &g.mat[i][j]);
        }
    }

    Floyd(&g);

    return 0;
}