【强化学习的数学原理-赵世钰】课程笔记（三）贝尔曼最优公式
目录
七.收缩映射定理（Contraction mapping theorem）
十.分析最优策略（Analyzing optimal policies）
一.内容概述
1. 第三章主要有两个内容
- 核心概念：最优状态值（optimal state value）和最优策略（optimal policy），强化学习的目的就是寻找最优策略
- 基本工具：贝尔曼最优方程/公式（Bellman optimality equation）（BOE）
2. 第二章大纲
（1）激励性实例（Motivating examples）
（2）最优状态值（optimal state value）和最优策略（optimal policy）的定义
（3）贝尔曼最优公式（BOE）：简介
（4）贝尔曼最优公式（BOE）：右侧最大化
（5）贝尔曼最优公式（BOE）：改写为 v = f(v)
（6）收缩映射定理（Contraction mapping theorem）
（7）贝尔曼最优公式（BOE）：解决方案
（8）贝尔曼最优公式（BOE）：解的最优性
（9）分析最优策略（Analyzing optimal policies）
二.激励性实例（Motivating examples）
绿色箭头代表策略 Π
贝尔曼公式：
状态值（state value）： 设 γ = 0.9。那么可以计算出：
动作值（action value）：考虑 s1，s1共有 5 个 action ，每个 action 都有一个 state value?
问题： 当前的策略（policy）不好，因为在 s1 的时候往右走了，进入禁区，那么如何改进？
答案： 我们可以根据动作值（action value）改进策略（policy）。
具体来说，当前策略 π(a|s1) 是
观察我们刚才获得的动作值（action value）：
我们发现 a3 对应的动作值（action value）最大，那么能不能选择 a3 作为一个新的策略呢。如果我们选择最大的动作值（action value）呢？那么，新策略（policy）就是：
问题：为什么选择 action value 最大的 action 这样做能改进策略？
- 直觉：动作值（action value）可用于评估动作，动作值本身就代表了 action 的价值，如果选择一个 action ，他的 action value 很大，意味着之后能得到更多的 reward，相应策略也比较好。
- 数学：并不复杂，将在本讲座中介绍。
- 只要我们一遍一遍去做，不断迭代，对每个状态都选择 action value 最大的 action ，最后一定会得到一个最优策略。
三.最优策略（optimal policy）的定义
状态值（state value）可用于评估策略好或者不好：如果有两个策略 π1 和?π2，它们在每个状态都有自己的状态值（state value），如果对所有的状态 s ，π1 得到的?state value 都大于?π2?得到的?state value，则 π1 比 π2 "更好"。
定义：如果对于所有状态 s ，策略?π? 得到的状态值（state value）相比任何其他策略?π 得到的状态值（state value）都要大，即?v_π? (s) ≥ v_π(s)，则策略?π? 是最优的。
这个定义引出了许多问题：
- 最优策略是否存在？因为定义里的最优策略非常理想，它比其他所有策略都要好，并且在所有状态上都能打败其它策略，那么是否存在这样的情况，最优策略在某些状态上能打败其它的策略，但是在某些状态上没法打败。
- 最优策略是唯一的吗？
- 最优策略是随机的（stochastic）还是确定的（deterministic）？
- 如何获得最优策略？
为了回答这些问题，我们研究了贝尔曼最优方程。
四.贝尔曼最优公式（BOE）：简介
贝尔曼公式：（π(a|s) 是给定已知的，依赖于一个给定的 π）
?贝尔曼最优方程（元素形式）：Bellman optimality equation (elementwise form)：
在贝尔曼公式前面加上了 max_π，这时候?π 就不再是给定的了，需要求解计算
方程中已知与未知的值：p(r|s, a), p(s’?|s, a), r, γ 已知；v(s), v(s‘?) 未知；π(s) 未知
贝尔曼最优方程（矩阵向量形式）Bellman optimality equation (matrix-vector form)：也是在上一章（第二章）讲的贝尔曼方程的矩阵向量形式前面加上了max_π
其中与 s 或 s' 对应的元素是
这里的 max_π 是以元素为单位进行的。
贝尔曼最优方程（BOE）既棘手又优雅！
