二叉搜索树的简单理解

1. 二叉搜索树

????????二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值

若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值

它的左右子树也分别为二叉搜索树

? ? ? ? 如下图所示，就是一个简单的二叉搜索树，且存储的数据为：

????????int[] array ={5,3,4,1,7,8,2,6,0,9};

2.?二叉搜索树的实现

2.1 二叉搜索树的创建

? ? ? ? 简单创建一个二叉树；

package binarysearchtree;

public class BinarySearchTree0 {
    static class TreeNode{
        public int value;
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;

        public TreeNode(int value){
            this.value = value;
        }
    }
}

2.2 查找关键字key

? ? ? ? 思路如下：

1、若根节点不为空：

????????1.1如果根节点value==查找key，返回true

? ? ? ? 1.2如果根节点value?> 查找key，在其左子树查找

? ? ? ? 1.3如果根节点value< 查找key，在其右子树查找，如果找不到，返回false

2、如果根节点为空，则返回false；以下为分析图解：

? ? ? ? 代码实现：

 public TreeNode root ;//根节点
    public boolean findKey(int key){
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null){
            if (cur.value == key){
                return true;
            }else if (key > cur.value){
                cur = cur.right;
            }else {
                cur = cur.left;
            }
        }
            return false;
    }

?2.3?插入关键字key的节点

? ? ? ? 思路：

????????插入操作可以分为以下两种情况：

1. 如果树为空树，即根 == null，直接插入

? ? ? ??

????????2.如果树不是空树，按照查找逻辑确定插入位置，插入新结点

? ? ? ? 下图举个例子来分析：

? ? ? ? 总体分析：

? ? ? ? 1、先确定节点左右移动的方向?

• 如果节点root.value==key，该值在搜索数中已经存在，无需插入，return flase;
• 如果节点root.value>key，在其左子树找合适位置
• 如果节点root.value<key，在其右子树找合适位置

? ? ? ? 2、引入parent，该节点定义为与key值最后比较之后，接下来要进行插入节点操作的节点；

• 如果节点parrent.value>key，新建key节点插在parent的左边
• 如果节点parrent.value<key，新建key节点插在parent的右边

? ? ? ? 代码如下图所示：

  public void insertkey(int key) {
        if(root == null) {
            root = new TreeNode(key);
            return;
        }
        TreeNode cur = root;
        TreeNode parent = null;
        while (cur != null) {
            if (key == cur.value) {
                return ;
            } else if (key < cur.value) {
                parent = cur;
                cur = cur.left;
            } else {
                parent = cur;
                cur = cur.right;
            }
        }
        TreeNode node = new TreeNode(key);
        if (key < parent.value) {
            parent.left = node;
        } else {
            parent.right = node;
        }
    }

?2.4删除关键字key

? ? ? ? 假设要删除的结点为 cur, 待删除结点的双亲结点为 parent，我们分以下四种情况来分析：

????????1.?cur.left == null

? ? ? ? 1.1?cur?是?root?，则?root = cur.right（图解如下）

? ? ? ? ?

? ? ? ? 1.2 cur?不是?root，cur?是?parent.left，则?parent.left = cur.right

? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? 1.3?cur?不是?root，cur?是?parent.right，则?parent.right = cur.right

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

????????2. cur.right == null（下面的三种情况与1截然相反，此处略）
????????2.1? cur 是 root ，则 root = cur.left
? ? ? ? 2.2? cur 不是 root ， cur 是 parent.left ，则 parent.left = cur.left
? ? ? ? 2.3??cur 不是 root ， cur 是 parent.right ，则 parent.right = cur.left

????????3.?cur.left != null && cur.right != null

? ? ? ? 思路：

我们使用target来遍历寻找子树中关键节点，targetParent用来记录target的父亲节点

找到相应节点后与待删除的cur节点的值进行替换，最后删除target结点即可

? ? ? ? 详细的图解思路如下所示：

?

????????4.cur左右孩子均不存在

? ? ? ? 直接置为null；

????????综上所述，代码实现：

    public void remove(int val) {
        TreeNode cur = root;
        TreeNode parent = null;
        while (cur != null) {
            if (val == cur.val) {
                removeNode(parent, cur);
                break;
            } else if (val < cur.val) {
                parent = cur;
                cur = cur.left;
            } else {
                parent = cur;
                cur = cur.right;
            }
        }
    }
 
    private void removeNode(TreeNode parent, TreeNode cur) {
        if (cur.left==null){
            if(cur==root){
                root=cur.right;
            }else if(parent.left==cur){
                parent.left=cur.right;
            }else{
                parent.right=cur.right;
            }
        } else if (cur.right==null) {
            if(cur==root){
                root=cur.left;
            }else if(parent.left==cur){
                parent.left=cur.left;
            }else{
                parent.right=cur.left;
            }
        }else{
            TreeNode target = cur.right;
            TreeNode targetParent = cur;
            while(target.left!=null){
                targetParent = target;
                target = target.left;
            }
             cur.val=target.val;
            if(targetParent.left==target){
                targetParent.left=target.right;
            }else{
                targetParent.right=target.right;
            }
        }
    }

3. 二叉搜索树性能分析

????????插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。

????????对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。

????????但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

????????最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为：log (2^n)

????????最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为：N/2

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