AcWing算法提高课-1.4.1大盗阿福

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题目描述

阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。

这条街上一共有 $n$ 家店铺，每家店中都有一些现金。

阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。

作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。

他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？

输入格式

输入的第一行是一个整数 $T$，表示一共有 $T$ 组数据。

接下来的每组数据，第一行是一个整数 $n$ ，表示一共有 $n$ 家店铺。

第二行是 $n$ 个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。

每家店铺中的现金数量均不超过 $1000$。

输出格式

对于每组数据，输出一行。

该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。

数据范围

$1\le T\le 50$,
$1\le n\le 10^5$

输入样例：

2
3
1 8 2
4
10 7 6 14

输出样例：

8
24

样例解释

对于第一组样例，阿福选择第 $2$ 家店铺行窃，获得的现金数量为 $8$。

对于第二组样例，阿福选择第 $1$ 和 $4$ 家店铺行窃，获得的现金数量为 $10+14=24$。

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思路

本题为DP问题，可以使用 闫氏DP分析法 解题。

DP：

• 状态表示 $f_{i,0/1}$：
  • 集合：考虑前 $i$ 个店铺，【选择 $(1)$ | 不选择 $(0)$】 第 $i$ 个店铺
  • 属性：$\max$
• 状态计算：
  • 观察下面状态机，我们发现：
  • 状态 $f_{i,0}$ 可以由状态 $f_{i?1,0}$ 和 $f_{i?1,1}$ 转移。
  • 因此 f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
  • 状态 $f_{i,1}$ 可以由状态 $f_{i?1,0}$ 通过 $+w_i$ 转移。
  • 因此 f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];

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算法时间复杂度

$O(n)$ 级别的状态，$O(1)$ 时间转移，所以复杂度 $O(n)$。

AC Code

$\text{C}++$

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, T;
int a[N], f[N][2];

int main()
{
	scanf("%d", &T);
	while (T -- )
	{
		scanf("%d", &n);
		for (int i = 1; i <= n; i ++ )
			scanf("%d", &a[i]);
		
		f[0][0] = 0, f[0][1] = -1e9; // 赋极小值为初值
		for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		{
			f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
			f[i][1] = f[i - 1][0] + a[i];
		}
		
		int res = max(f[n][0], f[n][1]); // 最后取个max即可
		printf("%d\n", res);
	}
	
	return 0;
}

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