- 为什么优雅？它以一种优雅的方式描述了最优策略（optimal policy）和最优状态值（optimal state value）。
- 为什么棘手？因为公式右侧有一个求最大化的最优问题，而如何计算这个最大化可能并不简单。
本课程将回答以下所有问题：
- 算法：如何求解这个方程？
- 存在性：这个方程有解吗？
- 唯一性：这个方程的解是否唯一？
- 最优性（Optimality）：它与最优策略（optimal policy）有何关系？
五.贝尔曼最优公式（BOE）：公式右侧求最大化的最优问题
在贝尔曼最优公式（BOE）中，有一个式子，却有两个未知量（状态值 v 和策略 π），如何求解呢？看如下例子：
Regardless the value of x：无论 x 的值是多少。这里的意思是（2x-1-a**）整体最大，所以（-a**）就得取最小。因为a的平方一定大于等于0，因此减去a的平方的那个数想要最大，必须要让a最小，a=0。
根据上面的例子得到启发，可以求解贝尔曼最优公式：
- 最初的方程中已知与未知的值：p(r|s, a), p(s’?|s, a), r, γ 已知；v(s), v(s‘?) 未知；π(s) 未知
- 固定 v(s') 并求解?π，即给出 v(s') 的一个初始值，把初始值给定后，v(s') 变成已知的，第一行的大括号内部写成 q(s,a)，是已知的。下面要做的是把?π(a|s) 确定下来。
- 这里其实有多个 a，在网格世界中有 5 个 a，q(s, a1)，q(s, a2)，q(s, a3)，q(s, a4)，q(s, a5)
- 为了求解上述问题，再给出一个例子，假如已知三个 q 值，要解决的问题是求解三个系数或者叫三个权重，使得下面的目标函数（object function）达到最大
- 系数和权重应该满足和为 1 ，并且每个值都大于等于 0，之所以有这样的约束，是因为这个例子里面的系数对应上面的概率?π(a|s) ，概率?π 满足这样的性质
- 假设 q3 是最大的，最优解是 c3* = 1，c1*=c2*=0
- 下面这个例子的思路可以用在求解贝尔曼最优公式当中
- 通过上面的例子，我们就知道了如果右边的?q(s,a) 确定了，如何求解最优的?π(a|s)，最后的结果就是右边这一项的最优值等于最大的?q(s,a) 值，这里?π(a|s) 的选取应该是对于 a* 等于 1，不是 a* 等于 0，这里 a* 对应最大的 q 值的 action，即 q(s，a*) 是所有 a 的取值里最大的
六.贝尔曼最优公式（BOE）：改写为 v = f(v)
可以把等式右侧写成一个函数 f(v)，之所以这样是因为求解等式右侧最大值 max_π 的方法是先固定 v ，就可以求出一个?π，至于这个?π 是什么样子，最后得到的最优值是什么我们不用太关心，我们知道他肯定是 v 的一个函数
这样的话贝尔曼最优公式就化成了：
这里面的 f(v) 是一个向量，在这个向量中对应状态 s 的元素是
下面我们求解贝尔曼最优公式就求解 v = f(v) 即可
七.收缩映射定理（Contraction mapping theorem）
在求解 v = f(v) 之前，先介绍一个??Contraction mapping theorem，
一些概念：
- 不动点（Fixed point）：点 x 属于集合 X，f 是一个映射（或者叫函数），如果满足 f(x) = x，则 x 就被称为一个不动点
- 收缩映射Contraction mapping（或收缩函数contractive function）（mapping 和 function其实是一回事）：f 是收缩映射（contraction mapping），如果满足：
考虑一个一维的例子：
给一些例子解释上面的概念
Contraction mapping theorem定理：
对于任何形式为 x = f(x) 的方程，如果 f 是收缩映射，那么满足
- 存在性：存在一个满足 f(x*) = x* 的不动点（fixed point） x*。我们不太关心 f 的表达式究竟是什么，只只要它是一个?Contraction mapping，就一定存在一个不动点（fixed point）满足 f(x*) = x*
- 唯一性：不动点（fixed point） x* 是唯一存在的
- 算法（求解这样的一个不动点（fixed point）的算法）： 考虑一个序列 {xk}，其中 xk+1 = f(xk) （迭代算法），则当?k → ∞ 时，?xk → x*（即 xk 会收敛到 x*） 。此外，收敛速度是指数级的，非常快。（先给一个 x0，x1=f(x0) 求出 x1；再用 x2=f(x1)求出 x2，以此类推，求出的?xk 会收敛到 x*）
例子：
八.贝尔曼最优公式（BOE）：解决方案?
1.介绍
让我们再回到贝尔曼最优方程：v = f(v)，这个就是 Contraction mapping 要解决的那一类问题
为了应用?Contraction mapping theorem ，我们首先要证明贝尔曼最优公式里面的 f(v) 是一个?Contraction mapping：（下面定理的证明可以看赵老师写的书，这里不再详细介绍）
我们知道了 f(v) 是一个?Contraction mapping，那么贝尔曼最优公式就可以立刻用收缩映射定理（Contraction mapping theorem）来求解出来，可以得到以下结果：
重要：（1）中的算法称为值迭代算法。我们将在下一讲对其进行分析！本讲座更侧重于基本性质。
下面详细解析一下由?Contraction mapping theorem 给出的迭代算法：
迭代算法矩阵向量形式（Matrix-vector form）：
化成元素形式（Elementwise form）：即对于某一个具体的 s 状态这个算法是怎么运行的
下面再详细总结一下这个过程（Procedure summary）：
- 对某一状态 s，即当前我们对解 v*(s) 有一个估计，这个估计是 v_k(s)，最开始可以是 v_0(s)，这个可以是任意的一个值
- 对这个状态 s 下的每一个 action，求解 q_k(s,a)
- 计算 s 的贪婪策略 πk+1 如下：基于?q_k(s,a) 我们得到一个新的策略，这个策略是?π_k+1(a|s) 会选择最大的 q_k(s,a) 对应的 a_k*（与第五部分思想一样）
- 计算 v_k+1(s) = max_a q_k(s, a)
上述算法实际上就是下一讲中讨论的值迭代算法（value iteration algorithm）。
2.例子
举例说明： 手动解决 BOE 问题。
- 为什么要手动？可以更好地理解。
- 为什么例子这么简单？可以手动计算。
动作：a_l、a_0、a_r 代表向左走、保持不变、向右走。
奖励：进入目标区域： +1；尝试走出边界：-1；其他：0
q(s, a) 的值（建立 q-value 的一个表 table）（这里的 q 是第五部分那个非常长的一串可以缩写成这样的一个 q）
考虑 γ = 0.9
我们的目标是找到 v*(s_i) 和?π*（此时我们还没有将 v* 和 π*究竟是什么，我们只知道它是能够求解出贝尔曼最优公式对应的值和策略，之后我们会知道它们就是最优的状态值 state value 和最优的策略）
这个策略已经不错了，画出图后发现可以到达目标状态，已经达到了最优策略，但是 v 还没有达到贝尔曼最优公式的最优的解，所以还要继续迭代算下去，在考虑下一个 interation
可以无限迭代下去，如果要编程实现，可以写一个迭代终止条件，两者之差若小于一个很小的数字，我们任务再去迭代也没什么太大变化了，可以停下，认为 v_k 达到了贝尔曼最优公式的解
九.贝尔曼最优公式（BOE）：解的最优性
假设 v* 是贝尔曼最优方程（BOE）的解，可以用刚才介绍的算法求解出来。它满足：
假设：
π* 是对应 v* 的一个最优的策略，也就是把 v* 固定住，可以求解出来一个?π ，这个?π 我们用?π*? 来表示，那么把公式 2 代入公式 1，公式 1 可以化成下面的式子，也就是把前面的 max_π 去掉了，把它改成了?π*?
上面的公式 3 其实就是一个贝尔曼公式，因为贝尔曼公式一定是对应一个策略，那么上式就是对应?π* 的一个贝尔曼公式，这里的 v* = v_?π*，也就是?π* 对应的 state value，所以贝尔曼最优公式是一个特殊的贝尔曼公式，贝尔曼最优公式中对应的策略笔记特殊，是一个最优的策略
那么这个策略究竟是不是最优的，这个 state value? v* = v_?π* 是不是最大的，下面的结论可以来证明：（只给结论，具体证明看书）
对于贝尔曼最优公式的解?v*，它是最大的 state value，对于任何一个其他的策略（policy）π，所得到的状态值（state value）v_?π 都没有?v* 大。那么相应的?π* 肯定是一个最优的策略，因为?π* 所对应的?v* 就是?v_?π*，它对应的?state value 达到最大。
现在我们明白为什么要研究贝尔曼最优公式（BOE）了。这是因为它描述了最优状态值（optimal state value）和最优策略（optimal policy）。
那么?π* 长什么样子？之前讲过，我们应该不陌生
十.分析最优策略（Analyzing optimal policies）
哪些因素决定了最优策略（optimal policy）？
从下面的贝尔曼最优公式（BOE）可以清晰地看到：
我们要做的是求出黑色字体的变量，它们分别对应了最优的策略和最优的 state value ；我们已知的是这些红色字体的变量，它们分别对应了概率，这个概率就代表了系统的模型；r 是我们设计的奖励（reward）；γ 是折扣因子。
求解贝尔曼最优公式就是在已知红色的量的时候求出黑色的量，那么显然最优的策略和最优的 state value 就是由这些红色的量来决定
接下来，我们用实例来说明当我们改变 r 和 γ 的时候，最优策略会发生什么样的改变（因为系统模型一般很难改变，所以我们不考虑这个）
举例：
通过求解贝尔曼最优公式（BOE），可以得到最优策略（左图绿色箭头）和相应的最优状态值（state value）（右图格子上的数字）。
观察最优策略可以看出，最优策略没有绕开禁区（forbidden area），因为它发现进入禁区虽然暂时得到一个负数的惩罚，但是从长远来看我进入禁区到达目标所得到的回报（return）比绕一大圈再到达目标获得的回报（return）更大。最优策略敢于冒险：进入禁区！！
如果我们将 γ = 0.9 改为 γ = 0.5（其他参数不变，即设计的奖励 r 不变）
由左图绿色箭头可以看出，最优策略已经发生改变，(a) 的最优策略是进入禁区到达目标，而 (b) 的最优策略是绕一大圈到达目标，因为它衡量发现绕一大圈再到达目标获得的回报（return）比进入禁区到达目标所得到的回报（return）更大。最优策略变得目光短浅！避开所有禁区！
之所以这样是因为当?γ 比较大的时候，智能体比较远视，它会比较重视未来的 reward；当?γ 比较小的时候，智能体比较近视，return 里所得到的值的大小主要由近期所得到的?reward 来决定，?γ 比较小它的幂次方就小，未来的 reward 会被打折的很厉害
如果我们将 γ 改为 0
最优策略变得极其短视！同时，只选择即时奖励（immediate reward）最大的动作！从很多状态出发根本无法达到目标！
如果我们在进入禁区时加大惩罚力度（γ = 0.9）
最优策略也绕开了禁区
如果我们改变 r → ar + b，会怎样呢？
例如：（给所有 r 全部 +1）
最优策略保持不变！因为重要的不是奖励的绝对值（absolute reward values）！而是它们的相对值（relative values）！
证明：
举例：
毫无意义的绕行？
通过求解贝尔曼最优公式可以得到图 (a) 左图的最优策略（绿色箭头）和右图的最优状态值（optimal state value）
(a) 中的策略是最优的，(b) 中的策略不是。
问题：为什么最优策略不是（b）？为什么最优策略不走毫无意义的弯路？我们定义从一个白色格子到另一个白色格子的 r=0，即走弯路不会受到惩罚。那么为什么最优策略不走毫无意义的弯路？
答案：因为折扣因子 γ
由上面的例子得到的启发：在设计 reward 的时候，很多人可能会觉得每走一步应该给一个惩罚 r=-1，r=-1 代表能量的消耗，这样它就不会绕远路，就会尽可能走最短的路径到达目标，如果 r=0，没有 r=-1 好像就会绕远路，其实不是这样的，因为除了 r 来约束它不要绕远路之外，还有 γ，因为越绕远路我们得到到达目标的奖励越晚，越晚那时候对应的 γ 的次方越小，奖励打折会很厉害，所有它自然会找一个最短的路径过去
十一.总结
有关贝尔曼最优方程的问题：
- 存在性：这个方程有解吗？
- - 有，根据收缩映射定理
- 唯一性：这个方程的解是否唯一？
- - 是，根据收缩映射定理（最优状态值 optimal state value 这个解是唯一的，但是对应 optimal state value 的最优策略 π 不一定是唯一的）
- 算法：如何求解这个方程，如何求解最优策略和最优解？
- - 根据收缩映射定理提出的迭代算法
- 最优性：我们为什么要研究这个方程
- - 因为贝尔曼最优公式的解对应于最优状态值（state value）和最优策略（opyimal policy）
最后，我们明白了研究BOE的重要性！
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